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Física cinemática lançamento vertical lançamento horizontal lançamento oblíco queda livre

Project: Tutoriais
Views: 464
License: MIT
Image: ubuntu2004
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Kernel: SageMath 9.4

QUEDA LIVRE E LANÇAMENTO

Arquivos (notebooks .ipynb) sobre que queda livre e lançamento vertical, horizontal e obliquo. Abra o arquivo em no botão verde "Open with one click!" para manipular as animações.

QUEDA LIVRE

  1. Um corpo é solto do alto de um prédio de 10,0m de altura. Considere g=9.81m/s2g = 9.81m/s² e desprezando a resistência do ar, determine (considere os AS):

    a) represente graficamente o movimento e vetores das grandezas associadas;

    b) as funções horárias do movimento;

    c) o tempo para a pedra chegar no solo;

    d) a velocidade ao tocar o solo;

    e) os gráficos das funções horárias e vetores;

    f) a velocidade e posição 0,5s depois do lançamento;

    g) A massa sendo 500g altera algum resultado

In [1]:
%display latex
In [2]:
reset()
In [3]:
# criação da variável tempo t var('t')
Out[3]:
t\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t
In [5]:
# DADOS INICIAIS # Aceleração da gravidade g = -9.81 # posição inicial y0 = 10.0 # o número mínimo de algarismos significativos de acordo com os dados é 3
In [6]:
# b) função posição y(t) = y0 + g*t^2/2 y(t)
Out[6]:
4.90500000000000t2+10.0000000000000\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-4.90500000000000 \, t^{2} + 10.0000000000000
In [7]:
# velocidade é a derivada da função posição vy(t) = diff(y(t), t) vy(t)
Out[7]:
9.81000000000000t\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-9.81000000000000 \, t
In [8]:
# c) o tempo para a pedra chegar no solo T = solve(y(t) == 0 , t) T
Out[8]:
[t=203271095,t=203271095]\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[t = -\frac{20}{327} \, \sqrt{109} \sqrt{5}, t = \frac{20}{327} \, \sqrt{109} \sqrt{5}\right]
In [9]:
# pegar somente o valor numérico do lado direito do elemento de posição 1 do vetor T # considerando 3 algarismos significativos t1 = T[1].rhs().n(digits = 3) t1
Out[9]:
1.43\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}1.43
In [10]:
# d) a velocidade ao tocar o solo v_solo = vy(t1).n(digits = 3) v_solo
Out[10]:
14.0\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-14.0
In [11]:
# convertendo para km/h vy(t1)*3.6
Out[11]:
50.4\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-50.4
In [12]:
# e) gráficos das funções horárias # gráfico das posições plot(y(t), (t, 0, t1), legend_label = '$y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$y(m)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))
Out[12]:
Image in a Jupyter notebook
In [13]:
# Gráfico vetor posição # arraste o slider do tempo abaixo from sage.repl.ipython_kernel.interact import interact @interact def plot_a_function(t = (0.0,t1, 0.0001)): P = plot(vector([0, y(t)]), ymin = -y0, ymax = y0, axes_labels = ['','$y (m)$'], gridlines = 'minor') show(P) show('t = ', N(t, digits=3),'s', ' ------ ', ' P = ',N(y(t), digits=3),'m')
Out[13]:
In [14]:
# gráfico da função velocidade plot(vy(t), (t, 0, t1), legend_label = '$v_y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$v_y(m/s)$'], ymin = v_solo, ymax = -v_solo, gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))
Out[14]:
Image in a Jupyter notebook
In [15]:
# gráfico vetor velocidade # arraste o slider do tempo abaixo from sage.repl.ipython_kernel.interact import interact @interact def plot_a_function(t=(0.0,t1, 0.0001)): V = plot(vector([0, vy(t)]), ymin = v_solo, ymax = -v_solo, axes_labels = ['','$v_y(m/s)$'], gridlines = 'minor') show(V) show('t = ', N(t, digits=3),'s', ' ------ ', ' vy = ',N(vy(t), digits=3),'m/s', ' | ', N(vy(t)*3.6, digits=3),'km/h')
Out[15]:
In [16]:
# f) a velocidade e posição 0,5s depois do lançamento vy(0.5).n(digits=3) , y(0.5).n(digits=3)
Out[16]:
(4.90,8.77)\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(-4.90, 8.77\right)

Observe que a posição para um corpo solto de uma altura de 10,0m no instante 0,5s é de 8,77m, mas isto não significa que o corpo caiu 8,77m! este valor é da posição, na verdade o corpo caiu 10,0 - 8,77 = 1,23m.

