Campo Magnético

Observaciones

• La magnetita atrae piezas de hierro

• Si tenemos un imán esférico, y dejamos libre una aguja sobre él, se orienta a lo largo de líneas que pasan por dos puntos situados en extremos de la esfera $\rightarrow$ polos del imán

• Un imán posee siempre dos polos, independientemente de su forma. Se denominan tradicionalmente polo norte y polo sur.

  • No existen polos magnéticos aislados.

  • No existe algo análogo a la carga eléctrica en el magnetismo.

• Oersted (siglo XIX) demostró que una corriente eléctrica producía un campo magnético.

• Àmpere propuso que la fuente fundamental del magnetismo son las corrientes eléctricas.

  • En un imán permanente, el campo magnético es debido al movimiento de los electrones y a su espín (propiedad cuántica del electrón).

• Más adelante veremos que un campo magnético variable produce un campo eléctrico y que un campo eléctrico variable produce un campo magnético (Maxwell).

Representación del campo magnético

El campo magnético se representa por la letra B, y también se denomina vector de inducción magnética.

Al igual que con el campo eléctrico, podemos representar el campo magnético por medio de líneas tangentes al campo magnético en cada punto: líneas de campo.

Diferencia con las líneas de campo eléctrico: En el caso del campo eléctrico, la fuerza tiene la misma dirección que el campo. En el campo magnético no es así, como veremos más adelante.

• Al no haber polos magnéticos aislados, estas líneas serán siempre líneas cerradas:

• Consecuencia: El flujo del campo magnético a través de cualquier superficie cerrada es siempre nulo

$$ \oint_{S} \vec{B} \cdot \vec{n} dS = 0$$

Nota: Comparar esta expresión con la Ley de Gauss encontrada en el estudio del campo eléctrico.

• Unidad del campo magnético: Tesla (T). La definiremos en el siguiente apartado.

Fuerza ejercida por un campo magnético

Sobre una carga puntual

$$\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}$$

• La fuerza es perpendicular a la velocidad de la carga y al campo magnético.

• Consecuencia: La fuerza magnética no modifica el módulo de la velocidad, sólo su dirección $\Rightarrow W = \int \vec{F} \cdot \vec{dr} = 0$ (el trabajo realizado por la fuerza magnética sobre la carga es nulo. ($\Delta E_c = 0$).

• Si la velocidad es paralela o antiparalela al campo magnético, la fuerza sobre la carga es nula.

• Definición de Tesla: Un campo magnético de 1 T es aquel para el que una carga de 1 C que se mueve a una velocidad de 1 m/s perpendicular al campo magnético experimenta una fuerza de 1 N.

$$1 T = 1 \frac{N/C}{m/s} = 1 N/A m$$

• El campo magnético terrestre es algo $\sim 0.6 \times 10^{-4}$ T.

• Si existe además un campo eléctrico, la fuerza total sobre la carga es:

$$\vec{F} = q \left(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \right)$$

que se denomina Fuerza de Lorentz.

Movimiento de una carga en un campo magnético uniforme perpendicular a su velocidad

En este caso,

$$F = q v B$$

(ya que $\sin(90) = 1$). La fuerza es perpendicular a la velocidad y al campo magnético, describiendo una trayectoria circular.

La fuerza magnética es la fuerza centrípeta que da ese movimiento circular. Como,

$$F_{cent} = \frac{m v^2}{r}$$

entonces,

$$\frac{m v^2}{r} = q v B$$

o bien,

$$r = \frac{m v}{q B}$$

y el periodo del movimiento será $T = \frac{2 \pi r}{v}$, lo que se traduce en,

$$T = \frac{2 \pi m}{q B}$$

y su frecuencia (denominada frecuencia del ciclotrón)

$$\nu = \frac{1}{T} = \frac{q B}{2 \pi m}$$

Sabiendo el campo magnético aplicado, y midiendo $r$ ó $T$ podemos extraer el cociente $q/m$ de una carga.

El signo de la carga nos da el sentido de giro de la partícula en la circunferencia que describe.

