Física cinemática lançamento vertical lançamento horizontal lançamento oblíco queda livre

Project: Tutoriais

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Kernel: SageMath 9.4

QUEDA LIVRE E LANÇAMENTO

Arquivos (notebooks .ipynb) sobre que queda livre e lançamento vertical, horizontal e obliquo. Abra o arquivo em no botão verde "Open with one click!" para manipular as animações.

QUEDA LIVRE

Um corpo é solto do alto de um prédio de 10,0m de altura. Considere $g = 9.81m/s²$ e desprezando a resistência do ar, determine (considere os AS):
a) represente graficamente o movimento e vetores das grandezas associadas;
b) as funções horárias do movimento;
c) o tempo para a pedra chegar no solo;
d) a velocidade ao tocar o solo;
e) os gráficos das funções horárias e vetores;
f) a velocidade e posição 0,5s depois do lançamento;
g) A massa sendo 500g altera algum resultado

In [1]:

%display latex

In [2]:

reset()

In [3]:

# criação da variável tempo t
var('t')

Out[3]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t

In [5]:

# DADOS INICIAIS
# Aceleração da gravidade
g = -9.81

# posição inicial
y0 = 10.0

# o número mínimo de algarismos significativos de acordo com os dados é 3

In [6]:

# b) função posição 

y(t) = y0 + g*t^2/2
y(t)

Out[6]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-4.90500000000000 \, t^{2} + 10.0000000000000

In [7]:

# velocidade é a derivada da função posição

vy(t) = diff(y(t), t)
vy(t)

Out[7]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-9.81000000000000 \, t

In [8]:

# c) o tempo para a pedra chegar no solo

T = solve(y(t) == 0 , t)
T

Out[8]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[t = -\frac{20}{327} \, \sqrt{109} \sqrt{5}, t = \frac{20}{327} \, \sqrt{109} \sqrt{5}\right]

In [9]:

# pegar somente o valor numérico do lado direito do elemento de posição 1 do vetor T
# considerando 3 algarismos significativos

t1 = T[1].rhs().n(digits = 3)
t1

Out[9]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}1.43

In [10]:

# d) a velocidade ao tocar o solo

v_solo = vy(t1).n(digits = 3)
v_solo

Out[10]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-14.0

In [11]:

# convertendo para km/h

vy(t1)*3.6

Out[11]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-50.4

In [12]:

# e) gráficos das funções horárias

# gráfico das posições

plot(y(t), (t, 0, t1), legend_label = '$y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$y(m)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))

Out[12]:

In [13]:

# Gráfico vetor posição
# arraste o slider do tempo abaixo

from sage.repl.ipython_kernel.interact import interact
@interact
def plot_a_function(t = (0.0,t1, 0.0001)):
    P = plot(vector([0, y(t)]), ymin = -y0, ymax = y0, axes_labels = ['','$y (m)$'], gridlines = 'minor')
    show(P)
    show('t = ', N(t, digits=3),'s', ' ------  ', ' P = ',N(y(t), digits=3),'m')

Out[13]:

In [14]:

# gráfico da função velocidade

plot(vy(t), (t, 0, t1), legend_label = '$v_y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$v_y(m/s)$'], ymin = v_solo, ymax = -v_solo, gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))

Out[14]:

In [15]:

# gráfico vetor velocidade 
# arraste o slider do tempo abaixo

from sage.repl.ipython_kernel.interact import interact
@interact
def plot_a_function(t=(0.0,t1, 0.0001)):
    V = plot(vector([0, vy(t)]), ymin = v_solo, ymax = -v_solo, axes_labels = ['','$v_y(m/s)$'], gridlines = 'minor')
    show(V)
    show('t = ', N(t, digits=3),'s', ' ------  ', ' vy = ',N(vy(t), digits=3),'m/s', '  |  ', N(vy(t)*3.6, digits=3),'km/h')

Out[15]:

In [16]:

# f) a velocidade e posição 0,5s depois do lançamento

vy(0.5).n(digits=3) , y(0.5).n(digits=3)

Out[16]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(-4.90, 8.77\right)

Observe que a posição para um corpo solto de uma altura de 10,0m no instante 0,5s é de 8,77m, mas isto não significa que o corpo caiu 8,77m! este valor é da posição, na verdade o corpo caiu 10,0 - 8,77 = 1,23m.

