2145.sagews

Im folgenden Worksheet wollen wir uns mit der Integration beschäftigen. Da wir bereits wissen das die Ableitungen uns die Steigung in einem jeden Punkt der Funktion liefert. Also fragen wir uns doch jetz welches Ergebnis uns die Integration liefert. Die Antwort wird sein, daß die Integration uns direkt die Fläche unter einem Graphen liefert. Um uns der Integration zu nähern, fangen wir mal ganz naiv mit einer Näherung zur Errechnung der Fläche unter dem Graphen an. Für einen Graphen brauchen wir aber zuerst einmal einen Funktion. Lassen wir $f(x):=x^{5}-8.6x^{4}+25.1x^{3}-28.3x^{2}+10.4625x-0.7875$ unsere Funktion sein. Die erste Frage ist nun wie sieht unsere Funktion aus?

var("x" "n" "k");
f(x)=x^(5)-8.6*x^(4)+25.1*x^(3)-28.3*x^(2)+10.4625*x-0.7875;
def stufe(n,k):
    return plot((x-0.1)*(x-0.5)*(x-1.5)*(x-3)*(x-3.5),(x,-0.1,4))+plot_step_function([(i,f(i)) for i in srange(0,k,n)],rgbcolor=(1,0,0))

plot(f(x),(x,-0.1,3.6))

Gehen wir nun mal naiv an das "Finden" der Fläche zwischen Graph und x-Achse. Bauen wir uns eine Simple Funktion, dazu wählen wir äquidistante, das heißt gleich breite Stücke in x-Achsen-Richtung. Aus diesen Abschnitten wählen wir den Wert in der Mitte, dabei machen wir zwar immer wieder einen gewissen Fehler, dieser wird aber um so kleiner je mehr Teilstücke wir wählen. Die Länge eines Teilstücks sei definiert als die Intervalllänge geteilt durch die Anzahl der Teilstücke, also bei einem Intervall $[a,b]$ und $n$ Teilstücken erhalten wir für die Länge $\frac{b-a}{n}$ LE.

Erinnern wir uns zurück an den Flächeninhalt eines Rechtsecks, welcher als $a\cdot b$ definiert ist, so erhalten wir für die von uns gewählten Rechtecke $\frac{b-a}{n}\cdot f\left(\frac{i*(b-a)}{n}\right)$, $i=0,\ldots,n-1$. Auf den zweiten Teil kommen wir, da wir das Intervall halbieren wollen und es für jeden Abschnitt gelten lassen wollen.

@interact
def _(t1=text_control("Anzahl Intervalle:"), n = slider(5,100,5,5)):
    l = (4-0)/n;
    e = 4+l;
    show(stufe(l,e))

Anzahl Intervalle: n  [removed] [removed] [removed] [removed]

Wie man schön im obigen Beispiel erkennen kann, passt sich die rote Treppenfunktion immer mehr unserer Funktion an und die von uns gemachten Fehler werden immer geringer.

Betrachten wir nun die Fläche unter dem Graphen so erhalten wir folgende Formel: $A_{Fkt}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{b-a}{n}\cdot f\left(\frac{i\cdot(b-a)}{n}\right)$. Nun lassen wir die Abstände in x-Achsen-Richtung infinitisimal klein werden und erhalten darduch $\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{b-a}{n}\cdot f\left(\frac{i\cdot(b-a)}{n}\right)=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$.

Für die Integration sind folgende Regeln dringend zu beachten:

Wichtige Integrale

$f(x)$	$F(x)$	$f(x)$	$F(x)$
$0$	$c$	$x^{n}$	$\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c$
$a$	$ax+c$	$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+a_{0}$	$\frac{a_{n}}{n+1}x^{n+1}+\frac{a_{n-1}}{n}x^{n}+\ldots+\frac{a_{1}}{2}x^{2}+a_{0}x+c$
$\sin(x)$	$-\cos(x)+c$	$\cos(x)$	$\sin(x)+c$
$-\sin(x)$	$\cos(x)+c$	$-\cos(x)$	$-\sin(x)+c$
$\exp(x)$	$\exp(x)+c$	$\frac{1}{x}$	$\ln(x)$
$\ln(x)$	$x\ln(x)-x+c$	$\frac{1}{x^{n}}$	$-\frac{1}{(n-1)\cdot x^{n-1}}+c$

Betrachten wir nun ein mal ein ganz einfaches Integral zum Anfang $h(x):=x-5$ und wir möchten die Fläche im Intervall $[0,10]$ wissen. Dafür rechnen wir direkt:

$\int\limits_{0}^{10}h(x)dx=\int\limits_{0}^{10}(x-5)dx=\left[\frac{1}{2}x^{2}-5x+c\right]_{0}^{10}=\frac{1}{2}10^{2}-5*10+c-\frac{1}{2}0^{2}+5*0-c=0$

Aber nach der folgenden Grafik sehen wir doch das $h(x)$ mit der x-Achse Flachen einschließt.

h(x)=x-5;
plot(h(x),(x,-1,11))

Also können wir daraus schließen, daß Integrale gerichtete Flächen liefern und somit unser gefundenes Ergebnis nicht mehr so abwegig ist, da beide Flächen die selbe Größe haben und sich damit gegeneinander Aufheben. Da wir aber die mit der Achse einschließende Fläche möchten müssen wir das Integral bis zu den Nullstellen jeweils einzeln betrachten. $h(x)$ hat bei $x=5$ eine Nullstelle, und ist für Werte $x<5$ negativ und für $x\geq 5$ positiv. Da wir dies aber nicht immer so leicht herausbekommen können, werden für den Fall die alle Abschnitte in einem Absolutbetrag betrachtet. Also erhalten wir:

$A_{h(x),x=0}=\left\vert\int\limits_{0}^{5}h(x)dx\right\vert+\left\vert\int\limits_{5}^{10}h(x)dx\right\vert$.

Dies liefert uns dann

$A_{h(x),x=0}=\left\vert\left[\frac{1}{2}x^{2}-5x\right]_{0}^{5}\right\vert+\left\vert\left[\frac{1}{2}x^{2}-5x\right]_{5}^{10}\right\vert=\left\vert\frac{1}{2}5^{2}-5\cdot 5-\frac{1}{2}0^{2}+5\cdot 0\right\vert+\left\vert\frac{1}{2}10^{2}-5\cdot 10-\frac{1}{2}\cdot 5^{2}+5\cdot 5\right\vert=\left\vert-\frac{25}{2}\right\vert+\left\vert\frac{25}{2}\right\vert=\frac{25}{2}+\frac{25}{2}=25$

Lassen wir unsere beiden gefundenen Ergebnisse noch mal vom Computer überprüfen.

integral(x-5,(x,0,10))

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}0

abs(integral(x-5,(x,0,5)))+abs(integral(x-5,(x,5,10)))

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}25

Wir sehen also das uns die Integrale als gerichtete Flächen präsentiert werden, was dazu führen kann, das sich die Flächen im schlimmsten Fall aufheben oder aber nicht der von uns gesuchten Fläche entsprechen. Daher müssen wir genau darauf achten ob es sich um ein Integral oder eine Fläche handelt die wir suchen. Bei einem Integral brauchen wir uns keine Gedanken zu machen und können einfach drauf losrechnen. Ist aber die Fläche gesucht so haben wir dies in den Abschnitten von Nullstelle bis Nullstelle zu tun.

Weiterhin könnte man die Fläche zwischen zwei Funktionen suchen, also zum Beispiel unserer Funktion $f(x)$ und $i(x)=2x$. Sehen wir uns zuerst einmal an worüber wir da sprechen.

i(x)=2*x-5;
plot(f(x),(x,-.5,4))+plot(i(x),(x,-.5,4),rgbcolor=(1,0,0))

In der obigen Grafik sehen wir, das wir die Flächen zwischen dem roten und dem blauen Graphen errechnen möchten. Nicht das Integral, also müssen wir zuerst die Schnittpunkte von $f$ und $i$ herausfinden. Dies geschieht simple durch Gleichsetzen und lösen!

$f(x)=i(x)$.

find_root(f(x)-i(x),-2,0)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-0.246438779676

find_root(f(x)-i(x),0,3)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}2.86955981216

find_root(f(x)-i(x),3,4)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}3.64775146638

Durch näherung haben wir die Lösungen für unsere Schnittpunkte gefunden. Daraus ergeben sich dann die Intervallgrenzen. Durch Rechnen mit den obigen Werten ergibt sich dann folgende Fläche:

abs(integral(f(x)-i(x),(x,find_root(f(x)-i(x),-2,0),find_root(f(x)-i(x),0,3))))+abs(integral(f(x)-i(x),(x,find_root(f(x)-i(x),0,3),find_root(f(x)-i(x),3,4))))

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}9.81634090586

Also schließen unsere Beiden Funktionen eine gemeinsame Fläche von etwa 9,82 FE ein.