En los siguientes ejercicios, desarrollaremos de manera intuitiva una aplicación del cálculo: Optimización
Consideremos una granja en la que se quiere cercar un terreno bordeado por un río. Se cuentan con 20 metros de malla para cercar. ¿Cuál es el área máxima que puede bordearse con dicho material?
A continuación, mostramos un script para trazar la gráfica de dicha función
# Creamos una variable para un lado del terreno, ortogonal al río. x = var("x") # Definimos el área en función de esta variable A(x)=x*(20-2*x) # Exploramos la función trazando su gráfica # Primero definimos el intervalo adecuado intervalo = (x,0,10) # Ahora utilizamos la función "plot" para crear la gráfica grafica = plot(A, intervalo) # Finalmente mostramos la gráfica en pantalla, con el método "show" grafica.show(gridlines = True)
De manera intuitiva, podemos suponer que el máximo se alcanza alrededor de x=5. Sin embargo, ¿Cómo podemos estar seguros?
La respuesta la podemos obtener observando que en el máximo, la recta tangente tiene pendiente m=0.
Recordemos que la ecuación de una recta con pendientes m, que pasa por el punto (x0,y0) está dada por y=y0+m(x−x0).
# Creamos una función que para cada punto x, nos de la pendiente de la recta tangente Ax(x) = A.diff(x) # Vamos a crear una malla, es decir, una sucesión de puntos para tabular # Importamos la función linspace del paquete de análisis numérico numpy from numpy import linspace malla = linspace(0,10,21) # Graficamos una sucesión de rectas tangentes for p in malla: color = (p+10)/20 grafica += plot(A(p)+Ax(p)*(x-p), intervalo, color=hue(color)) # Mostramos la gráfica en pantalla grafica.show(gridlines = True, ymax=60)
La función que ocupamos para encontrar la pendiente m=Ax(x) de la recta tangente a la gráfica de y=A(x) se en el punto (x0,y0) se le llama derivada.
Ahora, vamos a plantear la ecuación del punto crítico para encontrar exactamente el valor:
#Definimos la ecuación ecuacion = [Ax(x)==0] # Utilizamos la función "solve" y guardamos las soluciones en una variable del mismo nombre soluciones = solve(ecuacion,x) # La mostramo en pantalla show(soluciones)
#Finalmente evaluamos en la función print A(5)
Concluímos que el área máxima es 50 metros cuando uno de los lados ortogonales mide 5 metros.
# Respuesta al ejercicio 1
Si 200cm3 de material está disponible para hacer una casa con base cuadrangular y el lado superior abierto, encuentre el volumen posible más grande de caja.
Siga los pasos del ejercicio 1, determinando la función y el intervalo adecuados# Respuesta al ejercicio 2
Encuentre el punto en la línea y=2x+3 más cercano al origen
# Respuesta al ejercicio 3
Encuentre los puntos en la elipse 4x2+y2=4 más lejanos al punto (1,0)
# Respuesta al ejercicio 4
El marco para una cometa debe estar hecho de seis piezas de madera. Las cuatro piezas exteriores se han cortado con las longitudes indicadas en la figura. Para maximizar el área de la cometa, ¿qué tan largas deben ser las piezas diagonales?
# Respuesta al ejercicio 5