LANÇAMENTO VERTICAL

Uma pedra de massa 100,0g é lançada para cima com velocidade inicial de 20,0m/s. Considere $g = 9.81m/s²$ e desprezando a resistência do ar, determine:
a) represente graficamente o movimento e vetores das grandezas associadas;
b) as funções horárias do movimento;
c) o tempo para a pedra chegar na altura máxima;
d) a altura máxima;
e) gráficos das funções horárias e vetores;
f) a velocidade e posição 0,5s depois do lançamento;
g) A massa sendo 500g altera algum resultado

In [17]:

%display latex

In [18]:

# resetar variáveis

reset()

In [19]:

# criar variável tempo t

var('t')

Out[19]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t

In [5]:

# DADOS INICIAIS
# Aceleração da gravidade
g = -9.81

# posição inicial
y0 = 0

#velocidade vy inicial
vy0 = 20.0

In [6]:

# b) as funções horárias do movimento

# função posição em relação ao eixo cartesiano Y

y(t) = 0 + vy0*t + g*t^2/2
y(t)

Out[6]:

-4.90500000000000*t^2 + 20.0000000000000*t

In [3]:

# b) as funções horárias do movimento

# velocidade é a derivada da função posição

vy(t) = diff(y(t), t)
vy(t)

Out[3]:

-9.81000000000000*t + 20.0000000000000

In [28]:

# c) o tempo para a pedra chegar na altura máxima;

T = solve(vy(t) == 0 , t)
T

Out[28]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[t = \left(\frac{2000}{981}\right)\right]

In [29]:

# c) o tempo para a pedra chegar na altura máxima;

# pegar somente o valor numérico do lado direito do elemento de posição 1 do vetor T
# considerando 3 algarismos significativos

t_at_max = T[0].rhs().n(digits = 3)
t_at_max

Out[29]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}2.04

In [30]:

# d) a altura máxima

altura_max = y(t_at_max).n(digits = 3)
altura_max

Out[30]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}20.4

In [31]:

# e) gráficos das funções horárias e vetores;

# gráfico função posição em função do tempo até altura máxima

plot(y(t), (t, 0, t_at_max), legend_label = '$y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$y(m)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))

Out[31]:

In [32]:

# e) gráficos das funções horárias e vetores;

# gráfico função posição em função do tempo todo o movimento

plot(y(t), (t, 0, 2*t_at_max), legend_label = '$v_y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$y(m)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))

Out[32]:

In [33]:

# e) gráficos das funções horárias e vetores;

# gráfico vetor posição 

from sage.repl.ipython_kernel.interact import interact
@interact
def plot_a_function(t=(0.0,2*t_at_max, 0.0001)):
    P = plot(vector([0, y(t)]), ymin = -altura_max, ymax = altura_max, axes_labels = ['','$y(m)$'], gridlines = 'minor')
    show(P)
    show('t = ', N(t, digits=3), 's', ' ------  ', ' Y = ', y(t).n(digits=3), 'm')

Out[33]:

In [34]:

# e) gráficos das funções horárias e vetores;

# gráfico da função velocidade até altura máxima

plot(vy(t), (t, 0, t_at_max), legend_label = '$v_y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$v_y(m/s)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))

Out[34]:

In [35]:

# e) gráficos das funções horárias e vetores;

# gráfico da função velocidade todo o movimento

plot(vy(t), (t, 0, 2*t_at_max), legend_label = '$v_y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$v_y(m/s)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))

Out[35]:

In [36]:

# e) gráficos das funções horárias e vetores;

# gráfico vetor velocidade

from sage.repl.ipython_kernel.interact import interact
@interact
def plot_a_function(t=(0,2*t_at_max, 0.01)):
    V = plot(vector([0, vy(t)]), ymin = -vy0, ymax = vy0, axes_labels = ['','$v_y(m)$'], gridlines = 'minor')
    show(V)
    show('t = ', N(t, digits=3),'s', ' ------  ', ' V = ',vy(t).n(digits=3),'m/s')

Out[36]:

Observe que o corpo chega no solo com a mesma velocidade de lançamento. Isto acontece pelo fato de ser desprezado a resistência do ar.

