juandavid ortega

MATRICES

Una matriz es un arreglo rectangular de vectores en Filas y Columnas. Esto significa que una matriz contiene información organizada de una manera preestablecida y, por la misma razón, no puede hablarse de Valor de una Matriz ya que no lo tiene, pues es solo una TABLA de números.

Una matriz posee cualquier número de filas y cualquier número de columnas, y entre estas y aquellas no tiene que existir ninguna relación. Si una matriz tiene m filas y n columna, se dice que es de orden mxn. Cuando m=n, es decir, el número de filas es igual al número de columnas, se dice que la matriz es cuadrada de orden n.

Las matrices se nombran con letras mayúsculas y los números que conforman el arreglo se escribe entre corchetes, entre parńtesis ó entre barras dobles y recibe el nombre de Elementos de la Matriz.

Si se quiere hacer referencia a un elemento de la matriz, se utiliza una letra minúscula con doble subíndice para indicar la fila y la columna a que prtenece. Cuando nombramos al elemento $a_{ij}$ estamos haciendo referencia al elemeto que está ubicado en la fila $i$ y en la columna $j$ de la matriz.

Ejemplo 1

$ A_{3x4}= \left( \begin{array}{ccc} -2&3&4&5\\ 6&7&8&9\\ -5&3&4&-2\\ \end{array} \right) $

Es una matriz de orden $3x4$ ya que posee 3 filas y 4 columnas. para hacer referencia a algunos de los elementos que lo conforman escribiríamos:

$a_{11}=-2$ que significa que el elemnto que está ubicado en la 1° fila y en la 1° columna vale -2.

De la misma manera, $a_{12}=3$; $a_{13}=4$; $a_{14}=5$; $a_{21}=6$

Ejemplo 2

$ B_{3x3}= \left( \begin{array}{ccc} 10&5&4\\ -2&6&8\\ 7&9&3\\ \end{array} \right) $

Es una matriz cuadrada de orden 3, ya que posee 3 filas y 3 columnas.

De una manera más enumerativa:

$$ A_{4x5}= \left( \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}&\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{25}&\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}&a_{35}&\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}&a_{45}&\\ \end{array} \right) $$

Cuando las matrices son cuadradas, es decir, que tienen igual número de filas y columnas es particularmente importante, en algunos casos, diferenciar los Elementos de la Diagonal Principal del resto de los elementos de la matriz.

La Diagonal Principal es aquella que va del extremo superior izquierdo al extremo inferior derecho de la matriz. La posición ó ubicación de los Elementos de la Diagonal Principal en la matriz cuadrada es tal que el subíndice correspondiente a la fila que pertenecen es igual al subíndice correspondiente a la columna. Esto significa que tiene posiciones $a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{44}, .....,a_{nn}.$

En adelante, para referirnos a estos elementos de la diagonal principal los nombramos como elementos $a_{ij}$ donde $i=j$. Los demás elementos de la matriz serán $a_{ij}$ para $i\neq j$.

Ejemplo: En la matriz cuadrada

$$ A_{3x3}= \left( \begin{array}{ccc} -3&5&7\\ 8&5&-3\\ 4&2&3\\ \end{array} \right) $$

La diagonal principal la conforman los elementos $a_{11}=-3, a_{22}=5$, y $a_{33}=3$

1.2 OPERACIONES CON MATRICES

  1. Igualdad de Matrices

Dos matrices A y B son iguales si cumplen dos condiciones:

  • Primera condición

Las matrices A y B deben ser del mismo orden, es decir, si la matriz A tiene m filas y n columnas, entonces la matriz B también deben tener m filas y n columnas.

  • Segunda condición

Deben ser iguales uno a uno los elementos correspondientes de las matrices A y B. Esto significa que el elemento de la fila i y la columna j de la matriz A deben ser igual al elemento de la fila i y la columna j de la matriz B, para todo los valores de i y de j.

  1. Suma de Matrices

Solo pueden sumarse matrices del mismo orden. Para efectuar la suma de dos matrices A y B se suman elemento a elemento, los elementos correspondientes. Esto significa que el elemento $a_{ij}$ de la matriz A se suma con elemento $b_{ij}$ de la matriz B.

