4235.sagews

[This worksheet contains sample solutions for a computer algebra class in the winter semester 2011/12 at Leibniz Universität Hannover]

1.a) Funktionsdefinitionen

g(x) = ln(x)
print g
h(x) = x^3-2*x+1
print h

x |--> log(x) x |--> x^3 - 2*x + 1

1.b) Funktionsgraphen

G = Graphics()
G = G + plot(g,(x,.1,1.2))
G.show()
H = Graphics()
H += plot(h,(x,.1,1.2))
H.show()

2.a) Geraden

def gerade(m,t):
    f(x) = m*x+t
    return f
    
print gerade(1,1)
print gerade(2,-2)

x |--> x + 1 x |--> 2*x - 2

2.b) Strecken

def plotstrecke(m,t,x0,x1):
    return plot(gerade(m,t),(x,x0,x1),color="red")

G_tangente = G + plotstrecke(1,-1,.1,1.2)
G_tangente.show()

2.c) Achsenabschnitt einer Geraden

def achsenabschnitt(m,x0,y0):
    return y0-x0*m
print achsenabschnitt(1,2,3)
print achsenabschnitt(2,3,4)

1 -2

2.d) Tangente an einen Graphen

def tangente(f,x0):
    m = f.derivative()(x0)
    t = achsenabschnitt(m,x0,f(x0))
    return m,t

m,t = tangente(g,.2)
G_tangente = G + plotstrecke(m,t,.1,1.2)
G_tangente.show()

2.e) Zeichnung mit Tangenten

G_tangente = G
for n in range(2,10):
    m,t = tangente(g,n/10)
    G_tangente = G_tangente + plotstrecke(m,t,.1,1.2)
G_tangente.show()

3.a) Schnittpunkt einer Geraden mit der $x$-Achse

def schnitt(m,t):
    return -t/m
    
m,t = tangente(g,1/2)
print schnitt(m,t)

-1/2*log(1/2) + 1/2

3.b) Angepasste Zeichnungsfunktion

def plotschnitt(m,t,x0):
    x1 = schnitt(m,t)
    return plot(gerade(m,t),(x,min(x0,x1),max(x0,x1)),color=(1,0,0))

3.c) Zeichnung mit Tangenten

G_tangente = G
for n in range(2,10):
    m,t = tangente(g,n/10)
    G_tangente = G_tangente + plotschnitt(m,t,n/10)
G_tangente.show()

4.b) Newton-Verfahren

def newton(f,x0):
    for n in range(4):
        m,t = tangente(f,x0)
        x0 = schnitt(m,t)
    return x0
    
print h(newton(h,.1))
print h(newton(h,.9))

5.39322980941392e-7 1.95499922472919e-7

4.c) Newton-Verfahren mit Tangenten

def newton(f,x0):
    graph = Graphics()
    graph = graph + plot(f,(x,.1,1.2))
    for n in range(4):
        m,t = tangente(f,x0)
        graph = graph + plotschnitt(m,t,x0)
        x0 = schnitt(m,t)
    graph.show()
    return x0
    
newton(g,.1)
newton(h,.1)
newton(h,.9)

1.00000019549981

4.d) Extremstellen

newton(h.derivative(),.45)

0.816496584876287

4.e) Newton-Vefahren mit Tangenten (skaliert)

newton(g,2)
newton(h,.8)

0.618033933288612

def newton(f,x0):
    graph = Graphics()
    a,b = +infinity,-infinity
    for n in range(4):
        m,t = tangente(f,x0)
        s = schnitt(m,t)
        a = min(a,x0,s)
        b = max(b,x0,s)
        graph = graph + plotschnitt(m,t,x0)
        x0 = schnitt(m,t)
    graph = plot(f,(x,a,b)) + graph # die Tangenten werden _über_ den Graphen gezeichnet
    graph.show()
    return x0
    
newton(g,2)
newton(h,.8)

0.618033933288612