Proyecto final

Cinthya Velasco Gasca

Tension/ Movimiento Rotacional/ Velocidad Angular

Movimiento rotacional

Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece fijo.

La rotación de un cuerpo se representa mediante un operador que afecta a un conjunto de puntos o vectores. El movimiento rotatorio se representa mediante el vector velocidad angular ($\omega$), que es un vector de carácter deslizante y situado sobre el eje de rotación. Cuando el eje pasa por el centro de masa o de gravedad se dice que el cuerpo "gira sobre sí mismo".

Movimiento Circular Uniforme

El movimiento circular (también llamado movimiento circunferencial) es el que se basa en un eje de giro y radio constante, por lo cual la trayectoria es una circunferencia. Si además, la velocidad de giro es constante (giro ondulatorio), se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio y centro fijos y velocidad angular constante.

Eje de giro:

Es la línea recta alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo pero para cada instante concreto es el eje de la rotación (considerando en este caso una variación infinitesimal o diferencial de tiempo). El eje de giro define un punto llamado centro de giro de la trayectoria descrita (O).

Arco:

Partiendo de un centro fijo o eje de giro fijo, es el espacio recorrido en la trayectoria circular o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es el radián (espacio recorrido dividido entre el radio de la trayectoria seguida, división de longitud entre longitud, adimensional por tanto).

Velocidad angular:

Es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo (omega minúscula, $\omega$).

Aceleración angular:

Es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo (alfa minúscula, $\alpha$).

Velocidad Angular

La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se define como el ángulo girado por una unidad de tiempo y se designa mediante la letra griega ω. Su unidad en el Sistema Internacional es el radián por segundo (rad/s)

Aunque se la define para el movimiento de rotación del sólido rígido, también se la emplea en la cinemática de la partícula o punto material, especialmente cuando esta se mueve sobre una trayectoria cerrada (circular, elíptica, etc).

En un movimiento circular uniforme, dado que una revolución completa representa 2π radianes, tenemos

$$\omega=\frac{2\pi}{T}={2\pi}{f}$$

donde T es el período (tiempo en dar una vuelta completa) y f es la frecuencia (número de revoluciones o vueltas por unidad de tiempo).

de modo que

$$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{v}{r}\qquad\Rightarrow\qquad v=\omega{r}$$

Tension

La fuerza es una acción que puede modificar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo, por lo tanto puede acelerar o modificar la velocidad, la dirección o el sentido del movimiento de un cuerpo dado. La tensión, por su parte, es el estado de un cuerpo sometido a la acción de fuerzas puestas que lo atraen.

En física, la tensión es la fuerza ejercida por una soga, cuerda, cable u objeto similar en uno o más objetos. Todo lo que sea jalado, colgado, apoyado o balanceado de una soga, cuerda, cable, etc. está sujeto a la fuerza de tensión. Al igual que todas las fuerzas, la tensión puede acelerar a los objetos o hacer que se deformen.

Con respecto a la mayoría de problemas físicos, suponemos que la cuerda ideal, es delgada, sin masa y no puede estirarse ni romperse, entonces podemos considerar una tensión en una determinada cuerda como T = (m × g) + (m × a), donde "g" es la aceleración debido a la gravedad de los objetos que sostiene la cuerda y "a" es cualquier otra aceleración sobre dichos objetos.

Si los objetos estan en reposo la fuerza de tensión debe igualar a la fuerza de gravedad sobre el peso, es decir: $$Tensión (Ft) = Fuerza de gravedad (Fg) = m × g$$

Si tomamos en cuenta la aceleracion, nuestra ecuación sería: $$Ft = (m × g) + (m × a)$$

Si tomamos en cuenta el movimiento rotacional, nuestra ecuación sería: $$Ft=m*(w^2*r)$$

Ejemplo 1

La masa "m1" se mueve con velocidad angular "$\omega$" en una trayectoria circunferencial de radio "r" sobre una mesa horizontal con roce despreciable, como se muestra en la figura. La masa m1 esta sujera a una cuerda que pasa a traves de un orificio ubicado en el centro de la mesa, de la cual cuelga un onjeto de masa "m2". Si la masa m2 esta en equilibrio, calcula la tension "t" de la cuerda, tomando en cuenta el movimiento rotacional.

