Komplekse tall er en form som er laget med hensyn på kvadratrot. Dette er på grunn av det å ta kvadratroten av ett negativt tall ikke vil fungere med reele tall. Derfor har vi en rekke hjelpemiddler som kan gi oss vidre forståelse for denne mystiske kvadratroten av negative tall. Det som skal gås igjennom dette sammendraget er:
1:Komplekse tall på Kartetisk form.
2:Komplekse tall på polar form.
3:Komplekse tall på kartetisk form.
4:En utregning av $\sqrt{i}$
I Kartetisk form så vil vi ha en spesiell form på å skrive på: $Z=a+bi$
I denne form så er a=ett reelt tall, b er ett tal som multipliseres med i.
$i$ har egenskapen der den er lik $\sqrt{-1}$. Det er derfor vi kan gi $i$ egenskapen ved å ganges med kavadratroten.
For å gi et eksempel på utregning kan vi ta $\sqrt{4}+\sqrt{-4}$
$\sqrt{4}+\sqrt{-4}\Rightarrow 2+\sqrt{-4}\Rightarrow 2+\sqrt{4}*i\Rightarrow 2+2*i\Rightarrow 2+2i$
$Z=2+2i$
Her kan vi gå steg for steg i utregningen. I første pil til høyre tar jeg for meg de reele tallene, og her var det bare ett reelt tall. Så går jeg videre til neste omregning. Vist du ser på det at $i=\sqrt{-1}$ så kan vi trekke ut minusen fra $\sqrt{-4}\Rightarrow\sqrt{4}*i$ . Dette vil føre til at vi kan ta $\sqrt{4}$ og det blir $2$, men når du holder på med ett ledd som inneholder $i$, så må du alltid huske å gange leddet med dette.
Dette kan også føres inn grafisk der $x$-aksen er med reele tall, og $y$-aksen blir til $i$
Ved å se på denne grafisk vil vi få en linjær funksjon. Ett eksempel på denne er:
from IPython.display import Image
Image(filename='Kartetisk.jpg')
Komplekse tall på polar form blir den korteste veien til punktet i en grafisk setting. Polar form kan også brukes til å finne hvert punkt med denne lengden rundt hele grafen ved å skifte vinkel, men dette skal vi se på litt senere.
Komplekse tall på polar form må du gjøre en rekke trinn for å komme fram til svaret, men svaret dit skal ende opp slik $\Rightarrow$ $R(cos(\alpha)+sin(\alpha)*i)$
Det er kanskje ikke så lett å forstå den ved å se den slik, men la meg legge inn noen deler for å forstå dette. $R=Hypotenus$ og for å finne hypotenus så må du gå utifra den kartetiske formen din, men du ser bort ifra $i$ når du gjør dette.
$\alpha=vinkelen$ Dette er da vinkelen til grafen fra den reelle tall-linjen til selve grafen du har fått. For å få denne vinkelen bruker du følgende formel $Tan^{-1}(\frac{Motstående}{Hosliggende})$, og dermed har du vinkelen. Dette er det eneste du trenger for å løse Polarformen.
For å ta ett eksempel så kan vi bruke det forrige eksempelet, fordi det kun fungerer vist det er gjort om til kartetisk form først. $Z=2+2i$
$R^2=a^2+b^2$ Da tar vi bruk av $a$ og $b$ i denne formelen. $\sqrt{R^2}=\sqrt{a^2+b^2}$ $\Rightarrow$ $\sqrt{2^2+2^2}$ $\Rightarrow$ $\sqrt{8}$ $\Rightarrow$ $2\sqrt{2}$
Da har vi funnet at $hypotenusen=2\sqrt{2}$, så da er $R=2\sqrt{2}$.Men vi trenger også vinkelen for å fullfør denne, Vinkelen er Motstående/Hosliggende.
