Contact
CoCalc Logo Icon
StoreFeaturesDocsShareSupport News AboutSign UpSign In
| Download

All published worksheets from http://sagenb.org

Views: 168726
Image: ubuntu2004

Fibonacci calculations for Project Wiskunde 2

def F(n): return Integer(pari(n).fibonacci())

F(10)
55
v = [n for n in range(1,100)]; v
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99]
for n in v: print n, F(n), is_prime(F(n))
1 1 False 2 1 False 3 2 True 4 3 True 5 5 True 6 8 False 7 13 True 8 21 False 9 34 False 10 55 False 11 89 True 12 144 False 13 233 True 14 377 False 15 610 False 16 987 False 17 1597 True 18 2584 False 19 4181 False 20 6765 False 21 10946 False 22 17711 False 23 28657 True 24 46368 False 25 75025 False 26 121393 False 27 196418 False 28 317811 False 29 514229 True 30 832040 False 31 1346269 False 32 2178309 False 33 3524578 False 34 5702887 False 35 9227465 False 36 14930352 False 37 24157817 False 38 39088169 False 39 63245986 False 40 102334155 False 41 165580141 False 42 267914296 False 43 433494437 True 44 701408733 False 45 1134903170 False 46 1836311903 False 47 2971215073 True 48 4807526976 False 49 7778742049 False 50 12586269025 False 51 20365011074 False 52 32951280099 False 53 53316291173 False 54 86267571272 False 55 139583862445 False 56 225851433717 False 57 365435296162 False 58 591286729879 False 59 956722026041 False 60 1548008755920 False 61 2504730781961 False 62 4052739537881 False 63 6557470319842 False 64 10610209857723 False 65 17167680177565 False 66 27777890035288 False 67 44945570212853 False 68 72723460248141 False 69 117669030460994 False 70 190392490709135 False 71 308061521170129 False 72 498454011879264 False 73 806515533049393 False 74 1304969544928657 False 75 2111485077978050 False 76 3416454622906707 False 77 5527939700884757 False 78 8944394323791464 False 79 14472334024676221 False 80 23416728348467685 False 81 37889062373143906 False 82 61305790721611591 False 83 99194853094755497 True 84 160500643816367088 False 85 259695496911122585 False 86 420196140727489673 False 87 679891637638612258 False 88 1100087778366101931 False 89 1779979416004714189 False 90 2880067194370816120 False 91 4660046610375530309 False 92 7540113804746346429 False 93 12200160415121876738 False 94 19740274219868223167 False 95 31940434634990099905 False 96 51680708854858323072 False 97 83621143489848422977 False 98 135301852344706746049 False 99 218922995834555169026 False
for n in v: print n, F(n), factor(F(n))
1 1 1 2 1 1 3 2 2 4 3 3 5 5 5 6 8 2^3 7 13 13 8 21 3 * 7 9 34 2 * 17 10 55 5 * 11 11 89 89 12 144 2^4 * 3^2 13 233 233 14 377 13 * 29 15 610 2 * 5 * 61 16 987 3 * 7 * 47 17 1597 1597 18 2584 2^3 * 17 * 19 19 4181 37 * 113 20 6765 3 * 5 * 11 * 41 21 10946 2 * 13 * 421 22 17711 89 * 199 23 28657 28657 24 46368 2^5 * 3^2 * 7 * 23 25 75025 5^2 * 3001 26 121393 233 * 521 27 196418 2 * 17 * 53 * 109 28 317811 3 * 13 * 29 * 281 29 514229 514229 30 832040 2^3 * 5 * 11 * 31 * 61 31 1346269 557 * 2417 32 2178309 3 * 7 * 47 * 2207 33 3524578 2 * 89 * 19801 34 