Formas Cuadráticas con Restricciones Lineales

Introducción

Es común que no se desee estudiar una función en todo su dominio, sino únicamente en una parte de él, que satisfaga condiciones esenciales para el problema que se está modelando: los recursos son limitados, la producción sólo puede tomar valores positivos, etc. Aquí nos concentraremos en analizar el proceso de clasificar formas cuadráticas en dos variables que están restringidas por una condición lineal, esto es, una condición de la forma (ax+by=0).

Ejemplo 1

Tomemos la forma cuadrática (Q(x,y)=x^2-y^2). Sabemos que (Q) es indefinida, pero si la restringimos a través de diferentes condiciones lineales, podemos encontrar comportamientos distintos. Examinemos algunas restricciones, primero, el gráfico de (Q) :

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var('x,y,z'); Silla=plot3d(x^2-y^2,(x,-5,5),(y,-5,5),aspect_ratio=[1,1,0.3],figsize=[4,4],plot_points=70); Lin01=implicit_plot3d(y==0,(x,-5,5),(y,-5,5),(z,-10,10),aspect_ratio=[1,1,0.3],color='red',figsize=[4,4])

(x, y, z)

Gráfico de (Q(x,y))

Silla

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Gráfico de (Q(x,y)), con la restricción (y=0)

Silla+Lin01

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Observe que a pesar de ser indefinida, en la restricción (Q) es positiva definida y tiene un mínimo: (Q(x,0)=x^2) tiene un mínimo en ((0,0))

Gráfico de (Q(x,y)) con la restricción (x=0)

Lin02=implicit_plot3d(x==0,(x,-5,5),(y,-5,5),(z,-10,10),aspect_ratio=[1,1,0.3],color='red',figsize=[4,4]);Silla+Lin02

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Esta vez, en la restricción (x=0), tenemos que (Q(0,y)=-y^2) es negativa definida y tiene un máximo en ((0,0))

Visualizando otras restricciones

Analizaremos las restricciones: (y=-x; y=x; y=3x).

En (y=-x), y también en (y=-x), tenemos que (Q(x,\pm x)=x^2-x^2=0). Por lo tanto en esos dos casos no hay ni máximo ni mínimo en la restricción.

Lin03=implicit_plot3d(x+y==0,(x,-4,4),(y,-4,4),(z,-10,10),aspect_ratio=[1,1,0.3],color='red',figsize=[4,4]);Silla+Lin03

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Lin04=implicit_plot3d(x-y==0,(x,-4,4),(y,-4,4),(z,-10,10),aspect_ratio=[1,1,0.3],color='red',figsize=[4,4]);Silla+Lin04

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En la restricción (y=3x), tenemos que (Q(x,3x)=x^2-9x^2=-8x^2), por lo tanto (Q) debe ser negativa definida en la restricción, con un máximo en ((0,0))

Lin05=implicit_plot3d(3*x-y==0,(x,-5,5),(y,-5,5),(z,-10,10),aspect_ratio=[1,1,0.3],color='red',figsize=[4,4]);Silla+Lin05

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Ejemplo 2

Analicemos (Q(x,y)=3x^2+7xy+2y^2), con la restricción (3x+2y=0).

Sabemos que (Q) es indefinida, pues (3\cdot 2 - (\frac{7}{2})^2 < 0 ). Si ahora substituimos (y=-\frac{3x}{2}) en la expresión de (Q), obtenemos:

[ $\begin{aligned} Q(x,y) = 3x^2+7xy+2y^2 \\ = 3x^2-7x\frac{3x}{2}+ 2(-\frac{3x}{2})^2 \\ = 3x^2-\frac{21x^2}{2}+\frac{9x^2}{2} \\ = -\frac{6x^2}{2} \end{aligned}$ ]

Por lo tanto, en la restricción, (Q) es definida negativa, con un maximizador en ((0,0)). Veamos el gráfico:

Sup=plot3d(3*x^2+7*x*y+2*y^2,(x,-3,3),(y,-3,3),aspect_ratio=[20,20,1],figsize=[10,10],plot_points=70); Lin06=implicit_plot3d(3*x+2*y==0,(x,-3,3),(y,-3,3),(z,-10,10),aspect_ratio=[20,20,1],color='red',figsize=[10,10]); Sup+Lin06

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