2112.sagews

Bij het artikel: "On the representation of Natural Numbers as Sums of Squares",

Americ. Math. Monthly, 112, feb 2005, L. Panaitopol

def CkThm1(lim):
    R = set([])
    for i in range(lim):
        for j in range(lim):
            for k in range(lim):
                R.add(F(i,j,k))
    Rtotlimsquare = set(range(lim^2)).difference(R)
    evendeelR = Rtotlimsquare.difference(set[0,2,4,..,lim^2])
    return evendeelR

def F(x,y,z): return x^2+y^2+2*z^2

CkThm1(100);

set([])

def F(x,y,z): return x^2+2*y^2+3*z^2

CkThm1(100)

set([])

def F(x,y,z): return x^2+2*y^2+4*z^2

CkThm1(100)

set([])

De bovenstaande drie checks bevestigen Thm1 voor de oneven getallen t/m 100. Een andere kwadratische functie zou dus niet alle oneven getallen meer kunnen representeren. We testen een voorbeeld.

def F(x,y,z): return x^2+3*y^2+4*z^2

CkThm1(20)

set([135, 393, 267, 141, 15, 285, 159, 33, 297, 303, 177, 51, 321, 195, 69, 339, 213, 87, 357, 231, 105, 375, 249, 123])

Nu gaan we Thm2 controleren.

def CkThm2(lim):
    R = set([])
    for i in range(lim):
        for j in range(lim):
            for k in range(lim):
                R.add(F(i,j,k))
    Rtotlimsquare = set(range(lim^2)).difference(R)
    onevendeelR = Rtotlimsquare.difference(set[1,3,5,..,lim^2])
    return onevendeelR

def F(x,y,z): return x^2+y^2+z^2

CkThm2(20)

set([368, 112, 156, 124, 28, 60, 240, 92, 188, 220, 252, 284, 316, 348, 380])

Dit confirmeert het resultaat van Gauss: de getallen die niet als som van drie kwadraten gerepresenteerd kunnen worden, zijn van de vorm 4^i*(8k + 7), voor i en k niet-negatief.