5702887 1597 * 3571 35 9227465 5 * 13 * 141961 36 14930352 2^4 * 3^3 * 17 * 19 * 107 37 24157817 73 * 149 * 2221 38 39088169 37 * 113 * 9349 39 63245986 2 * 233 * 135721 40 102334155 3 * 5 * 7 * 11 * 41 * 2161 41 165580141 2789 * 59369 42 267914296 2^3 * 13 * 29 * 211 * 421 43 433494437 433494437 44 701408733 3 * 43 * 89 * 199 * 307 45 1134903170 2 * 5 * 17 * 61 * 109441 46 1836311903 139 * 461 * 28657 47 2971215073 2971215073 48 4807526976 2^6 * 3^2 * 7 * 23 * 47 * 1103 49 7778742049 13 * 97 * 6168709 50 12586269025 5^2 * 11 * 101 * 151 * 3001 51 20365011074 2 * 1597 * 6376021 52 32951280099 3 * 233 * 521 * 90481 53 53316291173 953 * 55945741 54 86267571272 2^3 * 17 * 19 * 53 * 109 * 5779 55 139583862445 5 * 89 * 661 * 474541 56 225851433717 3 * 7^2 * 13 * 29 * 281 * 14503 57 365435296162 2 * 37 * 113 * 797 * 54833 58 591286729879 59 * 19489 * 514229 59 956722026041 353 * 2710260697 60 1548008755920 2^4 * 3^2 * 5 * 11 * 31 * 41 * 61 * 2521 61 2504730781961 4513 * 555003497 62 4052739537881 557 * 2417 * 3010349 63 6557470319842 2 * 13 * 17 * 421 * 35239681 64 10610209857723 3 * 7 * 47 * 1087 * 2207 * 4481 65 17167680177565 5 * 233 * 14736206161 66 27777890035288 2^3 * 89 * 199 * 9901 * 19801 67 44945570212853 269 * 116849 * 1429913 68 72723460248141 3 * 67 * 1597 * 3571 * 63443 69 117669030460994 2 * 137 * 829 * 18077 * 28657 70 190392490709135 5 * 11 * 13 * 29 * 71 * 911 * 141961 71 308061521170129 6673 * 46165371073 72 498454011879264 2^5 * 3^3 * 7 * 17 * 19 * 23 * 107 * 103681 73 806515533049393 9375829 * 86020717 74 1304969544928657 73 * 149 * 2221 * 54018521 75 2111485077978050 2 * 5^2 * 61 * 3001 * 230686501 76 3416454622906707 3 * 37 * 113 * 9349 * 29134601 77 5527939700884757 13 * 89 * 988681 * 4832521 78 8944394323791464 2^3 * 79 * 233 * 521 * 859 * 135721 79 14472334024676221 157 * 92180471494753 80 23416728348467685 3 * 5 * 7 * 11 * 41 * 47 * 1601 * 2161 * 3041 81 37889062373143906 2 * 17 * 53 * 109 * 2269 * 4373 * 19441 82 61305790721611591 2789 * 59369 * 370248451 83 99194853094755497 99194853094755497 84 160500643816367088 2^4 * 3^2 * 13 * 29 * 83 * 211 * 281 * 421 * 1427 85 259695496911122585 5 * 1597 * 9521 * 3415914041 86 420196140727489673 6709 * 144481 * 433494437 87 679891637638612258 2 * 173 * 514229 * 3821263937 88 1100087778366101931 3 * 7 * 43 * 89 * 199 * 263 * 307 * 881 * 967 89 1779979416004714189 1069 * 1665088321800481 90 2880067194370816120 2^3 * 5 * 11 * 17 * 19 * 31 * 61 * 181 * 541 * 109441 91 4660046610375530309 13^2 * 233 * 741469 * 159607993 92 7540113804746346429 3 * 139 * 461 * 4969 * 28657 * 275449 93 12200160415121876738 2 * 557 * 2417 * 4531100550901 94 19740274219868223167 2971215073 * 6643838879 95 31940434634990099905 5 * 37 * 113 * 761 * 29641 * 67735001 96 51680708854858323072 2^7 * 3^2 * 7 * 23 * 47 * 769 * 1103 * 2207 * 3167 97 83621143489848422977 193 * 389 * 3084989 * 361040209 98 135301852344706746049 13 * 29 * 97 * 6168709 * 599786069 99 218922995834555169026 2 * 17 * 89 * 197 * 19801 * 18546805133
P = primes_first_n(5000)