LANÇAMENTO VERTICAL

  1. Uma pedra de massa 100,0g é lançada para cima com velocidade inicial de 20,0m/s. Considere g=9.81m/s2g = 9.81m/s² e desprezando a resistência do ar, determine:

    a) represente graficamente o movimento e vetores das grandezas associadas;

    b) as funções horárias do movimento;

    c) o tempo para a pedra chegar na altura máxima;

    d) a altura máxima;

    e) gráficos das funções horárias e vetores;

    f) a velocidade e posição 0,5s depois do lançamento;

    g) A massa sendo 500g altera algum resultado

In [17]:
%display latex
In [18]:
# resetar variáveis reset()
In [19]:
# criar variável tempo t var('t')
Out[19]:
t\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t
In [5]:
# DADOS INICIAIS # Aceleração da gravidade g = -9.81 # posição inicial y0 = 0 #velocidade vy inicial vy0 = 20.0
In [6]:
# b) as funções horárias do movimento # função posição em relação ao eixo cartesiano Y y(t) = 0 + vy0*t + g*t^2/2 y(t)
Out[6]:
-4.90500000000000*t^2 + 20.0000000000000*t
In [3]:
# b) as funções horárias do movimento # velocidade é a derivada da função posição vy(t) = diff(y(t), t) vy(t)
Out[3]:
-9.81000000000000*t + 20.0000000000000
In [28]:
# c) o tempo para a pedra chegar na altura máxima; T = solve(vy(t) == 0 , t) T
Out[28]:
[t=(2000981)]\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[t = \left(\frac{2000}{981}\right)\right]
In [29]:
# c) o tempo para a pedra chegar na altura máxima; # pegar somente o valor numérico do lado direito do elemento de posição 1 do vetor T # considerando 3 algarismos significativos t_at_max = T[0].rhs().n(digits = 3) t_at_max
Out[29]:
2.04\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}2.04
In [30]:
# d) a altura máxima altura_max = y(t_at_max).n(digits = 3) altura_max
Out[30]:
20.4\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}20.4
In [31]:
# e) gráficos das funções horárias e vetores; # gráfico função posição em função do tempo até altura máxima plot(y(t), (t, 0, t_at_max), legend_label = '$y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$y(m)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))
Out[31]:
Image in a Jupyter notebook
In [32]:
# e) gráficos das funções horárias e vetores; # gráfico função posição em função do tempo todo o movimento plot(y(t), (t, 0, 2*t_at_max), legend_label = '$v_y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$y(m)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))
Out[32]:
Image in a Jupyter notebook
In [33]:
# e) gráficos das funções horárias e vetores; # gráfico vetor posição from sage.repl.ipython_kernel.interact import interact @interact def plot_a_function(t=(0.0,2*t_at_max, 0.0001)): P = plot(vector([0, y(t)]), ymin = -altura_max, ymax = altura_max, axes_labels = ['','$y(m)$'], gridlines = 'minor') show(P) show('t = ', N(t, digits=3), 's', ' ------ ', ' Y = ', y(t).n(digits=3), 'm')
Out[33]:
In [34]:
# e) gráficos das funções horárias e vetores; # gráfico da função velocidade até altura máxima plot(vy(t), (t, 0, t_at_max), legend_label = '$v_y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$v_y(m/s)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))
Out[34]:
Image in a Jupyter notebook
In [35]:
# e) gráficos das funções horárias e vetores; # gráfico da função velocidade todo o movimento plot(vy(t), (t, 0, 2*t_at_max), legend_label = '$v_y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$v_y(m/s)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))
Out[35]:
Image in a Jupyter notebook
In [36]:
# e) gráficos das funções horárias e vetores; # gráfico vetor velocidade from sage.repl.ipython_kernel.interact import interact @interact def plot_a_function(t=(0,2*t_at_max, 0.01)): V = plot(vector([0, vy(t)]), ymin = -vy0, ymax = vy0, axes_labels = ['','$v_y(m)$'], gridlines = 'minor') show(V) show('t = ', N(t, digits=3),'s', ' ------ ', ' V = ',vy(t).n(digits=3),'m/s')
Out[36]:

Observe que o corpo chega no solo com a mesma velocidade de lançamento. Isto acontece pelo fato de ser desprezado a resistência do ar.

