2135.sagews

Gesucht wird die Lösung von

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{x}{\exp(x)}\right)$

Nun müssen wir zuerst prüfen, ob unsere Voraussetzungen erfüllt sind. Dazu kontrollieren wir ob unsere beiden Funktionen einzeln eine Unendlich-Folge oder eine Nullfolge sind. Sind beide eine Unendlich-Folge oder beide eine Nullfolge so dürfen wir L'Hospital anwenden. Wir erinnern L'Hopital darf immer angewendet werden, wenn gilt:

$\lim\limits_{x\to a}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{0}{0}$ oder $\lim\limits_{x\to a}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\infty}{\infty}$.

limit(x, x=infinity)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}+\infty

limit(e^(x), x=infinity)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}+\infty

Da von unserer Funktion die Grenzwerte beide unendlich sind folgt aus unserer Aussage:

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{x}{\exp(x)}\right)=\frac{\infty}{\infty}$

Da nun Zähler und Nenner jeweils getrennt gegen unendlich gehen, ist es möglich die Regeln von L'Hospital anzuwenden. Also differenzieren wir nun im folgenden Zähler und Nenner und betrachten dann den Grenzwert des daraus entstehenden Bruchs.

diff(x,x)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}1

diff(e^(x),x)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}e^{x}

Das Ableiten liefert im folgenden nun:

$\frac{x'}{\exp(x)}=\frac{1}{\exp(x)}$

Nun besagt die Regel von L'Hopital das

$\lim\limits_{x\to a}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\lim\limits_{x\to a}\left(\frac{f'(x)}{g'(x)}\right)$

ist. Als in Worten: Wenn der Grenzwert für $\frac{f(x)}{g(x)}$ existiert, dann ist es derselbe Grenzwert wie der für $\frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Betrachten wir also im folgenden den Grenzwert für die Ableitungen. Dazu lassen wir zuerst die Grenzwerte der einzelnen Funktionen errechnen und werden zum Ende noch mal die gesamte Ableitungsfunktion betrachten.

limit(1,x=infinity)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}1

limit(e^(x),x=infinity)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}+\infty

limit(1/e^(x),x=infinity)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0

limit(x/e^(x),x=infinity)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0

Wie gerade gezeigt gilt:

$\lim\limits_{x\to\infty}1=1$ und $\lim\limits_{x\to\infty}=\infty$, und damit folgt $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{1}{\exp(x)}\right)\to\frac{1}{\infty}:=0$.

Damit gilt dann:

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{x}{\exp(x)}\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{1}{\exp(x)}\right)=0$

Zur Übung seien nun noch folgende Funktionen genannt:

$\lim\limits_{x\to 1}\left(\frac{\ln(x)}{x-1}\right)$, $\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{\sin(x)}{2x}\right)$, $\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{\exp(x)-1}{x}\right)$, $\lim\limits_{x\to 2}\left(\frac{x-2}{\sin(x-2)}\right)$

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{x}{\exp(5x)}\right)$, $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{\ln(x)}{x^{3}}\right)$, $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{3}}\right)$.

Nachfolgend die Ergebnisse ohne Rechnung:

limit(ln(x)/(x-1),x=1)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}1

limit(sin(x)/(2*x),x=0)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{1}{2}

limit(e^(x)-1/x,x=0)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\infty

limit((x-2)/sin(x-2),x=2)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}1

limit(x/e^(5*x),x=infinity)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0

limit(ln(x)/x^(3),x=infinity)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0

limit(x^(2)/x^(3),x=infinity)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0