\section{Coniche}
\textbf{Ellisse}: luogo dei punti dove la somma delle distanze da due punti fissi (fuochi) è costante. $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$.
$F=(\pm\sqrt{a^2-b^2}, 0)$ se $a>b$, altrimenti $F=(0, \pm\sqrt{b^2-a^2})$.
\textbf{Circonferenza}: $x^2+y^2=r^2$
\textbf{Iperbole}: luogo dei punti dove la differenze delle distanze da due punti fissi (fuochi) è costante. $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$.
$F=(\pm\sqrt{a^2+b^2}, 0)$.
\textbf{Parabola}: luogo dei punti dove la somma delle distanze da un punto fisso (fuoco) e da una retta fissa (direttrice) è costante. $\lambda_1x^2+2py=0$ dove $p=\pm \sqrt{-\nicefrac{I_3}{\lambda_1}}$.
$F=(0, -p/2)$.
(nell'ellisse/iperbole) $\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+c=0$ ($c=I_3/I_2$)
L'\textbf{eccentricità} è il rapp. delle dist. da un fuoco e dalla dir. $e = 0$ circ., $0 < e < 1$ ellisse, $e = 1$ parab., $e > 1$ iperbole.
\begin{tabular}{lll}
$I_1$ & $\tr A$ & Invariante lineare \\
$I_2$ & $\det A$ & Invariante quadratica \\
$I_3$ & $\det B$ & Invariante cubica
\end{tabular}
\begin{tabular}{c|c|c|l}
\boldmath$I_3$ & \boldmath$I_2$ & \boldmath$I_1$ & \textbf{Conica} \\
\hline
0 & $-$ & & Rette reali incidenti \\
0 & 0 & & Rette reali parallele o compl. coniugate \\
0 & $+$ & & Rette imm. coniugate incidenti \\
\hline
$\emptyset$ & $-$ & 0 & Iperbole equilatera \\
$\emptyset$ & $-$ & $\emptyset$ & Iperbole non equilatera \\
$\emptyset$ & 0 & & Parabola \\
$\pm$ & $+$ & $\mp$ & Ellisse reale \\
$\pm$ & $+$ & $\pm$ & Ellisse immaginaria \\
\hline
\end{tabular}
\textbf{Centro}: $A\vec{x} = -\vec{b}$
\textbf{Assi}: paralleli agli autovett di $\lambda_1$ e $\lambda_2$, $\lambda=0$ per parabola
\textbf{Asintoti}: paralleli alle rette in cui si spezzano i termini di secondo grado
\textbf{Semiassi}: $\sqrt{\nicefrac{I_3}{I_2\lambda_i}}$ (con $i=1,2$, $-\lambda_i$ per il semiasse non trasverso dell'iperbole)
\textbf{Fascio di coniche}: $\lambda F(x,y) + \mu G(x,y) = 0$ (per 4 punti)
\textbf{Retta tangente in} {\boldmath$(x_0,y_0)$} (in forma can.) $\frac{xx_0}{a^2} \pm \frac{yy_0}{b^2} = 1$ ($+$ per ellisse, $-\,$per iperbole). $xx_0 = -p(y+y_0)$ per parabola.