In [9]:
# f) a velocidade (m/s) e posição (m) 0,5s depois do lançamento; y(0.5).n(digits=3), vy(0.5).n(digits=3)
Out[9]:
(8.77, 15.1)

LANÇAMENTO HORIZONTAL

  1. Uma pedra de massa 100,0g é lançada horizotalmente com velocidade inicial de 20,0m/s do alto de uma ponte de 28,0m. Considere g=9.81m/s2g = 9.81m/s² e desprezando a resistência do ar, determine:

    a) represente graficamente o movimento e vetores das grandezas associadas;

    b) as funções horárias do movimento;

    c) o tempo para a pedra tocar o solo;

    d) o alcance horizontal máximo;

    e) a velocidade máxima V ao tocar o solo

    f) gráficos das funções horárias e vetores;

    g) a velocidade e posição 0,5s depois do lançamento;

    h) A massa sendo 500g altera algum resultado

In [10]:
%display latex
In [11]:
# resetar variáveis reset()
In [12]:
# criar variável tempo t var('t')
Out[12]:
t\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t
In [28]:
# DADOS INICIAIS # Aceleração da gravidade g = -9.81 # posição y inicial y0 = 28.0 #velocidade vy inicial vy0 = 0 # velocidade vx inicial vx0 = 20.0 # posição x inicial x0 = 0
In [29]:
# b) as funções horárias do movimento # função horária da posição em relação ao eixo cartesiano Y y(t) = y0 + vy0*t + g*t^2/2.0 y(t)
Out[29]:
4.90500000000000t2+28.0000000000000\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-4.90500000000000 \, t^{2} + 28.0000000000000
In [30]:
# b) as funções horárias do movimento # função horária da posição em relação ao eixo cartesiano X x(t) = x0 + vx0*t
In [31]:
# b) as funções horárias do movimento # função horária da velocidade em relação ao eixo cartesiano Y vy(t) = diff(y(t), t) vy(t)
Out[31]:
9.81000000000000t\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-9.81000000000000 \, t
In [32]:
# b) as funções horárias do movimento # função horária da velocidade em relação ao eixo cartesiano X # vx é constante, corresponde a vx0
In [33]:
# c) o tempo para a pedra tocar o solo; T = solve(y(t) == 0 , t) T
Out[33]:
[t=2032710914,t=2032710914]\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[t = -\frac{20}{327} \, \sqrt{109} \sqrt{14}, t = \frac{20}{327} \, \sqrt{109} \sqrt{14}\right]
In [34]:
# pegar somente o valor numérico do lado direito do elemento de posição 1 do vetor T # considerando 3 algarismos significativos t_solo = n(T[1].rhs()) t_solo
Out[34]:
2.38923853022931\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}2.38923853022931
In [35]:
# d) alcance máximo horizontal alcance_max = x(t_solo) alcance_max
Out[35]:
47.7847706045862\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}47.7847706045862
In [50]:
# e) a velocidade máxima V ao tocar o solo # V V(t) = sqrt(vy(t)^2 + vx0^2) V(t_solo)
Out[50]:
30.8116860947271\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}30.8116860947271
In [23]:
# f) gráficos das funções horárias e vetores; # gráfico função posição em função do tempo em relação ao eixo cartesiano Y durante todo o movimento plot(y(t), (t, 0, t_solo), legend_label = '$y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$y(m)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))
Out[23]:
