Campos vectoriales¶

Beatriz Padín Romero

¿Qué es un campo vectorial?¶

Un campo vectorial representa cómo está distribuida en el espacio una magnitud vectorial (velocidad del viento, campo eléctrico creado por una carga puntual, campo gravitatorio...). Es decir:

En una región del espacio existe un campo vectorial si a cada punto del espacio se le puede asignar un valor de dicha magnitud vectorial.

Matemáticamente (suponemos campos estacionarios, es decir, que no varían con el tiempo), el campo vectorial asociado a la magnitud $\vec A$ se representa como una función vectorial que depende de cada punto $(x,y,z)$ del espacio:
$$\vec A=\vec f(x,y,z)$$

Una manera de visualizar un campo vectorial consiste en dibujar en cada punto un vector que tenga la dirección y el sentido del campo en dicho punto, y cuyo módulo indique la intensidad del campo en el punto considerado.

Ejemplo 1
Si nos limitamos a dos dimensiones, podemos representar el campo de fuerzas definido por la función $\vec F(x,y)=-y\vec i + x \vec j$. Aunque el campo existe en cualquier punto, por claridad dibujaremos únicamente unos cuantos de estos vectores:

var('x y')

# Campo
F(x,y) = (-y, x)

# Representación gráfica
plot_vector_field(F, (x, -10, 10), (y, -10, 10), plot_points=10, aspect_ratio=1, frame=False, gridlines=True)

Ejemplo 2
Otro ejemplo de campo vectorial es el campo gravitatorio en la superficie terrestre. Dicho campo está definido por $\vec g=-9,8 \;\vec k$ y, por tanto, podemos representarlo mediante vectores que en todos los puntos tienen el mismo módulo y cuya dirección y sentido son siempre verticales y hacia abajo:

var('x y z')

# Campo
g(x, y, z) = (0, 0, -9.8)

# Representación gráfica
plot_vector_field3d(g, (x, -3, 3), (y, 0, 3), (z, -3, 3))

Un caso particular de campos vectoriales: los campos centrales¶

Un campo vectorial es un campo central cuando se cumple que:

el vector campo en cada punto está dirigido hacia un punto fijo, llamado centro del campo, y
el módulo del vector campo en cada punto solo depende de la distancia entre punto y el centro del campo.

Ejemplo
El campo $\vec F(x,y)=-x\vec i - y \vec j$ es un ejemplo de campo central cuyo centro se encuentra en el punto $(0,0)$:

var('x y')

# Campo
F(x,y) = (-x, -y)

# Representación gráfica
campo = plot_vector_field(F, (x, -4, 4), (y, -4, 4), plot_points=12, aspect_ratio=1, frame=False, axes=False)
centro = point((0,0), size=60, color='#4169E1')
show(campo + centro)

Campos conservativos. Potencial¶

Se puede demostrar que los campos de fuerzas centrales son conservativos. Es decir, en ellos las partículas conservan su energía mecánica.

Los campos conservativos verifican la siguiente propiedad:

Un campo conservativo se puede expresar como el gradiente de una función escalar.

Es decir, $\vec A$ es un campo conservativo si existe una función escalar $U=U(x,y,z)$ tal que se verifica que:
$$ \vec A = -\vec\nabla U$$

Si consideramos por ejemplo el campo eléctrico, que es conservativo por tratarse de un campo central de fuerzas, la función escalar de la que proviene el campo eléctrico es el potencial eléctrico V.

Líneas de campo¶

Para visualizar los campos vectoriales se suelen utilizar las líneas de campo (o líneas de fuerza).

Para representar las líneas de campo tendremos en cuenta lo siguiente:

Las líneas de campo en cada punto son tangentes al vector campo en dicho punto. En consecuencia, las líneas de campo no se pueden cortar.

Las líneas de campo se representan más próximas entre sí cuanto mayor es la intensidad del campo, y más separadas cuanto menor es la intensidad. Es decir, la densidad de las líneas de campo (el número de líneas de campo por unidad de superficie perpendicular a las líneas) es proporcional a la intensidad del campo.

Superficies equipotenciales¶

Los campos vectoriales también se pueden representar mediante las superficies equipotenciales:

Una superficie equipotenciales es una región del espacio en la que todos los puntos tienen un mismo valor del potencial.

Caso particular: campos conservativos
Debido a que en un campo conservativo la intensidad de campo es igual al gradiente del potencial, las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo.

Ejercicio¶

Vamos a utilizar la simulación "Charges and Fields" de PhET (https://phet.colorado.edu/sims/html/charges-and-fields/latest/charges-and-fields_en.html) para visualizar el campo y el potencial eléctrico. Para ello sigue los siguientes pasos:

Parte 1: Líneas de campo creadas por una carga puntual

Representa en tu cuaderno las líneas del campo eléctrico creado por una carga negativa (recuerda que para determinar el sentido del vector campo en un punto debes situar en dicho punto una carga de prueba positiva).
Ayúdate de la simulación para comprobar tu hipótesis (para una óptima visualización es recomendable seleccionar la rejilla –Grid– y colocar la carga en la intersección de dos líneas principales).
¿Qué indica la distinta intensidad con que están dibujados los vectores en la simulación?
Justifica qué cambiaría si la carga puntual fuese positiva.
Completa la siguiente frase: "Las líneas de campo creadas por una carga puntual tienen dirección ......................."

Parte 2: Líneas de campo creadas por dos cargas puntuales

Utiliza la simulación para visualizar el campo eléctrico creado por dos cargas puntuales de la misma magnitud, una positiva y la otra negativa.
Representa en tu cuaderno las líneas del campo eléctrico creado por dichas cargas.
Repite los dos apartados anteriores, pero esta vez utiliza dos cargas positivas.
Por último, utiliza dos cargas iguales negativas.
Completa la siguiente frase: "Las líneas de campo 'nacen' en las cargas ....................... (o en el infinito) y 'mueren' en las cargas ....................... (o en el infinito). Es decir, las cargas ....................... son fuentes de campo y las ....................... son sumideros".

Parte 3: Superfices equipotenciales

¿Cómo crees que serán las superficies equipotenciales en el caso del campo eléctrico creado por una carga puntual? Represéntalas en tu cuaderno.
Utiliza la simulación para comprobar tu hipótesis (al estar representadas en el plano, las superficies equipotenciales son líneas equipotenciales).
Si cambias el signo de la carga, ¿qué cambia en las superfices equipotenciales?
Representa en tu cuaderno las superficies equipotenciales en el caso de dos cargas puntuales de la misma magnitud, una positiva y la otra negativa (ten en cuenta que las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo). Comprueba tu dibujo en la simulación.
Repite el ejercicio anterior con dos cargas del mismo signo.
Si cambias el signo de ambas cargas, ¿qué cambia en las superfices equipotenciales?