Sobre un conductor

La fuerza total sobre un conductor por el que circula una corriente será la suma de las fuerzas sobre las partículas cargadas.

conductor rectilíneo

Si tenemos un número $n$ de cargas por unidad de volumen, cada una de ellas con carga $q$ y que se mueven con una velocidad $v_d$, la fuerza total será,

$$\vec{F} = q(\vec{v_d} \times \vec{B}) n A l$$

donde $n A l$ es el número de partículas totales en el volumen $V = A l$.

Teniendo en cuenta que la intensidad de corriente es $I = q n v_d A$, la anterior expresión se convierte en,

$$\vec{F} = I(\vec{l} \times \vec{B})$$

Aquí, $\vec{l}$ es un vector cuyo módulo es la longitud del conductor y dirección paralela a la de la corriente.

conductor de forma arbitraria

Si tenemos un conductor de forma arbitraria, podemos dividirlo en pequeños segmentos suficientemente pequeños para considerarlos rectos. En cada uno de ellos,

$$\vec{dF} = I(\vec{dl} \times \vec{B})$$

A la magnitud $I \vec{dl}$ se le denomina elemento de corriente

La fuerza total sobre el conductor se obtendrá sumando (integrando) a todo el conductor

$$\vec{F} = I \int (\vec{dl} \times \vec{B})$$

Si $\vec{B}$ es uniforme, se puede sacar fuera de la integral, y entonces,

$$\vec{F} = I (\int (\vec{dl}) \times \vec{B})$$

Esta expresión para un circuito cerrado es nula. La fuerza sobre un circuito cerrado es nula, lo que no quiere decir que el circuito no se mueva, pues puede existir un par de fuerzas que haga que gire.

Fuentes del campo magnético

Carga puntual en movimiento.

Las cargas en movimiento son las fuentes del campo magnético. Si tenemos una única carga $q$ que se mueve con velocidad dada por el vector $\vec{v}$, el campo magnético creado por esta carga en un punto P separado una distancia $r$ de la carga es,

$$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{q \vec{v} \times \hat{r}}{r^2}$$

En la anterior expresión $\hat{r}$ es el vector unitario en la dirección que une la carga con el punto P, y con sentido apuntando hacia P. Además, $\mu_0 = 4 \pi 10^{-7}$ T m /A es una constante de proporcionalidad llamada permeabilidad magnética del vacío.

Algunas características de este campo:

• B es proporcional a la velocidad y a la carga de la partícula.

• El módulo de B decrece con el cuadrado de la distancia.

• La dirección de B es perpendicular a la de $\vec{v}$ y a la de $\vec{r}$

Conductor. Ley de Biot y Savart

Para obtener el campo magnético de varios conductores por los que circula una corriente $I$, primero veremos el campo magnético producido por un elemento de corriente $I \vec{dl}$, que se conoce por Ley de Biot y Savart

$$d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi}\frac{I \vec{dl} \times \hat{r}}{r^2}$$

Es decir, se obtiene de la expresión del campo magnético generado por una carga en movimiento sustituyendo el producto $q v$ por $I dl$.

Para extender este resultado a cualquier conductor, tendremos que sumar (integrar) todas las contribuciones de todos los elementos de corriente en los que podemos dividir el conductor de forma arbitraria. El resultado de este cálculo para un conductor rectilíneo y una espira circular en su centro se dan en los siguientes apartados.

Conductor rectilíneo.

El campo magnético producido por un conductor rectilíneo infinito por el que circula una corriente $I$ toma la siguiente expresión,

$$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$$

En la anterior expresión, $R$ es la distancia perpendicular del punto en el que calculamos el campo con respecto al conductor.

Espira circular en su centro

El campo magnético creado por una espira circular en su centro está dirigido a lo largo del eje de la espira. Su módulo toma la siguiente expresión,

$$B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$$

siendo $R$ el radio de la espira.

El sentido del campo lo podemos calcular aplicando otra regla de la mano derecha: si ponemos los dedos de la mano en el sentido de la corriente I en la espira, el dedo pulgar nos indica el sentido del campo magnético en el eje.

Nótese la similitud entre las líneas de campo de la espira y de un imán.

Ley de Àmpere

$$ \oint_{C} \vec{B} \cdot \vec{dl} = \mu_0 I$$

Otros recursos

from IPython.display import YouTubeVideo
YouTubeVideo('9y2LwKErLPE')

Lecciones sobre magnetismo de la Universidad Politécnica de Madrid