4221.sagews

# EIGENE FUNKTIONEN

def kollinear(A,B,C):
    M=matrix(SR,3,3,[A[0],A[1],1,B[0],B[1],1,C[0],C[1],1])
    return M.det()

# Abkürzung für "kollinear"
def koll(A,B,C):
    return kollinear(A,B,C)

def konzirkular(A,B,C,D):
    M=matrix(SR,4,4,[A[0],A[1],A[0]^2+A[1]^2,1,B[0],B[1],B[0]^2+B[1]^2,1,C[0],C[1],C[0]^2+C[1]^2,1,D[0],D[1],D[0]^2+D[1]^2,1])
    return M.det()

# Abkürzung für "konzirkular"
def konz(A,B,C,D):
    return konzirkular(A,B,C,D)

def gleichschlenkliges_Dreieck(A,B,C):
    return Aq(A,C)-Aq(B,C)

# Abkürzung für "gleichschlenkliges Dreieck"
def gsDe(A,B,C):
    return gleichschlenkliges_Dreieck(A,B,C)
    
# C ist der Mittelpunkt der Strecke AB
def Mittelpunkt(A,B,C):
    return 2*C[0]-A[0]-B[0],2*C[1]-A[1]-B[1]

# Abkürzung für "Mittelpunkt"
def Mp(A,B,C):
    return Mittelpunkt(A,B,C)

def senkrecht(A,B,C,D):
    return (A[0]-B[0])*(C[0]-D[0])+(A[1]-B[1])*(C[1]-D[1])

# Abkürzung für "senkrecht"    
def sr(A,B,C,D):
    return senkrecht(A,B,C,D)

def Abstandsquadrat(A,B):
    return (A[0]-B[0])^2+(A[1]-B[1])^2

# Abkürzung für "Abstandsquadrat"
def Aq(A,B):
    return Abstandsquadrat(A,B)

def Variablen(v):
    global RingVariablen
    global Ring
    RingVariablen=v
    Ring=PolynomialRing(QQ, RingVariablen, order='lp')
    var(RingVariablen)

def Loesung(Gs):
    Gs=flatten([Gs])
    global RingVariablen
    I=Gs*Ring
    if (I.groebner_basis()==[1]):
        print "Das Gleichungssystem hat keine Lösung."
    else:
        print "Das Gleichungssystem hat Lösung."
        print I.interreduced_basis()

# EINE ÜBUNG ALS BEISPIEL

# Diese Variablen werden benutzt
Variablen('a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2,e1,e2,z')

# Die Punkte in der Konstruktion
A=(a1,a2)
B=(b1,b2)
C=(c1,c2)
D=(d1,d2)
E=(e1,e2)

# Das Gleichungsystem und die Lösung
# (D und E sind Mittelpunkte von BC und AC => 2*DE=AB)
time Loesung([Mp(B,C,D),Mp(A,C,E),z*(2^2*Aq(D,E)-Aq(A,B))-1])

# Wenn das System keine Lösung hat, dann ist der Beweis richtig.

Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Time: CPU 0.03 s, Wall: 0.02 s

# Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt,
# dem so genannten Schwerpunkt des Dreiecks.
# Dieser teilt jede der Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1.
Variablen('a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2,e1,e2,f1,f2,g1,g2,z1,z2')

A=(a1,a2)
B=(b1,b2)
C=(c1,c2)
D=(d1,d2)
E=(e1,e2)
F=(f1,f2)
G=(g1,g2)

time Loesung([Mp(B,C,D), Mp(A,C,E), Mp(A,B,F), koll(A,G,D), koll(B,G,E), z1*koll(C,G,F)-1])
time Loesung([Mp(B,C,D), Mp(A,C,E), Mp(A,B,F), koll(A,G,D), koll(B,G,E), z1*koll(A,B,C)-1, z2*(Aq(A,G)-2^2*Aq(G,D))-1])

Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Time: CPU 0.08 s, Wall: 0.08 s Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Time: CPU 0.04 s, Wall: 0.04 s

# Der Höhenschnittpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner drei Höhen,
# d.h. der Lote zu den Dreiecksseiten durch die gegenüberliegenden Ecken.
Variablen('a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2,e1,e2,f1,f2,g1,g2,z1,z2,z3')

A=(a1,a2)
B=(b1,b2)
C=(c1,c2)
D=(d1,d2)
E=(e1,e2)
F=(f1,f2)
G=(g1,g2)

time Loesung([koll(B,D,C), koll(A,E,C), koll(A,F,B), sr(A,B,C,F), sr(B,C,A,D), koll(A,G,D), koll(B,G,E), koll(C,G,F), z1*koll(A,B,C)-1, z2*sr(A,C,B,E)-1, z3*koll(D,E,F)-1, a1, a2, b1, b2-1])

Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Time: CPU 0.13 s, Wall: 0.13 s

# Der Höhenschnittpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner drei Höhen,
# d.h. der Lote zu den Dreiecksseiten durch die gegenüberliegenden Ecken.
Variablen('a1,a2,b1,b2,c1,c2,g1,g2,z')

A=(a1,a2)
B=(b1,b2)
C=(c1,c2)
G=(g1,g2)

time Loesung([sr(A,B,C,G), sr(B,C,A,G), z*sr(A,C,B,G)-1])

Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Time: CPU 0.02 s, Wall: 0.02 s

# Feuerbachscher Neunpunktekreis.
# Der Kreis, dessen Mittelpunk in der Mitte zwischen dem Höhenschnittpunkt und dem Umreismittelpunkt
# liegt und dessen Radius halb so gorß wie der Umkreisradius ist, geht durch neun Punkte,
# nähmlich die Höhenfußpunkte, die Seitenmittelpunkte sowie die Mittelpunktre der Strecken
# vom Höhenschnittpunkt zu den Eckpunkten des Dreicks (EULERsche Punkte).
Variablen('a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2,e1,e2,f1,f2,g1,g2,z1,z2')

A=(a1,a2)
B=(b1,b2)
C=(c1,c2)
D=(d1,d2)
E=(e1,e2)
F=(f1,f2)
G=(g1,g2)

time Loesung([Mp(B,C,D), Mp(A,C,E), Mp(A,B,F), koll(A,G,B), sr(A,B,C,G), z1*konz(D,E,F,G)-1])
time Loesung([koll(B,D,C), koll(A,E,C), koll(A,F,B), Mp(A,B,G), sr(B,C,A,D), sr(A,C,B,E), sr(A,B,C,F), z1*konz(D,E,F,G)-1, z2*koll(A,B,C)-1])
time Loesung([koll(B,D,C), koll(A,E,C), koll(A,F,B), Mp(A,B,G), sr(B,C,A,D), sr(A,C,B,E), sr(A,B,C,F), z1*konz(D,E,F,G)-1, z2*koll(A,B,C)-1,a1])
time Loesung([koll(B,D,C), koll(A,E,C), koll(A,F,B), Mp(A,B,G), sr(B,C,A,D), sr(A,C,B,E), sr(A,B,C,F), z1*konz(D,E,F,G)-1, z2*koll(A,B,C)-1,a1,a2])
time Loesung([koll(B,D,C), koll(A,E,C), koll(A,F,B), Mp(A,B,G), sr(B,C,A,D), sr(A,C,B,E), sr(A,B,C,F), z1*konz(D,E,F,G)-1, z2*koll(A,B,C)-1,a1,a2,b1])
time Loesung([koll(B,D,C), koll(A,E,C), koll(A,F,B), Mp(A,B,G), sr(B,C,A,D), sr(A,C,B,E), sr(A,B,C,F), z1*konz(D,E,F,G)-1, z2*koll(A,B,C)-1,a1,a2,b1,b2-1])

Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Time: CPU 1.39 s, Wall: 1.39 s Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Time: CPU 13.51 s, Wall: 13.51 s Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Time: CPU 1.57 s, Wall: 1.57 s Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Time: CPU 0.66 s, Wall: 0.66 s Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Time: CPU 0.64 s, Wall: 0.64 s Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Time: CPU 0.65 s, Wall: 0.65 s