Ejemplo

$ A_{3x4}= \left[ \begin{array}{ccc} 3&5&7&-6\\ 1&4&3&4\\ 3&2&5&9\\ \end{array} \right] $

$ B_{3x4}= \left[ \begin{array}{ccc} 4&6&7&5\\ 3&1&14&1\\ 6&8&2&0\\ \end{array} \right] $

$A_{3x4}+B_{3x4}=C_{3x4}$

$ C_{3x4}= \left( \begin{array}{ccc} 7&11&14&-1\\ 4&5&17&5\\ 9&10&7&9\\ \end{array} \right) $

In [3]:
wqeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
,ççççççççççççççççççççççççççççççççççççççç# Ahora efectuamos la suma de matrices utilizando Sagemath
# Definimos la Matriz A
# Cada fila de la respectiva matriz, la colocamos entre corchetes, separado por comas.
In [4]:
#  matriz A
A=matrix([[3,5,7,-6],[1,4,3,4],[3,2,5,9]]);A
Out[4]:
[ 3  5  7 -6]
[ 1  4  3  4]
[ 3  2  5  9]

Llamamos la matriz

A

In [5]:
# El mismo procedimiento en la programación de la siguiente matriz.
B=matrix([[4,6,7,5],[3,1,14,1],[6,8,2,0]]);B
Out[5]:
[ 4  6  7  5]
[ 3  1 14  1]
[ 6  8  2  0]
In [ ]:
# Ahora realizamos la suma de A+B y obtenemos:
A+B
In [7]:
B+A
Out[7]:
[ 7 11 14 -1]
[ 4  5 17  5]
[ 9 10  7  9]

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

a) La suma de matrices es CLAUSURATIVA, es decir da como resultado otra matriz.

b) La suma de matrices es CONMUTATIVA. Significa que el resultado no depende del orden en que se sumen las matrices:

$$A_{mxn} +B_{mxn}=B_{mxn}+A_{mxn}$$

c) La suma de matrices es ASOCIATIVA. Significa que el resultado es independiente de las agrupaciones parciales que se hagan.

$$A_{mxn}+B_{mxn}+C_{mxn}=(A_{mxn}+B_{mxn})+C_{mxn}=A_{mxn}+(B_{mxn}+C_{mxn})$$

3. Producto de una matriz por un número real

Para efectuar este producto se multiplica el número real por cada elemento de la matriz. si $\alpha$ es un número real A es una matriz orden mxn, entonces:

$$ \alpha A_{mxn}=\alpha \langle a_{ij}\rangle = \langle \alpha A_{ij}\rangle$$$$i=1,2,3,.....,m; j=1,2,3,.......,n$$

Ejemplo

$$ A_{3x4}=-3 \left[ \begin{array}{ccc} 4&5&3&4\\ 5&6&4&8\\ 6&-7&5&-6\\ \end{array} \right] $$

$$ A_{3x4}= \left[ \begin{array}{ccc} -12&-15&-9&-12\\ -15&-18&-12&-24\\ -18&21&-15&18\\ \end{array} \right] $$
In [8]:
A=matrix([[4,5,3,4],[5,6,4,8],[6,-7,5,-6]]);A
Out[8]:
[ 4  5  3  4]
[ 5  6  4  8]
[ 6 -7  5 -6]
In [9]:
-3*A
Out[9]:
[-12 -15  -9 -12]
[-15 -18 -12 -24]
[-18  21 -15  18]

4. Producto Matricial(Producto de dos Matrices)

No siempre es posible efectuar este producto. Solo es posoble cuamdo el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. Cuando esto ocurre se dice que las matrices son CONFORTABLES PARA EL PRODUCTO. El resultado de esta operación es otra matriz que tiene tantas filas como la primera matriz y tiene tantas columnas como la segunda matriz.

$$A_{mxn}* B_{nxp}=C_{mxp}$$

El elemento de la fila i y la columna $j(c_{ij})$ del producto matricial de A y B es igual al producto escalar de la fila i de la matriz A por la columna j de la Matriz B.

