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polimi-cheatsheet
GitHub Repository: polimi-cheatsheet/GAL-cheatsheet
 Path: blob/master/esercizi/2.diagonalizzazione.tex
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\subsection{Diagonalizzazione di una matrice}

2
$

3
A = \left[

4
	\arraycolsep=2.0pt\def\arraystretch{1.0}

5
	\begin{array}{@{}ccc@{}}

6
		1 & 1 & 0 \\

7
		0 & k & 0\\

8
		0 & 0 & 2\\

9
	\end{array}

10
\right]

11
$

12
%\hspace{1cm}

13
\begin{tabular}{l}

14
	$p(\lambda) = \det(A-\lambda I) = (1-\lambda)(k-\lambda)(2-\lambda)$ \\

15
	$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = k$

16
\end{tabular}

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Se $k\neq1$ e $k\neq2 \Rightarrow \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ sono semplici e quindi regolari \\

19
$\quad\Rightarrow$ A è diagonalizzabile

20


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% This is the "beauty" of LaTeX

22
Se $k = 1 \Rightarrow \lambda_2$ è semplice, studio $\lambda_1$: \\

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$\quad V_1 = \ker(A-\lambda_1I) = \ker

24
\left(

25
	\left[

26
		\arraycolsep=2.0pt\def\arraystretch{1.0}

27
		\begin{array}{@{}ccc@{}}

28
			1 & 1 & 0 \\

29
			0 & 1 & 0\\

30
			0 & 0 & 2\\

31
		\end{array}

32
	\right] - I 

33
\right) = \ker

34
\left[

35
	\arraycolsep=2.0pt\def\arraystretch{1.0}

36
	\begin{array}{@{}ccc@{}}

37
		0 & 1 & 0 \\

38
		0 & 0 & 0\\

39
		0 & 0 & 1\\

40
	\end{array}

41
\right]$ \\

42
$\quad \Rightarrow \dim(V_1) = 1 \Rightarrow m_g \neq m_a$

43
$\ \Rightarrow \lambda_1$ non è regolare \\

44
$\quad \Rightarrow$ A non è diagonalizzabile

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47
Se $k = 2 \Rightarrow \lambda_1$ è semplice, studio $\lambda_2$:\\

48
$\quad V_2 = \ker(A-\lambda_2I) = \ker

49
\left(

50
	\left[

51
		\arraycolsep=2.0pt\def\arraystretch{1.0}

52
		\begin{array}{@{}ccc@{}}

53
			1 & 1 & 0 \\

54
			0 & 2 & 0\\

55
			0 & 0 & 2\\

56
		\end{array}

57
	\right] - 2I 

58
\right) = \ker

59
\left[

60
	\arraycolsep=2.0pt\def\arraystretch{1.0}

61
	\begin{array}{@{}ccc@{}}

62
		-1 & 1 & 0 \\

63
		0 & 0 & 0\\

64
		0 & 0 & 0\\

65
	\end{array}

66
\right]$ \\

67
$\quad \Rightarrow \dim(V_2) = 2 \Rightarrow m_g = m_a$

68
$\ \Rightarrow \lambda_2$ è regolare \\

69
$\quad \Rightarrow$ A è diagonalizzabile

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71