1. Resumo do Tutorial
Neste tutorial, abordaremos alguns tópicos do Cálculo Diferencial e Integral.
Especificamente, através de exemplos, veremos como determinar simbolicamente limites, derivadas e integrais.
2. Limites
O Sage fornece o comando limit (ou apenas lim) para o cálculo de limites, inclusive limites à esquerda e à direita.
Siga os exemplos fornecidos
a)
b)
9/4
Infinity
+Infinity
-Infinity
2. Séries de Taylor
Com o comando taylor, podemos obter a expansão em série de Taylor na ordem desejada.
Siga os exemplos fornecidos
a) , (ordem 3)
b) , (ordem 3)
1/16*x^3*e + 1/8*x^2*e - 1/2*x*e + e
3. Derivadas
O comando derivative (ou apenas diff) permite determinar a derivada de uma expressão simbólica. De fato, com esse comando é possível calcular derivadas de qualquer ordem bem como derivadas parciais.
Acompanhe os seguintes exemplos:
a) Encontrar as derivadas de ordem 1 e 2 de
b) Encontrar as derivadas parciais, em relação a x e y, da função
c) Mostrar que a função é harmônica (exceto em (0,0), ou seja,
2*x*cos(x^2)
-4*x^2*sin(x^2) + 2*cos(x^2)
2*x*cos(x^2) + y - e^(-x)
x
0
4. Integrais
Para o cálculo de integrais definidas ou indefinidas, o Sage fornece o comando integrate (ou o sinônimo integral).
Acompanhe os seguintes exemplos:
a) Determinar a integral
b) Determinar a primitiva
c) Determinar a integral
d) Determinar a integral
e) Determinar a integral
1
1
arctan(x)
pi
1/2*sqrt(pi)
Error in lines 2-2
Traceback (most recent call last):
File "/projects/sage/sage-6.9/local/lib/python2.7/site-packages/smc_sagews/sage_server.py", line 905, in execute
exec compile(block+'\n', '', 'single') in namespace, locals
File "", line 1, in <module>
File "/projects/sage/sage-6.9/local/lib/python2.7/site-packages/sage/misc/functional.py", line 663, in integral
return x.integral(*args, **kwds)
File "sage/symbolic/expression.pyx", line 11269, in sage.symbolic.expression.Expression.integral (/projects/sage/sage-6.9/src/build/cythonized/sage/symbolic/expression.cpp:59975)
return integral(self, *args, **kwds)
File "/projects/sage/sage-6.9/local/lib/python2.7/site-packages/sage/symbolic/integration/integral.py", line 761, in integrate
return definite_integral(expression, v, a, b, hold=hold)
File "sage/symbolic/function.pyx", line 994, in sage.symbolic.function.BuiltinFunction.__call__ (/projects/sage/sage-6.9/src/build/cythonized/sage/symbolic/function.cpp:11377)
res = super(BuiltinFunction, self).__call__(
File "sage/symbolic/function.pyx", line 502, in sage.symbolic.function.Function.__call__ (/projects/sage/sage-6.9/src/build/cythonized/sage/symbolic/function.cpp:7144)
res = g_function_evalv(self._serial, vec, hold)
File "sage/symbolic/function.pyx", line 1065, in sage.symbolic.function.BuiltinFunction._evalf_or_eval_ (/projects/sage/sage-6.9/src/build/cythonized/sage/symbolic/function.cpp:12106)
return self._eval0_(*args)
File "/projects/sage/sage-6.9/local/lib/python2.7/site-packages/sage/symbolic/integration/integral.py", line 176, in _eval_
return integrator(*args)
File "/projects/sage/sage-6.9/local/lib/python2.7/site-packages/sage/symbolic/integration/external.py", line 23, in maxima_integrator
result = maxima.sr_integral(expression, v, a, b)
File "/projects/sage/sage-6.9/local/lib/python2.7/site-packages/sage/interfaces/maxima_lib.py", line 782, in sr_integral
raise ValueError("Integral is divergent.")
ValueError: Integral is divergent.
Integração Numérica
Para avaliar numericamente uma integral em um intervalo dado, o Sage possui o comando integral_numerical, cujos parâmetros de entrada são a função a integrar e os extremos do intervalo. O comando retorna dois números, o valor aproximado da integral e uma estimativa do erro cometido na aproximação.Siga alguns exemplos.
(0.946083070367183, 1.0503632079297087e-14)
(0.8862269254527568, 1.714774436012769e-08)