Image in a Jupyter notebook
In [24]:
# f) gráficos das funções horárias e vetores; # gráfico função posição em função do tempo em relação ao eixo cartesiano X durante todo o movimento plot(x(t), (t, 0, t_solo), legend_label = '$x(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$x(m)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))
Out[24]:
Image in a Jupyter notebook
In [50]:
# f) gráficos das funções horárias e vetores; # gráfico vetor posição em relação aos eixos cartesianos XY P = vector([]) for k in srange(0, t_solo, 0.1): P = plot(vector([x(k), y(k)]), color=Color(k,k/2,k*2.1)) + plot(P) show(P, gridlines = 'minor', axes_labels = ['$x(m)$','$y(m)$'])
Out[50]:
Image in a Jupyter notebook
In [53]:
V(0.2)
Out[53]:
20.0960056727699\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}20.0960056727699
In [26]:
# f) gráficos das funções horárias e vetores; # gráfico da função velocidade até chegar ao solo plot(vy(t), (t, 0, t_solo), legend_label = '$v_y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$v_y(m/s)$'], gridlines = 'minor', figsize = (6, 5))
Out[26]:
Image in a Jupyter notebook
In [58]:
# f) gráficos das funções horárias e vetores; # gráfico vetor velocidade V from sage.repl.ipython_kernel.interact import interact @interact def plot_a_function(t=(0,t_solo, 0.01)): V_total = plot(vector([x(t), 0]), xmin = 0, xmax = vx0, ymin = vy_max, ymax = -vy_max, axes_labels = ['$v_x(m/s)$','$v_y(m/s)$'], gridlines = 'minor') + plot(vector([0, vy(t)]), color = 'black') + plot(vector([vx0, vy(t)]), color = 'red') show(V_total) show('t = ', N(t, digits=3),'s', ' ------ ', ' vy = ',vy(t).n(digits=3),'m/s', ' ------ ', ' V = ', V(t).n(digits=3),'m/s')
Out[58]:
In [60]:
# f) gráficos das funções horárias e vetores; # gráfico da função velocidade V da altura máxima até tocar o solo plot(V(t), (t, 0, t_solo), legend_label = '$v_y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$v(m/s)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))
Out[60]:
Image in a Jupyter notebook
In [150]:
# n) gráfico vetor velocidade from sage.repl.ipython_kernel.interact import interact @interact def plot_a_function(t=(0,t_solo, 0.01)): V = plot(vector([vx0, 0]), xmin = 0, xmax = vx0, ymin = vy_max, ymax = -vy_max, axes_labels = ['$v_x(m/s)$','$v_y(m/s)$'], gridlines = 'minor') + plot(vector([0, vy(t)]), color = 'black') + plot(vector([vx0, vy(t)]), color = 'red') show(V) show('t = ', N(t, digits=3),'s',' -------- ',' V = ',N(v(t), digits=3),'m/s' ,' --------',' vy = ', N(vy(t), digits=3),'m/s', ' -------- ', ' vx = ', N(vx0, digits=3),'m/s')
Out[150]:
In [0]:
# a velocidade e posição 0,5s depois do lançamento;

LANÇAMENTO OBLICO

  1. José mané chuta uma bola com velocidade de 20m/s20m/s e ângulo de 30º em relação ao solo. Considerando g=9.8m/s2g = 9.8m/s^2 e desprezando a resistência do ar, determine:

