4624.sagews

#1.-Supongamos que conocemos la siguiente función de densidad conjunta de X y Y va´s continuas.
var('x y k')
f(x,y)=k*exp(-x)*exp(-2*y)

#a)¿Cuánto debe ser k?
Sol_a=integral(integral(f(x,y),x,0,Infinity),y,0,Infinity); Sol_a

1/2*k

solve(1/2*k==1,k)

[k == 2]

#Por lo tanto
f(x,y)=2*exp(-x)*exp(-2*y)

#b)Graficarla sobre la región 0<X<5, 0<Y<5.
plot3d(f,(x,0,5),(y,0,5))

#c) Calcular la marginal de X.
fx(x)=integral(f(x,y),y,0,infinity); fx(x)

e^(-x)

#Por lo tanto:
#fx(x)=exp(-x), para x>0.

#d) Calcular la marginal de Y.
fy(y)=integral(f(x,y),x,0,infinity); fy(y)

2*e^(-2*y)

#Por lo tanto:
#fx(x)=2*exp(-2*y), para y>0.

#e) Decidir si X y Y son independientes y argumentar su respuesta.
#Calculamos el producto de las marginales:
fx(x)*fy(y)

2*e^(-x - 2*y)

#Comparamos con la conjunta:
f(x,y)

2*e^(-x - 2*y)

#Como son iguales concluimos que X y Y son v.a.´s independientes.

#f) Calcular la P(X>7,Y>1):
Sol_f=integral(integral(f(x,y),x,7,infinity),y,1,infinity); Sol_f

e^(-9)

#Por lo tanto la probabilidad es:
Sol_f;
#o bien,
n(Sol_f)

0.000123409804086680

#g) Calcular E(XY)
EXY=integral(integral(x*y*f(x,y),x,0,infinity),y,0,infinity); EXY

1/2

#h) Calcular E(X²-Y²)
Esperanza=integral(integral((x^2-y^2)*f(x,y),x,0,infinity),y,0,infinity); Esperanza

3/2

#i) Calcular Cov(X,Y)
EX=integral(x*fx(x),x,0,infinity)
EY=integral(y*fy(y),y,0,infinity)
Cov=EXY-EX*EY; Cov

0

#j) Calcular la densidad de X+Y utilizando la transformación U=X y V=X+Y.
#Lo siguiente es sólo para que calculen su Jacobiano.
var('X Y U V z')
U=X
V=X+Y
##############
X=U
Y=V-U
h(U,V)=U
g(U,V)=V-U
a1=diff(h,U); a2=diff(h,V); a3=diff(g,U); a4=diff(g,V)
abs(a1*a4-a2*a3)

(U, V) |--> 1

#Calculamos el nuevo soporte (veamos cómo cambia el cuadrado [0,10]x[0,10]):
U=X
V=X+Y
z = 0
parametric_plot3d([U, V, z], (X, 0, 10), (Y, 0, 10), color="red",aspect_ratio=1,figsize=6)

#Por tanto f_{U,V}(u,v)=|J|*f(U,V-u) Para 0<U<V
fuv(u,v)=1*f(u,v-u); fuv(u,v)

2*e^(u - 2*v)

#Finalmente calculamos la marginal de V para saber la densidad de X+Y:
fv(v)=integral(fuv(u,v),u,0,v); fv(v)

-2*e^(-2*v) + 2*e^(-v)

#Por lo tanto la densidad  de V=X+Y es fv(v) cuando 0<v<infinity.
#Comprobación
plot(fv(v),(v,0,5))

integral(fv(v),v,0,infinity)

1