4903.sagews

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# Este código calcula un par de grupos isocategoricos 
# Algunas notaciones: Por Gr me refiero aun grupo, Nr a u subgrupo,
# Repre es un conjunto de representantes de las colclases a derecha
# de Nr en Gr
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#  La función base calcula dos generadores que vivan en diferentes coclases
#  Obs: Estos generadores podrían no existir, por ejemplo para grupo cíclicos  
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bases := function( A )# A es un grupo
local ggf, types, g, hh, hhf, kk, i, j, brps, tp;
brps := [];
g:= Elements(A);;

for i in [1..Length( g )-1] do
for j in [i+1..Length( g )] do
tp := Subgroup( A, [ g[i],g[j] ] );# creando un grupo generado por un par de elementos
if   tp = A and Order(g[i])= Order(g[j]) and Order(Intersection(Subgroup( A, [ g[i] ] ),Subgroup( A, [g[j]])))=1 then Add( brps, [ g[i] , g[j] ] );
fi;
od;
od;
return( brps );
end;

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#función auxiliar para la función matriz 
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columna1 := function( Gr, Nr , n,m )# grupo, subgrupo y n-esimo representate de coclase, m-esima base 
local Ad, b, c, s, Img, Base, ggf, types, g, hh, hhf, kk, i, j, brps, tp, ReprCoclases;
brps := [];
Base:=bases(Nr)[m];;
s:=RightTransversal(Gr, Nr)[n];;
Ad:= ConjugatorIsomorphism( Nr, s );
for i in [0..Order( Base[1] )-1] do
for j in [0..Order( Base[2] )-1] do

if  ImageElm( Ad, Base[1] )=Base[1]^i*Base[2]^j then brps:= [ i , j ] ;
fi;
od;
od;
return( brps );
end;

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# Función auxiliar para la función matriz 
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columna2 := function( Gr, Nr, n,m )#  grupo, subgrupo y n-esimo representate de coclase, m-esima base
local Ad, b, c, s, Img, Base, ggf, types, g, hh, hhf, kk, i, j, brps, tp, ReprCoclases;
brps := [];
Base:=bases(Nr)[m];;
s:=RightTransversal(Gr, Nr)[n];;
Ad:= ConjugatorIsomorphism( Nr, s );
for i in [0..Order( Base[1] )-1] do
for j in [0..Order( Base[2] )-1] do

if  ImageElm( Ad, Base[2] )=Base[1]^i*Base[2]^j then brps:= [ i , j ] ;
fi;
od;
od;
return( brps );
end;

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# La función matriz calcula para una base y un representante la matriz 2x2 que 
# representa el automorfismo por conjugación
# Observación importante: Esta función debe mejorarse, al 
# parecer repite muchos cálculos innecesarios 
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matriz := function( Gr, Nr ,n,m )#  grupo, subgrupo y n-esimo representate de coclase, m-esima base
local Ad, b, c, s, Img, Base, ggf, types, g, hh, hhf, kk, i, j, brps, tp, ReprCoclases;
brps := [];
brps:=[columna1(Gr,Nr,n,m),columna2(Gr,Nr,n,m)];
return( brps );
end;

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# Coord calcula las coordenadas de un elemento de Nr para una base fija
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Coord:=function(a,Base)#  a in Nr
local  tp,i,j;
for i in [0..Order( Base[1] )-1] do
for j in [0..Order( Base[2] )-1] do
if a=Base[1]^i*Base[2]^j then tp:= [ i , j ];
fi;
od;
od;
return(tp);
end;

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# prop calcula para dos elementos de un conjunto de representares de las
# Coclases de Nr en Gr el representate del producto
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prod:=function(Nr,Repr,a,b)
local x, tp;
for x in Repr do
if x in RightCoset(Nr,a*b) then tp:=x;
fi;
od;
return(tp);
end;

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# AltAlf es el alternizador de la forma natural respecto a una base fija
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AltAlfa:=function(x,y,Base)
return(  E(4)^( Coord(x,Base)[1]*Coord(y,Base)[2]-Coord(y,Base)[1]*Coord(x,Base)[2] )  );
end;;

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# Tipica función delta de kronker
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deltaKr:=function(a,b)
local tp;
tp:=();
if a=b then tp:=1;
else tp:=0;
fi;
return(tp);
end;

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# Dada una matriz previamente calculada TT calcula la cocadena que
# conecta alpha con alpha^Ad(sigma)
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TT:=function(Mat,Base,x)# Mats las matrices que representan n-esimo representate Gr mod Nr, x in Nr 
return(E(8)^(   (Mat[1][1]*Mat[2][1]*Coord(x,Base)[1]^2+Mat[1][2]*Mat[2][2]*Coord(x,Base)[2]^2+2*Mat[2][1]*Mat[1][2]*Coord(x,Base)[1]*Coord(x,Base)[2])   ));
end;

Gr:= Image(IsomorphismPermGroup(SmallGroup(64,232)));
ns:= Filtered(NormalSubgroups(Gr), y->IdGroup(y)=[16,2]);;
Nr:=ns[3];;
Base:=bases(Nr)[1];;
Repre:=RightTransversal(Gr, Nr);;
Cart:=Cartesian(Elements(Nr), Repre);;
TodasMat:=List(IrreducibleRepresentations(Nr), z->List(Cart, x-> List (Cart, y-> Image(z,x[1])[1][1]*deltaKr(x,y))) );;

Determinant(M) mod 4 =1;
Fr:=Group(TodasMat);
generadoresNr:=bases(Fr)[1];;
Mats:=List( [1..Length(Repre)], x->matriz(Gr,Nr,x,1) );;

Matcom:=List([1..Length(Repre)], x-> List( Cart, A-> List(   Cart,B->  deltaKr( B[1], Image( ConjugatorIsomorphism(Nr,Repre[x]) ,A[1] ) )* deltaKr(B[2],prod(Nr,Repre,Repre[x],A[2])) *AltAlfa(Image( ConjugatorIsomorphism(Nr,Repre[x]) ,prod(Nr,Repre,Repre[x],A[2])*A[2]^-1*Repre[x]^-1 ) , Image( ConjugatorIsomorphism(Nr,Repre[x]) ,A[1] ),Base)*TT(Mats[x],Base,A[1])                                             )));;

Add(Matcom, generadoresNr[1]);
Add(Matcom, generadoresNr[2]);

FFF:= Image(IsomorphismPermGroup(Group(Matcom)));

<permutation group of size 64 with 8 generators>

IdGroup(FFF);

[ 64, 236 ]