In [9]:

# f) a velocidade (m/s) e posição (m) 0,5s depois do lançamento;

y(0.5).n(digits=3), vy(0.5).n(digits=3)

Out[9]:

(8.77, 15.1)

LANÇAMENTO HORIZONTAL

Uma pedra de massa 100,0g é lançada horizotalmente com velocidade inicial de 20,0m/s do alto de uma ponte de 28,0m. Considere $g = 9.81m/s²$ e desprezando a resistência do ar, determine:
a) represente graficamente o movimento e vetores das grandezas associadas;
b) as funções horárias do movimento;
c) o tempo para a pedra tocar o solo;
d) o alcance horizontal máximo;
e) a velocidade máxima V ao tocar o solo
f) gráficos das funções horárias e vetores;
g) a velocidade e posição 0,5s depois do lançamento;
h) A massa sendo 500g altera algum resultado

In [10]:

%display latex

In [11]:

# resetar variáveis

reset()

In [12]:

# criar variável tempo t

var('t')

Out[12]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t

In [28]:

# DADOS INICIAIS
# Aceleração da gravidade
g = -9.81

# posição y inicial
y0 = 28.0

#velocidade vy inicial
vy0 = 0

# velocidade vx inicial
vx0 = 20.0


# posição x inicial 
x0 = 0

In [29]:

# b) as funções horárias do movimento

# função horária da posição em relação ao eixo cartesiano Y

y(t) = y0 + vy0*t + g*t^2/2.0
y(t)

Out[29]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-4.90500000000000 \, t^{2} + 28.0000000000000

In [30]:

# b) as funções horárias do movimento

# função horária da posição em relação ao eixo cartesiano X

x(t) = x0 + vx0*t

In [31]:

# b) as funções horárias do movimento

# função horária da velocidade em relação ao eixo cartesiano Y

vy(t) = diff(y(t), t)
vy(t)

Out[31]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-9.81000000000000 \, t

In [32]:

# b) as funções horárias do movimento

# função horária da velocidade em relação ao eixo cartesiano X

    # vx é constante, corresponde a vx0

In [33]:

# c) o tempo para a pedra tocar o solo;

T = solve(y(t) == 0 , t)
T

Out[33]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[t = -\frac{20}{327} \, \sqrt{109} \sqrt{14}, t = \frac{20}{327} \, \sqrt{109} \sqrt{14}\right]

In [34]:

# pegar somente o valor numérico do lado direito do elemento de posição 1 do vetor T
# considerando 3 algarismos significativos

t_solo = n(T[1].rhs())
t_solo

Out[34]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}2.38923853022931

In [35]:

# d) alcance máximo horizontal

alcance_max = x(t_solo)
alcance_max

Out[35]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}47.7847706045862

In [50]:

# e) a velocidade máxima V ao tocar o solo

# V
V(t) = sqrt(vy(t)^2 + vx0^2)

V(t_solo)

Out[50]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}30.8116860947271

In [23]:

# f) gráficos das funções horárias e vetores;

# gráfico função posição em função do tempo em relação ao eixo cartesiano Y durante todo o movimento

plot(y(t), (t, 0, t_solo), legend_label = '$y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$y(m)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))

Out[23]:

In [24]:

# f) gráficos das funções horárias e vetores;

# gráfico função posição em função do tempo em relação ao eixo cartesiano X durante todo o movimento

plot(x(t), (t, 0, t_solo), legend_label = '$x(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$x(m)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))