$Tan^{-1}(\frac{2}{2})=45\angle$ eller ${\frac{1}{4}}*\pi$, Dermed kan vi si at $\alpha=\frac{1}{4}*\pi$
Da setter vi inn funnene i formlen som stod øverst, $R(cos(alpha)+sin(alpha)*i)$ $\Rightarrow$ $2\sqrt{2}(cos(45\angle)+sin(45\angle)*i)$
Noen av fordelene med polar form er att vi kan endre denne vinkelen etter behov og finne denne funksjonen sin lengde i alle punkter 360 rundt med lengden $2\sqrt{2}$
Eksempel for graf.
from IPython.display import Image
Image(filename='Polar.jpg')
Eksponential form er en å lage en ny funksjon der $e$ treffer punktet.
Dette er en mer praktisk måte å skrive funksjonen på, fordi du minsker skrivinga og det fortsatt er like mye informasjon. Formelen fungerer slik, $Re^{alpha*i}$
Ved å bruke svaret vi fikk ifra polar formen kan vi skrive dette over til eksponential form.
$R(cos(\alpha)+sin(\alpha)*i)$ $\Rightarrow$ $Re^{\alpha*i}$
Nå putter vi inn verdien som vi vet inn. $R=2\sqrt{2}$ og $\alpha=45\angle$
$2\sqrt{2}* e^{45\angle*i}$
Fra den kunnskapen vi har oppnådd nå kan vi trekke noen konklusjoner rundt hvordan vi kommer oss fram og tilbake mellom formene på en fin og enkel måte.
$Z=a+bi \Leftrightarrow R(cos(\alpha)+sin(\alpha)∗i) \Leftrightarrow Re^{\alpha*i}$
Eksempel i graf.
from IPython.display import Image
Image(filename='Eksponential.jpg')
$\sqrt{i}$ Er ett komplekst tall vi kan gå inn for å regne i forskjellige rettninger, Vi kan starte med kartetisk form eller eksponential form.
Her kan vi starte med kartetisk form og få ett svar etter noe algebra regning.
Her kan vi si at $Z=\sqrt{i} \Rightarrow Z^2=i$ som vidre vil si at formelen vi se slik ut med den orginale kartetiske formelen $Z^2=(a+bi)^2 \Rightarrow Z^2=a^2+2abi+b^2i^2$
Dette som vi har kommet fram til så bruker vi regler innenfor $i$ regning i opphøyd at dette er minus 1. Dette impliserer at den nye ligningen blir $Z^2=a^2-b^2+2abi$
Og fra den orginal ligningen kan vi si at $a$- siden vil være $0$ og $b$- siden vil være 1. $a^2-b^2=0$ og at $2abi=1i$ Dermed kan vi si at i likningen er $a=b$ og at $2ab=1$
Dette betyr at vi må finne svaret for $a$ og $b$
For å finne svaret kan vi bruke substitusjon og bruke bare $b$ siden den er lik $a$
Dette impliserer at $2ab=1 \Rightarrow 2b^2=1$ vi deler på $2$ på begge sider og finner $b^2=\frac{1}{2} \Rightarrow b=\pm\frac{1}{\sqrt2}$ og $a=\pm\frac{1}{\sqrt2}$
$a$ og $b$ kan kun være like og vil enten ha bare minus eller bare pluss.
Nå kan man ta dette over til polarform og si at $R= \sqrt{\frac{1}{\sqrt2}^2 + \frac{1}{\sqrt2}^2}$ $\Rightarrow$ $R=1$
Nå må vi finne vinkelen til $\alpha$ bruker man $Tan^{-1}=\frac{\frac{1}{\sqrt2}}{\frac{1}{\sqrt2}}$ $\Rightarrow$ vinklen vil være $\frac{\pi}{4}$
Polarformen vil være $(cos(\frac{\pi}{4})+sin(\frac{\pi}{4})*i)$
Eksempel av grafen.
from IPython.display import Image
Image(filename='Kvadratrot.jpg')