sage: for p in P:
...       if p.divides(F(p-1)):
...           print(p), "-"
...       if p.divides(F(p+1)):
...           print(p), "+"
WARNING: Output truncated!
2 + 3 + 7 + 11 - 13 + 17 + 19 - 23 + 29 - 31 - 37 + 41 - 43 + 47 + 53 + 59 - 61 - 67 + 71 - 73 + 79 - 83 + 89 - 97 + 101 - 103 + 107 + 109 - 113 + 127 + 131 - 137 + 139 - 149 - 151 - 157 + 163 + 167 + 173 + 179 - 181 - 191 - 193 + 197 + 199 - 211 - 223 + 227 + 229 - 233 + 239 - 241 - 251 - 257 + 263 + 269 - 271 - 277 + 281 - ... 47947 + 47951 - 47963 + 47969 - 47977 + 47981 - 48017 + 48023 + 48029 - 48049 - 48073 + 48079 - 48091 - 48109 - 48119 - 48121 - 48131 - 48157 + 48163 + 48179 - 48187 + 48193 + 48197 + 48221 - 48239 - 48247 + 48259 - 48271 - 48281 - 48299 - 48311 - 48313 + 48337 + 48341 - 48353 + 48371 - 48383 + 48397 + 48407 + 48409 - 48413 + 48437 + 48449 - 48463 + 48473 + 48479 - 48481 - 48487 + 48491 - 48497 + 48523 + 48527 + 48533 + 48539 - 48541 - 48563 + 48571 - 48589 - 48593 + 48611 -
Bovenstaande lijst controleert p deelt F(p-1) of p deelt F(p+1) voor p
priem, p ongelijk aan 5. We gaan kijken of er evenveel minnen zijn als
plussen.
pmin = 0; pplus = 0

sage: for p in P:
...       if p.divides(F(p-1)):
...           pmin = pmin + 1
...       if p.divides(F(p+1)):
...           pplus = pplus + 1

pmin, pplus
(2488, 2511)
Evenveel plussen als minnen dus, bij benadering. Verder is er een duidelijk patroon modulo 5: priemgetallen 1 of 4 modulo 5 geven
een min, priemgetallen 2 of 3 modulo 5 geven een plus.
Nu weer even terug naar de Fibonacci-priemgetallen, we gaan kijken welke
F(n) priem zijn.
sage: for n in range(1,3000): 
...       if is_prime(F(n)): 
...           print n, is_prime(n)
3 True 4 False 5 True 7 True 11 True 13 True 17 True 23 True 29 True 43 True 47 True 83 True 131 True 137 True 359 True 431 True 433 True 449 True 509 True 569 True 571 True 2971 True
De lijst gaat door, zie wikipedia: 'Fibonacci-primes'. Of er oneindig
Fibonacci-priemen zijn, is niet bekend. De volgende is F(4723). 
next = F(4723); next
500195636126957292905024512596972806695803345136243348970565288179435361313804956505581782637634612477979679893275103396147348650762007594937510804541145002304302867341006298493404319657382123201158007188252606550806694535329232256851056656372379649097735304781630173812454531781511107460619516018844320335033801984806819067802561370394036732654089838823551603083295670024453477589093119918386566397677610274213837391954591147603054442650326827980781140275941425217172428448698161710841740688042587204161256084914166762549007012713922172748259690566614580062682196606466498102571627683726718483229578044343646737694436406261444368327649097401550241341102704783841619376027737767077127010039900586625841991295111482539736725172169379740443890332234341104310470907449898415522414805210341138063350999730749950920147250683227798780264811215647706542511681027825390882770762662185410080310045261286851842669934849330548237271838345164232560544964315090365421726004108704302854387700053591957
next.ndigits()
987