In [0]:
%display latex
In [151]:
reset()
In [152]:
var('t')
Out[152]:
t\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t
In [153]:
# aceleração da gravidade g = 9.81 # posição y inicial y0 = 0 # posição x inicial x0 = 0 # módulo velocidade Vi Vi = 20.0 # angulo teta = pi/6
In [154]:
# velocidade km/h Vi*3.6
Out[154]:
72.0000000000000\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}72.0000000000000
In [158]:
# a) componentes da velocidade V, sendo 30º = pi/6 vx0 = Vi*cos(teta).n(digits=3) vy0 = Vi*sin(teta).n(digits=3) vx0, vy0
Out[158]:
(17.3,10.0)\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(17.3, 10.0\right)
In [164]:
# b) funcão posição Y y(t) = y0 + vy0*t - g*t^2/2.0 y(t)
Out[164]:
4.90500000000000t2+10.0t\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-4.90500000000000 \, t^{2} + 10.0 \, t
In [165]:
# c) função posição X x(t) = x0 + vx0*t x(t)
Out[165]:
17.3t\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}17.3 \, t
In [166]:
# d) velocidade Y vy(t) = diff(y(t), t) vy(t)
Out[166]:
9.81000000000000t+10.0\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-9.81000000000000 \, t + 10.0
In [0]:
# e) velocidade X #vx é constante, corresponde a vx0
In [167]:
# f) tempo para chegar an altura máxima T = solve(vy(t) == 0 , t) T
Out[167]:
[t=(1000981)]\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[t = \left(\frac{1000}{981}\right)\right]
In [169]:
t_a_max = T[0].rhs().n(digits=3) t_a_max
Out[169]:
1.02\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}1.02
In [170]:
# g) altura máxima altura_max = y(t_a_max) altura_max
Out[170]:
5.10\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}5.10
In [171]:
# h) alcance máximo alcance_max = x(2*t_a_max) alcance_max
Out[171]:
35.3\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}35.3
In [172]:
# i) gráfico função posição Y em função do tempo plot(y(t), (t, 0, 2*t_a_max), legend_label = '$y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$y(m)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))
Out[172]:
Image in a Jupyter notebook
In [173]:
# j) gráfico posição X durante todo o movimento plot(x(t), (t, 0, 2*t_a_max), legend_label = '$x(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$x(m)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))
Out[173]:
Image in a Jupyter notebook
In [0]:
point?
In [174]:
# gráfico y(x) x x(x) P = vector([]) for k in srange(0, 2*t_a_max, 0.03): P = plot(point([x(k), y(k)])) + plot(P) show(P, gridlines = 'minor', axes_labels = ['$x(m)$','$y(m)$'])
Out[174]:
Image in a Jupyter notebook
In [175]:
# l) gráfico vetor posição P = vector([]) for k in srange(0, 2*t_a_max, 0.2): P = plot(vector([x(k), y(k)]), color=Color(k,k/2,k*2.1)) + plot(P) show(P, gridlines = 'minor', axes_labels = ['$x(m)$','$y(m)$'])
Out[175]:
Image in a Jupyter notebook
In [176]:
# m) gráfico da função velocidade Y plot(vy(t), (t, 0, 2*t_a_max), legend_label = '$v_y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$v_y(m/s)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))
Out[176]:
Image in a Jupyter notebook
In [177]:
# n) função módulo de V v(t) = sqrt((vy(t))^2 + vx0^2) v(t)
Out[177]:
(9.81000000000000t+10.0)2+300.\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\sqrt{{\left(-9.81000000000000 \, t + 10.0\right)}^{2} + 300.}
In [178]:
# o) velocidades máxima ao tocar o solo: # vx vx0 # vy vy_max = vy0 # v v_max = Vi v_max #velocidades max vx0, vy_max, v_max
Out[178]:
(17.3,10.0,20.0000000000000)\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(17.3, 10.0, 20.0000000000000\right)
In [179]:
# gráfico da função velocidade durante todo o movimento plot(v(t), (t, 0, 2*t_a_max), legend_label = '$V(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$v(m/s)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))
Out[179]:
Image in a Jupyter notebook
In [181]:
# gráfico vetor velocidade V from sage.repl.ipython_kernel.interact import interact @interact def plot_a_function(t=(0,2*t_a_max, 0.001)): V = plot(vector([vx0,0]), xmin = 0, xmax = vx0, ymin = -vy0, ymax = vy0, axes_labels = ['$v_x(m/s)$','$v_y(m/s)$'], gridlines = 'minor') + plot(vector([0,vy(t)]), color = 'black') + plot(vector([vx0, vy(t)]), color = 'red') show(V) show('t = ', N(t, digits=3), 's', ' --------', ' V = ',N(v(t), digits=3),'m/s' ,' --------',' vy = ', N(vy(t), digits=3),'m/s', ' -------- ', ' vx = ', N(vx0, digits=3),'m/s')
Out[181]:
In [0]:
xa(t) = 10 - 0.1*t xb(t) = 0 + 2*t
In [0]:
plot(xa, 0,5)+plot(xb, 0,5)
In [0]: