Laboratorio de Cómputo 1.1

El cálculo sí es útil.

El cálculo es el fundamento de muchas disciplinas; una herramienta básica en la solución de problemas; y un lenguaje común en las ciencias e ingenierías.

En los siguientes ejercicios, desarrollaremos de manera intuitiva una aplicación del cálculo: Optimización

In [ ]:

Problema de Optimización

Consideremos una granja en la que se quiere cercar un terreno bordeado por un río. Se cuentan con 20 metros de malla para cercar. ¿Cuál es el área máxima que puede bordearse con dicho material?

 A continuación, mostramos un  script  para trazar la gráfica de dicha función

In [1]:

# Creamos una variable para un lado del terreno, ortogonal al río.
x = var("x")
# Definimos el área en función de esta variable
A(x)=x*(20-2*x)
# Exploramos la función trazando su gráfica
# Primero definimos el intervalo adecuado
intervalo = (x,0,10)
# Ahora utilizamos la función "plot" para crear la gráfica
grafica = plot(A, intervalo)
# Finalmente mostramos la gráfica en pantalla, con el método "show"
grafica.show(gridlines = True)

De manera intuitiva, podemos suponer que el máximo se alcanza alrededor de $x=5$ . Sin embargo, ¿Cómo podemos estar seguros?
La respuesta la podemos obtener observando que en el máximo, la recta tangente tiene pendiente $m=0$ .

Recordemos que la ecuación de una recta con pendientes $m$ , que pasa por el punto $(x_0,y_0)$ está dada por $y=y_0+m(x-x_0)$ .

In [2]:

# Creamos una función que para cada punto x, nos de la pendiente de la recta tangente 
Ax(x) = A.diff(x)
# Vamos a crear una malla, es decir, una sucesión de puntos para tabular
# Importamos la función linspace del paquete de análisis numérico numpy
from numpy import linspace
malla = linspace(0,10,21)
# Graficamos una sucesión de rectas tangentes
for p in malla:
    color = (p+10)/20
    grafica += plot(A(p)+Ax(p)*(x-p), intervalo, color=hue(color))
# Mostramos la gráfica en pantalla
grafica.show(gridlines = True, ymax=60)

La función que ocupamos para encontrar la pendiente $m=A_x(x)$ de la recta tangente a la gráfica de $y=A(x)$ se en el punto $(x_0,y_0)$ se le llama derivada.

Ahora, vamos a plantear la ecuación del punto crítico para encontrar exactamente el valor:

In [3]:

#Definimos la ecuación
ecuacion = [Ax(x)==0]
# Utilizamos la función "solve" y guardamos las soluciones en una variable del mismo nombre
soluciones = solve(ecuacion,x)
# La mostramo en pantalla
show(soluciones)

\left[x = 5\right]

In [4]:

#Finalmente evaluamos en la función
print A(5)

50

Concluímos que el área máxima es 50 metros cuando uno de los lados ortogonales mide 5 metros.

Ejercicio 1

Optimice la función $f(x)=x^3-x$ en el intervalo $(-1,1).$ Trace la gráfica correspondiente.
Ahora, intentelo en el intervalo $(-2,3).$
¿Son los mínimos y los máximos los mismo en ambos intervalos?
¿Qué hay de los mínimos y máximos locales?

In [5]:

# Respuesta al ejercicio 1

Ejercicio 2

Si $200cm^3$ de material está disponible para hacer una casa con base cuadrangular y el lado superior abierto, encuentre el volumen posible más grande de caja.

Siga los pasos del ejercicio 1, determinando la función y el intervalo adecuados

In [6]:

# Respuesta al ejercicio 2

Ejercicio 3

Encuentre el punto en la línea $y=2x+3$ más cercano al origen

Siga los pasos del ejercicio 1, minimizando la función distancia y determinando el intervalo adecuados
Trace una segunda gráfica con la línea correspondiente a $y=2x+3$ , el punto determinado en el paso anterior y la recta que lo une con el origen

In [7]:

# Respuesta al ejercicio 3

Ejercicio 4

Encuentre los puntos en la elipse $4x^2+y^2=4$ más lejanos al punto $(1,0)$

Siga los pasos del ejercicio 1, maximizando la función distancia y determinando el intervalo adecuados
Trace una segunda gráfica con la línea correspondiente a la elipse, el punto determinado en el paso anterior y la recta que lo une con el origen

In [8]:

# Respuesta al ejercicio 4

Ejercicio 5

El marco para una cometa debe estar hecho de seis piezas de madera. Las cuatro piezas exteriores se han cortado con las longitudes indicadas en la figura. Para maximizar el área de la cometa, ¿qué tan largas deben ser las piezas diagonales?

Recuerde tener al archivo de imagen cometa.png en el mismo folder que esta hoja de trabajo.

In [9]:

# Respuesta al ejercicio 5