El producto matricial es, por definición, un producto de filas por columnas

Ejemplo

$ A_{3x4}= \left[ \begin{array}{ccc} 2&3&4&-5\\ 4&0&6&6\\ 6&7&3&1\\ \end{array} \right] $

$ B_{4x3}= \left[ \begin{array}{ccc} 8&2&3\\ 6&5&-1\\ -2&0&4\\ 8&1&6\\ \end{array} \right] $

$$ A_{3x4}*B_{4x3}=C_{3x3}= \left[ \begin{array}{ccc} -14&14&-15\\ 68&14&64\\ 92&48&17\\ \end{array} \right] $$

Los resultados anteriores se obtuvieron de la siguiente manera:

$C_{11}=2(8)+3(6)+4(-2)+(-5)(8)=-14$

$$C_{12}=2(2)+3(5)+4(0)+(-5)(1)=14$$$$C_{13}=2(3)+3(-1)+4(4)+(-5)(6)=-15$$$$C_{21}=(4)(8)+(0)(6)+6(-2)+6(8)=68$$$$C_{22}=(4)(2)+(0)(5)+6(0)+6(1)=14$$$$C_{23}=(4)(3)+(0)(-1)+6(4)+6(6)=64$$$$C_{31}=(6)(8)+(7)(6)+(3)(-2)+(1)(8)=92$$$$C_{32}=(6)(2)+(7)(5)+(3)(0)+(1)(1)=48$$$$C_{33}=(6)(3)+(7)(-1)+(3)(4)+(1)(6)=17$$
In [59]:
A=matrix([[2,3,4,-5],[4,0,6,6],[6,7,3,1]]);A
B=matrix([[8,2,1],[6,5,-1],[-2,0,4],[8,1,6]]);B
Out[59]:
[ 8  2  1]
[ 6  5 -1]
[-2  0  4]
[ 8  1  6]
In [60]:
A
Out[60]:
[ 2  3  4 -5]
[ 4  0  6  6]
[ 6  7  3  1]
In [61]:
A*B
Out[61]:
[-14  14 -15]
[ 68  14  64]
[ 92  48  17]
In [62]:
B*A
Out[62]:
[ 30  31  47 -27]
[ 26  11  51  -1]
[ 20  22   4  14]
[ 56  66  56 -28]

Propidades de las Matrices

  1. El producto matricial da como resultado otra matriz, es decir, cumple la propiedad CLAUSURATIVA.

  2. El producto de matrices NO ES CONMUTATIVO es decir, AB $\neq$ BA.

  3. El producto matricial es ASOCIATIVO. Esto significa que el resultado es independiente delas agrupaciones en productos parciales, siempre que las operaciones esten definidadas:

$$A_{mxn}B_{nxp}C_{pxr}=A_{mxn}(B_{nxp}C_{pxr})=(A_{mxn}B_{nxp})C_{pxr}$$
  1. El producto es DISTRIBUTIVO RESPECTO A LA SUMA DE MATRICES:
$$A_{mxn}(B_{nxp}+C_{nxp})=A_{mxn}B_{nxp}+A_{mxn}C_{nxp}$$

Ejercicios sobre Operaciones Matriciales

  1. Si $2A+X=B$, encuentre $X$ si:

$ A_{3x3}= \left[ \begin{array}{ccc} 2&3&0\\ -5&8&8\\ 2&7&-7\\ \end{array} \right] $

$ B_{3x3}= \left[ \begin{array}{ccc} 13&8&7\\ -13&5&32\\ 3&24&2\\ \end{array} \right] $

Solución

$$ 2A= \left[ \begin{array}{ccc} 4&6&0\\ -10&16&16\\ 4&14&-14\\ \end{array} \right] $$

Luego despejamos $X$

$2A+X=B$

$X=B-2A$

$$ C_{3x3}= \left[ \begin{array}{ccc} 9&2&7\\ -3&-11&16\\ -1&10&16\\ \end{array} \right] $$
In [14]:
A=matrix([[2,3,0],[-5,8,8],[2,7,-7]]);A
Out[14]:
[ 2  3  0]
[-5  8  8]
[ 2  7 -7]
In [15]:
B=matrix([[13,8,7],[-13,5,32],[3,24,2]]);B
Out[15]:
[ 13   8   7]
[-13   5  32]
[  3  24   2]
In [16]:
2*A
Out[16]:
[  4   6   0]
[-10  16  16]
[  4  14 -14]
In [ ]:
B-(2)*A
In [18]:
X
Out[18]:
[  9   2   7]
[ -3 -11  16]
[ -1  10  16]

