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Los clientes llegan a un almacén de acuerdo con un proceso de Poisson con tasa media del 5 por hora. La probabilidad de que el cliente se va sin gastar nada es de 0,20. Si el cliente pasa algo, la cantidad puede ser aproximada por una distribución gamma con parámetro de escala de $ 100 y parámetro de forma 2.5.
A) Dar la media y desviación estándar de los ingresos generados por los clientes en cualquier hora dada.

Los ingresos generados por los clientes se rige por un proceso de Poisson compuesto donde las variables de la secuencia se distribuyen gamma(2.5,100). La media sera igual a la media de la gamma (mu) por lambda por la longitud del intervalo de tiempo (t1). En este caso:

mu = 2.5 * 100
mu

[1] 250

lambda = 4
lambda

[1] 4

t1 = 1
t1

[1] 1

Entonces la media del proceso es:

EY1 = mu * lambda * t1
EY1

[1] 1000

La desviación estándar SY1 sera la raiz cuadrada de la suma de la varianza de la gamma (Vg) y mu al cuadrado por lambda por t1. Así:

Vg = 2.5 * 100 ** 2
Vg

[1] 25000

SY1 = sqrt((Vg + mu ** 2) * lambda * t1)
SY1

[1] 591.608

B) Dar la media y desviación estándar de los ingresos generados por los clientes en cualquier día de 10 horas.
Ahora se repite el mismo procedimiento pero para un nuevo periodo t10. Así:

t10 = 10
t10
EY10 = mu * lambda * t10
EY10
SY10 = sqrt((Vg + mu ** 2) * lambda * t10)
SY10

[1] 10 [1] 10000 [1] 1870.829

La media de los ingresos generados por los clientes en cualquier día de 10 horas es de 1000 y la desviación estándar es 1870.829