from IPython.display import Image
Image(filename='ejemplo 1.jpg')

from IPython.display import Image
Image(filename='ejemplo 1 vista desde arriba.jpg')

#Los datos para obtener la tensión serán: 
g = 9.81 #[m/s2]
m1 = input ("Ingresa un valor para la masa uno: ") #[kg]
m2 = input ("Ingresa un valor para la masa dos: ") #[kg]
r = input ("Ingresa un valor para el radio: ") #[m]
w = input ("Ingresa un valor para la velocidad angular: ") #[rad/s]

Ingresa un valor para la masa uno: 1.5
Ingresa un valor para la masa dos: 3
Ingresa un valor para el radio: 5
Ingresa un valor para la velocidad angular: 9

import matplotlib.pyplot as plt

t=(m1*((w**2)*r))+(m2*g)

print ("La tension de la cuerda es:"), t

La tension de la cuerda es: 636.93

%matplotlib inline

#Graficar Velocidad angular vs Tension
from pylab import linspace
import matplotlib.pyplot as plt

#Valores iniciales 
m1
m2
r
g = 9.81 #[m/s2]


w=linspace(0,100)
t=(m1*((w**2)*r))+(m2*g)

fig = plt.figure()
axes = fig.add_axes([0.1,0.1,0.8, 0.8])

axes.plot(w, t, 'g')

axes.set_xlabel(r'Tension')
axes.set_ylabel('Velocidad angular')
axes.set_title('Grafica Tension');
axes.grid(True)

Ejemplo 2

Dos bloques me masas "m1" y "m2" unidas entre si por una cuerda y a su vez unidas por un punto fijo, describen un movimiento circunferencial con velocidad angular constante "$\omega$" en un plano horizontal con roce despreciable, tal como se muestra en la figura. Calcule las tensiones en las cuerdas con radios "r1" y "r2".

from IPython.display import Image
Image(filename='ejemplo 2.jpg')

from IPython.display import Image
Image(url='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f2/Orbit2.gif')

#Los datos para obtener las tensiones serán: 
m1 = input("Ingrese un valor para la masa uno: ") #[kg]
m2 = input("Ingrese un valor para la masa dos: ") #[kg]
r1 = input("Ingrese un valor para el radio uno: ") #[m]
r2 = input("Ingrese un valor para el radios dos: ") #[m]
w = input("Ingrese un valor para la velocidad angular: ") #[rad/s]

Ingrese un valor para la masa uno: 2
Ingrese un valor para la masa dos: 3.5
Ingrese un valor para el radio uno: 1
Ingrese un valor para el radios dos: 5
Ingrese un valor para la velocidad angular: 8

import matplotlib.pyplot as plt

t2=m2*((w**2)*r2)
t1=m1*((w**2)*r1)+t2

print ("La tension de la cuerda con radio (r1) es:"), t1
print ("La tension de la cuerda con radio (r2) es:"), t2

La tension de la cuerda con radio (r1) es: 1248.0
La tension de la cuerda con radio (r2) es: 1120.0

#Graficar Velocidad angular vs Tension 
from pylab import linspace
import matplotlib.pyplot as plt

#Valores iniciales 
m1
m2
r

w=linspace(0,100)
t1=m1*((w**2)*r1)+t2

fig = plt.figure()
axes = fig.add_axes([0.1,0.1,0.8, 0.8])

axes.plot(w, t, 'r')
axes.set_xlabel(r'Tension')
axes.set_ylabel('Velocidad angular')
axes.set_title('Grafica Tension 1');
axes.grid(True)


t2=m2*((w**2)*r2)

fig = plt.figure()
axes = fig.add_axes([0.1,0.1,0.8, 0.8])

axes.plot(w, t, 'b')

axes.set_xlabel(r'Tension')
axes.set_ylabel('Velocidad angular')
axes.set_title('Grafica Tension 2');
axes.grid(True)