2. Efectúe los siguientes productos

$$ A_{4x3}= \left[ \begin{array}{ccc} 3&6\\ 7&6\\ 6&7\\ 1&3\\ \end{array} \right] $$$$ A_{2x3}= \left[ \begin{array}{ccc} 6&4&3\\ -5&3&0\\ \end{array} \right] $$

$A_{4x2}*B_{2x3}=C_{4x3}$

$$ C_{4x3}= \left[ \begin{array}{ccc} -4&10&3\\ -15&-29&-15\\ 36&24&18\\ 34&48&27\\ \end{array} \right[ $$
In [21]:
# Con el Software Sagemath
A=matrix([[3,6],[7,6],[6,7],[1,3]]);A
Out[21]:
[ 1  2]
[-5 -3]
[ 6  0]
[ 9  4]
In [24]:
B=matrix([[6,4,3],[-5,3,0]]);B
Out[24]:
[ 6  4  3]
[-5  3  0]
In [52]:
A*B
Out[52]:
[246 207]

3. Efectuar la siguiente operación entre matrices:

$$ A_{4x1}= \left[ \begin{array}{ccc} 4\\ 2\\ 3\\ 13\\ \end{array} \right] $$$$ B_{1X3}= \left[ \begin{array}{ccc} 4&5&1\\ \end{array} \right] $$

$A_{4x1}*B_{1x3}=C_{4x3}$ $$ C_{4x3}= \left[ \begin{array}{ccc} 12&15&3\\ -24&-30&-6\\ 36&45&9\\ -22&-15&-3\\ \end{array} \right] $$

In [40]:
A=matrix([[4],[2],[3],[13]]);A
Out[40]:
[ 3]
[-6]
[ 9]
[-3]
In [41]:
B=matrix([[4,5,1]]);B
Out[41]:
[4 5 1]
In [42]:
A*B
Out[42]:
[ 12  15   3]
[-24 -30  -6]
[ 36  45   9]
[-12 -15  -3]

4. Resolver el siguiente producto de Matrices

$$ A_{1x3}= \left[ \begin{array}{ccc} 13&5&16\\ \end{array} \right] $$

$A_{1x3}*B_{3x2}=C_{1x2}$ $$ B_{3x2}= \left[ \begin{array}{ccc} 12&1\\ 2&26\\ 5&4\\ \end{array} \right] $$

$$ A*B= C_{1x2}= \left[ \begin{array}{ccc} 246&207\\ \end{array} \right] $$
In [45]:
A=matrix([[13,5,16]]);A
Out[45]:
[13  5 16]
In [44]:
B=matrix([[12,1],[2,26],[5,4]]);B
Out[44]:
[12  1]
[ 2 26]
[ 5  4]
In [46]:
A*B
Out[46]:
[246 207]

5. Resolver el siguiente producto de Matrices:

$$ A_{4x3}= \left[ \begin{array}{ccc} 2&-3&-6\\ -1&5&-2\\ 8&0&7\\ 0&7&1\\ \end{array} \right] $$$$ B_{3x1}= \left[ \begin{array}{ccc} 5\\ -1\\ 4\\ \end{array} \right] $$

Solución

$$ C_{4x1}= \left[ \begin{array}{ccc} 37\\ -18\\ 68\\ -3\\ \end{array} \right] $$

Ejemplo

$$ A_{4x3}= \left[ \begin{array}{ccc} 32&4&7\\ 4&3&4\\ 2&5&9\\ 2&5&9\\ \end{array} \right] $$$$ B_{3x1}= \left[ \begin{array}{ccc} 3\\ 6\\ 7\\ \end{array} \right] $$

$A_{4x3}*B_{3x1}=C_{4x1}$

$$ C_{4x1}= \left[ \begin{array}{ccc} 169\\ 58\\ 99\\ 99\\ \end{array} \right] $$
In [56]:
A=matrix([[32,4,7],[4,3,4],[2,5,9],[2,5,9]]);A
Out[56]:
[32  4  7]
[ 4  3  4]
[ 2  5  9]
[ 2  5  9]
In [57]:
B=matrix([[3],[6],[7]]);B
Out[57]:
[3]
[6]
[7]
In [58]:
A*B
Out[58]:
[169]
[ 58]
[ 99]
[ 99]
In [ ]:
In [ ]: