4512.sagews

#1. Encontrar la función de densidad de Y en a), de U en b) y de V en c).
#a)########################################
#b) X y Y m.a.  Exp(lambda),  U=máx{X;Y}
#c) X y Y m.a.  N(0; sigma2), V=mín{X;Y}

##Inciso b)
#Solución 1:
##F_{U}(u) = P(U<=u) = P(máx{X;Y}<=u) = P(X<=u,Y<=u) = P(X<=u)P(Y<=u) = [F_{X}(u)]*[F_{Y}(u)]
#Por hipótesis la f pequeña es igual en ambos casos (lam=lambda=parámetro de la exp.)
var('x lam u')
f(x)=lam*exp(-lam*x) #con x no negativa

#Podían investigar cómo era la F o bien calcularla:
F(x)=integral(f,x,0,x); show(expand(F(x))) #expand es para solicitar que se simplifique la expresión.

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-e^{\left(-\mbox{lam} x\right)} + 1

##Por lo tanto:
html("$$F_X(x)=1-e^{-\lambda x}$$")

F_X(x)=1-e^{-\lambda x}

F_U(u)=F(u)*F(u)
f_U(u)=diff(F_U(u),u); f_U(u) ##Densidad de U##

-2*(e^(-lam*u)/lam - 1/lam)*lam^2*e^(-lam*u)

#O bien:
f=expand(f_U(u)); f

-2*lam*e^(-2*lam*u) + 2*lam*e^(-lam*u)

##Por lo tanto la solución es:
html("$$f_U(u)=-2\lambda e^{-2\lambda u} + 2\lambda e^{-\lambda u}$$")

f_U(u)=-2\lambda e^{-2\lambda u} + 2\lambda e^{-\lambda u}

#Otra presentación correcta:
factor(f)

2*(e^(lam*u) - 1)*lam*e^(-2*lam*u)

html("$$f_U(u)=2\lambda(e^{\lambda u}-1) e^{-2\lambda u}$$")

f_U(u)=2\lambda(e^{\lambda u}-1) e^{-2\lambda u}

#Otra presentación correcta:
html("$$f_U(u)=2\lambda(1-e^{-\lambda u}) e^{-\lambda u}$$")

f_U(u)=2\lambda(1-e^{-\lambda u}) e^{-\lambda u}

##Inciso b)
#Solución 2: Usando fórmula 3 de la presentación 3:
##f_{U}(u)=n(F_{X}(u))^{n-1}*f_{X}(u)
#Con n=2
##f_{U}(u)=2(F_{X}(u))*f_{X}(u)
html("$f_{U}(u)=2(F_{X}(u))*f_{X}(u)$")

f_{U}(u)=2(F_{X}(u))*f_{X}(u)

html("$f_U(u)=2(1-e^{-\lambda u})\lambda e^{-\lambda u}=2\lambda(1-e^{-\lambda u}) e^{-\lambda u}$")

f_U(u)=2(1-e^{-\lambda u})\lambda e^{-\lambda u}=2\lambda(1-e^{-\lambda u}) e^{-\lambda u}

##Inciso c)
#Usando la fórmula 6 de la presentación 3
html("$$f_V(v)=2(1-F_X(v))^{2-1}f_X(v)=2(1-\Phi(v))\phi(v)$$")

f_V(v)=2(1-F_X(v))^{2-1}f_X(v)=2(1-\Phi(v))\phi(v)

#Donde
html("$\Large \phi(v)=\\frac{1}{2*\sqrt{\pi}} e^{-\\frac{1}{2} v^2}$")

\Large \phi(v)=\frac{1}{2*\sqrt{\pi}} e^{-\frac{1}{2} v^2}

#Y....
html("$\Large \Phi(v)=\\frac{1}{2*\sqrt{\pi}} \int^{v}_{-\infty} e^{-\\frac{1}{2}x^2}dx$")

\Large \Phi(v)=\frac{1}{2*\sqrt{\pi}} \int^{v}_{-\infty} e^{-\frac{1}{2}x^2}dx

#Ejercicio 2. Sean X1 , X2 , X3 una m.a. Exp(1/6), modelan el tiempo en años que tardan en titularse 3 amigos que acaban de entrar a estudiar Medicina. ¿Con qué probabilidad tarda menos de 5 años en titularse el más aplicado?

#Solución: Sea Y1=mín{X1, X2, X3} el tiempo que tarda en titularse el más aplicado.
#P(Y1<5)=1-P(Y1>=5)=1-P(mín{X1, X2, X3}>=5)=1-P(X1>=5, X2>=5, X3>=5)= 1 - P(X1>=5)P(X2>=5)P(X3>=5)
#Cada una de las probabilidades se puede ver como 1-P(Xi<5)=1-P(Xi<=5)=1-1+exp(-1/6*(5))=exp(-1/6*(5)).
Probabilidad=1-(exp(-1/6*(5)))^3; n(Probabilidad)

0.917915001376101

#Ejercicio 3 
#En una excursión hay una política de no partir hasta que lleguen todos los viajeros al camión. El tiempo que el chofer debe esperar (en minutos) a cada uno de los 20 viajeros después de la hora pactada, se modela con X1,...,X20 v.a.´s independientes con distribución $Pareto(2,12)$. ¿Cuál es la probabilidad de que el chofer espere más de 40 minutos?

html("$F_X(x)=1-(\\frac{b}{b+x})^a$")

F_X(x)=1-(\frac{b}{b+x})^a

#Solución: Sea Y20=máx{X1, X2, ... , X20} el tiempo que tarda en llegar el más retardado.
#P(Y20>40)=1-P(Y20<=40)=1-P(X1<=40, X2<=40,..., X20<=40)=1-P(X1<=40)P(X2<=40)...P(X20<=40)
#Cada una de las probabilidades se puede ver como P(Xi<=40)=1-(12/(12+40))^2.
Probabilidad=1-(1-(12/(12+40))^2)^20; n(Probabilidad)

0.665292409928759