1722.sagews

x = PolynomialRing(QQ, 'x').gen()
K.<a>=NumberField(x^16+x^15+x^14+x^13+x^12+x^11+x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)
K

Number Field in a with defining polynomial x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

b1=a+a^16

minpoly(b1)

x^8 + x^7 - 7*x^6 - 6*x^5 + 15*x^4 + 10*x^3 - 10*x^2 - 4*x + 1

Mod(3,17)^8

16

b2=a+a^9+a^13+a^15+a^16+a^8+a^4+a^2

minpoly(b2)

x^2 + x - 4

b4=a+a^4+a^16+a^13

minpoly(b4)

x^4 + x^3 - 6*x^2 - x + 1

b21=a^3+a^6+a^12+a^7+a^14+a^11+a^5+a^10

minpoly(b21)

x^2 + x - 4

k=(1-a)*(1-a^9)*(1-a^13)*(1-a^15)*(1-a^16)*(1-a^8)*(1-a^4)*(1-a^2)

l=(1-a^3)*(1-a^6)*(1-a^12)*(1-a^7)*(1-a^14)*(1-a^11)*(1-a^5)*(1-a^10)

s=k/l

minpoly(s)

x^2 - 66*x + 1

66^2-4

4352

factor(66^2-4)

2^8 * 17

L.<q>=NumberField(x^2-17)
L.unit_group().gens()

[-1, q - 4]

(q-4)^2

-8*q + 33

minpoly(q-4)

x^2 + 8*x - 1