Out[24]:

In [50]:

# f) gráficos das funções horárias e vetores;

# gráfico vetor posição em relação aos eixos cartesianos XY

P = vector([])

for k in srange(0, t_solo, 0.1):
    P = plot(vector([x(k), y(k)]), color=Color(k,k/2,k*2.1)) + plot(P)
    
show(P, gridlines = 'minor', axes_labels = ['$x(m)$','$y(m)$'])

Out[50]:

In [53]:

V(0.2)

Out[53]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}20.0960056727699

In [26]:

# f) gráficos das funções horárias e vetores;

# gráfico da função velocidade até chegar ao solo

plot(vy(t), (t, 0, t_solo), legend_label = '$v_y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$v_y(m/s)$'], gridlines = 'minor', figsize = (6, 5))

Out[26]:

In [58]:

# f) gráficos das funções horárias e vetores;

# gráfico vetor velocidade V

from sage.repl.ipython_kernel.interact import interact
@interact
def plot_a_function(t=(0,t_solo, 0.01)):
    V_total = plot(vector([x(t), 0]), xmin = 0, xmax = vx0, ymin = vy_max, ymax = -vy_max, axes_labels = ['$v_x(m/s)$','$v_y(m/s)$'], gridlines = 'minor') + plot(vector([0, vy(t)]), color = 'black') + plot(vector([vx0, vy(t)]), color = 'red')
    show(V_total)
    show('t = ', N(t, digits=3),'s', ' ------  ', ' vy = ',vy(t).n(digits=3),'m/s', '  ------  ', ' V = ', V(t).n(digits=3),'m/s')

Out[58]:

In [60]:

# f) gráficos das funções horárias e vetores;

# gráfico da função velocidade V da altura máxima até tocar o solo

plot(V(t), (t, 0, t_solo), legend_label = '$v_y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$v(m/s)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))

Out[60]:

In [150]:

# n) gráfico vetor velocidade 

from sage.repl.ipython_kernel.interact import interact
@interact
def plot_a_function(t=(0,t_solo, 0.01)):
    V = plot(vector([vx0, 0]), xmin = 0, xmax = vx0, ymin = vy_max, ymax = -vy_max, axes_labels = ['$v_x(m/s)$','$v_y(m/s)$'], gridlines = 'minor') + plot(vector([0, vy(t)]), color = 'black') + plot(vector([vx0, vy(t)]), color = 'red')
    show(V)
    show('t = ', N(t, digits=3),'s',' --------  ','  V = ',N(v(t), digits=3),'m/s' ,' --------','  vy = ', N(vy(t), digits=3),'m/s', ' -------- ', ' vx = ', N(vx0, digits=3),'m/s')

Out[150]:

In [0]:

# a velocidade e posição 0,5s depois do lançamento;

LANÇAMENTO OBLICO

José mané chuta uma bola com velocidade de $20m/s$ e ângulo de 30º em relação ao solo. Considerando $g = 9.8m/s^2$ e desprezando a resistência do ar, determine:

In [0]:

%display latex

In [151]:

reset()

In [152]:

var('t')

Out[152]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t

In [153]:

# aceleração da gravidade
g = 9.81

# posição y inicial
y0 = 0

# posição x inicial 
x0 = 0

# módulo velocidade Vi
Vi = 20.0

# angulo 
teta = pi/6

In [154]:

# velocidade km/h
Vi*3.6

Out[154]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}72.0000000000000

In [158]:

# a) componentes da velocidade V, sendo 30º = pi/6

vx0 = Vi*cos(teta).n(digits=3)
vy0 = Vi*sin(teta).n(digits=3)

vx0, vy0

Out[158]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(17.3, 10.0\right)

In [164]:

# b) funcão posição Y

y(t) = y0 + vy0*t - g*t^2/2.0
y(t)

Out[164]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-4.90500000000000 \, t^{2} + 10.0 \, t

