Método de Eliminación de Gauss- Jordan

El estudiante conoce hasta ahora los metodos de eliminación del álgebra elemental para resolver un sistema simultáneo de ecuaciones, estos son: eliminación por igualación, eliminación por sustitución y eliminación por reducción.

Expondremos aca un metodo de eliminación-reducción que automatiza por completo la solución de un sistema simultáneo de ecuaciones: El método de Gauss- Jordan.

Este método se apoya en el hechode que las siguientes operaciones pueden efectuarse sin que se altere la solución:

  1. Se puede multiplicar ambos miembros de una ecuación por un mismo número.
  2. Se puede intercambiar el orden de 2 ecuaciones.
  3. A una ecuación se le puede sumar un multiplo de otra ecuación.

El método de eliminación de Gaus-Jordan se efectúa aplicando tres operaciones sobre la matriz aumentada, las cuales denominamos operaciones elementales.

  1. Multiplicar una fila por un número.
  2. Agregarle a una fila un múltiplo de otra fila.
  3. Intercambiar el orden de dos filas(permutar).

Nota: La tercera operación es válida ya que cuando se tiene un sistema de ecuaciones es perfectamente posible intercambiar el orden de dos de ellas sin que se altere la solución.

Representación matricial de un sistema de ecuaciones

Sea el sistema de n ecuaciones con n incógnitas(cuadrado):

$ A= \left( \begin{array}{ccc} a_{11}& a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}&\dotso&a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}&\dotso&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\dots&\vdots\\ a_{n1}& a_{n2}&\dotso&a_{nn}\\ \end{array} \right) $ Matriz de Coeficientes

$ X= \left( \begin{array}{ccc} {X1}\\ {X2}\\ {X3}\\ \vdots\\ {Xn}\\ \end{array} \right) $ Matriz de Variable

$ b= \left( \begin{array}{ccc} {b1}\\ {b2}\\ {b3}\\ \vdots\\ {bn}\\ \end{array} \right) $ Matriz de terminos independientes

Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

$ \begin{equation} 2x_{1}-2x_{2}+x_{3}=-3\\ x_{1}+3x_{2}-2x_{3}=1\\ 3x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\\ \end{equation} $

$$ A_{3x3}= \left( \begin{array}{ccc} 2&-2&1\vdots&-3\\ 1&3&-2\vdots&1\\ 3&1&1\vdots&2\\ \end{array} \right) $$
In [4]:
A=matrix([[2,-2,1],[1,3,-2],[3,1,1]]);A
Out[4]:
[ 2 -2  1]
[ 1  3 -2]
[ 3  1  1]
In [5]:
A.inverse()
Out[5]:
[ 5/16  3/16  1/16]
[-7/16 -1/16  5/16]
[ -1/2  -1/2   1/2]
In [6]:
B=matrix([[-3],[1],[2]]);B
Out[6]:
[-3]
[ 1]
[ 2]
In [7]:
A.inverse()*B
Out[7]:
[-5/8]
[15/8]
[   2]
In [ ]: