4111.sagews

6. domača naloga (VS)

21.1.2012

Primož Stanič

35090038

dostopno tudi na url naslovu: http://www.sagenb.org/home/pub/4111/

var('x') 
f(x) = x^3 - x^2 - x + 1
show(f)
g(x) = derivative(f, x)
show(g)
h(x) = derivative(g, x)
show(h)
plot(f, (x, -2, 2))

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ x^{3} - x^{2} - x + 1

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ 3 \, x^{2} - 2 \, x - 1

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ 6 \, x - 2

Ker je polinom tretje stopnje ima funkcija tri ničle: enojno pri x=-1 in dvojno pri x=1. Funkcija seka y os, ko je x enak 0: to je pri y=1. Funkcija ima ekstreme tam, kjer je prvi odvod enak 0. Ker je odvod polinom druge stopnje, lahko njegovi ničli izračunamo s pomočjo diskriminante: prvi ekstrem je tako pri x=1, drugi ekstrem pa pri x=-1/3. Da bi ugotovili, ali so ektremi lokalni minimumi ali lokalni maksimumi izračunamo drugi odvod. V kolikor je drugi odvod v točki ekstrema večji od 0, govorimo o lokalnem minimumu (v točki x=1 je rezultat drugega odvoda enak 4). V kolikor je drugi odvod v točki ekstrema manjši od 0, govorimo o lokalnem maksimumu (v točki x=-1/3 je rezultat drugega odvoda enak -4). Funkcija je konveksna na tistem intervalu, kjer je njen drugi odvod večji od 0. V našem primeru je funkcija konveksna na intervalu [1/3, + neskončno). Funkcija je konkavna na tistem intervalu, kjer je njen odvod manjši od 0. V našem primeru je funkcija konkavna na intervalu (-neskončno, 1/3]. Funkcija ima prevoj pri x=1/3.

f(x) = log(x+sqrt(x^2 + 7))
show(f)
g(x) = derivative(f, x)
show(g)
h(x) = 1/4*x + 3/4
show(h)
i(x) = -4*x - 12
show(i)
p1 = plot(f, (x, -100, 100), color='blue', axes_labels=['x', 'y'])
p2 = plot(h, (x, -100, 100), color='red')
p3 = plot(i, (x, -20, 20), color='green')
show(p1+p2+p3)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ \log\left(x + \sqrt{x^{2} + 7}\right)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 7}} + 1}{x + \sqrt{x^{2} + 7}}

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ \frac{1}{4} \, x + \frac{3}{4}

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x \ {\mapsto}\ -4 \, x - 12

Enačbo normale izračunamo po formuli y-y1=k(x-x1), pri čemer je k koeficient normale, ki ga izračunamo preko koeficeinta tangente v določeni točki. Koeficient tangente v točki x=-3 (y je takrat 0, kar lahko izračunamo iz podane funkcije), izračunamo tako, da izračunamo odvod funkcije v tej točki. Dobimo rezultat, da je koeficient tangente v točki x=-3 enak 1/4. To pomeni, da bo koeficient normale enak -4 (po enačbi kn=-1/kt). V prvotno enačbo vstavimo y1=0, k=-4 in x1=-3 in izračunamo enačbo normale.