In [165]:

# c) função posição X

x(t) = x0 + vx0*t
x(t)

Out[165]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}17.3 \, t

In [166]:

# d) velocidade Y

vy(t) = diff(y(t), t)
vy(t)

Out[166]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-9.81000000000000 \, t + 10.0

In [0]:

# e) velocidade X

    #vx é constante, corresponde a vx0

In [167]:

# f) tempo para chegar an altura máxima

T = solve(vy(t) == 0 , t)
T

Out[167]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[t = \left(\frac{1000}{981}\right)\right]

In [169]:

t_a_max = T[0].rhs().n(digits=3)
t_a_max

Out[169]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}1.02

In [170]:

# g) altura máxima

altura_max = y(t_a_max)
altura_max

Out[170]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}5.10

In [171]:

# h) alcance máximo

alcance_max = x(2*t_a_max)
alcance_max

Out[171]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}35.3

In [172]:

# i) gráfico função posição Y em função do tempo 

plot(y(t), (t, 0, 2*t_a_max), legend_label = '$y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$y(m)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))

Out[172]:

In [173]:

# j) gráfico posição X durante todo o movimento

plot(x(t), (t, 0, 2*t_a_max), legend_label = '$x(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$x(m)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))

Out[173]:

In [0]:

point?

In [174]:

# gráfico y(x) x x(x)
P = vector([])

for k in srange(0, 2*t_a_max, 0.03):
    P =  plot(point([x(k), y(k)])) + plot(P)
    
show(P, gridlines = 'minor', axes_labels = ['$x(m)$','$y(m)$'])

Out[174]:

In [175]:

# l) gráfico vetor posição
P = vector([])

for k in srange(0, 2*t_a_max, 0.2):
    P =  plot(vector([x(k), y(k)]), color=Color(k,k/2,k*2.1)) + plot(P)
    
show(P, gridlines = 'minor', axes_labels = ['$x(m)$','$y(m)$'])

Out[175]:

In [176]:

# m) gráfico da função velocidade Y

plot(vy(t), (t, 0, 2*t_a_max), legend_label = '$v_y(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$v_y(m/s)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))

Out[176]:

In [177]:

# n) função módulo de V

v(t) = sqrt((vy(t))^2 + vx0^2)
v(t)

Out[177]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\sqrt{{\left(-9.81000000000000 \, t + 10.0\right)}^{2} + 300.}

In [178]:

# o) velocidades máxima ao tocar o solo: 

# vx
vx0

# vy
vy_max = vy0

# v
v_max = Vi
v_max

#velocidades max
vx0, vy_max, v_max

Out[178]:

\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(17.3, 10.0, 20.0000000000000\right)

In [179]:

# gráfico da função velocidade durante todo o movimento

plot(v(t), (t, 0, 2*t_a_max), legend_label = '$V(t)$', axes_labels = ['$t(s)$','$v(m/s)$'], gridlines = 'minor', figsize=(6, 5))

Out[179]:

In [181]:

# gráfico vetor velocidade V

from sage.repl.ipython_kernel.interact import interact
@interact
def plot_a_function(t=(0,2*t_a_max, 0.001)):
    V = plot(vector([vx0,0]), xmin = 0, xmax = vx0, ymin = -vy0, ymax = vy0, axes_labels = ['$v_x(m/s)$','$v_y(m/s)$'], gridlines = 'minor') + plot(vector([0,vy(t)]), color = 'black') + plot(vector([vx0, vy(t)]), color = 'red')
    show(V)
    show('t = ', N(t, digits=3), 's', ' --------', ' V = ',N(v(t), digits=3),'m/s' ,' --------','  vy = ', N(vy(t), digits=3),'m/s', ' -------- ', ' vx = ', N(vx0, digits=3),'m/s')

Out[181]:

In [0]:

xa(t) = 10 - 0.1*t
xb(t) = 0 + 2*t

In [0]:

plot(xa, 0,5)+plot(xb, 0,5)

In [0]: