737.sagews

# Exemplos Numpy Arrays

# Resolvendo duas Incógnitas com duas Equações Lineares

from numpy import *
from numpy.linalg import solve

# 3*x0-1*x1 = 4 
# 2*x0-3*x1 = -2
# Equação na forma ax=b

a = array([[3,-1], [2,-3]])   
b = array([4, -2])            
x = solve(a, b)
x

array([ 2., 2.])

dot(a, x) # Verificando o resultado encontrado (b=a*x)

array([ 4., -2.])

# Resolvendo duas Incógnitas com duas Equações Lineares (2)

from numpy import *
from numpy.linalg import solve

# 1*x0-3*x1 = -4
# 2*x0-6*x1 = -8
# Como as equações acima são L.D. não será possível resolver o sistema, pois ele terá múltiplas soluções:
a = array([[1,-3], [2,-6]])
b = array([-4, -8])
x = solve(a, b)

Traceback (most recent call last): File "<stdin>", line 1, in <module> File "/home/sage/sagenb/sage_notebook/worksheets/neumara/2/code/14.py", line 16, in <module> exec compile(ur'x = solve(a, b)' + '\n', '', 'single') File "", line 1, in <module> File "/home/sage/sage_install/sage/local/lib/python2.6/site-packages/numpy/linalg/linalg.py", line 254, in solve raise LinAlgError, 'Singular matrix' numpy.linalg.linalg.LinAlgError: Singular matrix

# Resolvendo três Incógnitas com três Equações Lineares

from numpy import *
from numpy.linalg import solve
from numpy.linalg import inv

# 3*x0-3*x1+7*x2 = 2
# 4*x0-6*x1-1*x2 = -4
#-5*x0+1*x1+4*x2 = 5
a = array([[3, -3, 7], [4,-6,-1], [-5,1,4]])
b = array([2, -4, 5])
x = solve(a, b)
x

array([-0.47247706, 0.25229358, 0.59633028])

dot(a, x) # Verificando a solução (calculando b)

array([ 2., -4., 5.])

# a*x = b
# inv(a)*a*x = inv(a)*b   # Multiplicando ambos os lados pela inversa de a, para isolar x
# I*x = inv(a)*b          # Como a multiplicação pela matriz identidade não altera o valor, tem-se: x = inv(a)*b
# x = inv(a)*b
x = dot(inv(a), b)
x

array([-0.47247706, 0.25229358, 0.59633028])

dot(inv(a), a)    # Verificando a resposta através do cálculo da matriz identidade

array([[ 1.00000000e+00, 0.00000000e+00, 0.00000000e+00], [ 0.00000000e+00, 1.00000000e+00, 0.00000000e+00], [ -5.55111512e-17, -4.51028104e-17, 1.00000000e+00]])

# Verifica-se que alguns termos não são exatamente zero, mas estão dentro do limite que pode ser considerado.