quantum-phase-estimation.ipynb

Kernel: Python 3 (ipykernel)

量子位相推定

目次

1. 概要 1.1 直感的解釈 1.2 基礎となる数学

2. 例：Tゲート 2.1 回路の作成 2.2 結果

3. より精度を高める 3.1 問題 3.2 解決策

4. 実デバイスでの実験 4.1 2.1の回路で

5. 練習問題

6. 今後の展望

7. 参考文献

8. 寄稿者

量子位相推定は、量子計算における最も重要なサブルーチンの1つです。 多くの量子アルゴリズムの中心的な構成要素として機能します。このアルゴリズムの目的は次のとおりです。

ユニタリ演算子$U$が、 $U\vert\psi \rangle =e^{\boldsymbol{2\pi i} \theta }|\psi \rangle$のように与えられた場合に、$\theta$を推定します。 ここで、$|\psi\rangle$ は固有ベクトルであり、$e^{\boldsymbol{2\pi i}\theta}$は対応する固有値です。$U$ はユニタリーなので、すべての固有値のノルムは1です。

1. 概要

位相推定の一般的な量子回路を以下に示します。 上側のレジスターには$t$個の「カウント」量子ビットがあり、下のレジスターには$|\psi\rangle$の状態の量子ビットがあります：

1.1 直感的解釈

量子位相推定アルゴリズムは、位相キックバックを使用して、$U$の（フーリエ基底における）位相をカウントレジスターの$t$ 量子ビットに書き込みます。次に、逆QFTを使用して、フーリエ基底から計算基底に変換し、測定します。

（QFTの章から）フーリエ基底では、 $0$から数えて$2^t$回で最上位の量子ビットが1回転したことを覚えているでしょう。 $0$から$2^t$の間の数である$x$を数えるには、この量子ビットをz軸を中心に$\tfrac{x}{2^t}$ 回転させます。 次の量子ビットでは$\tfrac{2x}{2^t}$回転し、3番目の量子ビットでは$\tfrac{4x}{2^t}$回転します。

制御$U$ゲートを使うと、量子ビットは（キックバックにより）位相 $e^{2i\pi\theta}$に比例して回転します。 連続して$CU$ゲートを使用して、フーリエ基底で$0$ 〜 $2^t$の数値として位相$\theta$をエンコードできるところまで、この回転を適切な回数繰り返します。

次に、$QFT^\dagger$を使用してこれを計算基底に変換します。

1.2 基礎となる数学

上記のように、この回路はユニタリー演算子$U$の位相を推定します。$U\vert\psi \rangle =e^{\boldsymbol{2\pi i} \theta }|\psi \rangle$において、$|\psi\rangle$は固有ベクトル、$e^{\boldsymbol{2\pi i}\theta}$は対応する固有値で、$\theta$を推定します。回路は次の手順です。

i. 準備：$\vert\psi\rangle$を1量子ビットレジスターにセットします。 別の$n$個の量子ビットのセットは、値$2^n\theta$を格納するカウントレジスターです。

$$\psi_0 = \lvert 0 \rangle^{\otimes n} \lvert \psi \rangle$$

ii. 重ね合わせ：$n$ビットのアダマールゲート操作$H^{\otimes n}$をカウントレジスターに適用します。

$$\psi_1 = {\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}}}\left(|0\rangle +|1\rangle \right)^{\otimes n} \lvert \psi \rangle$$

iii. 制御ユニタリー演算：制御ビットが$|1\rangle$の場合にのみ、ターゲットレジスターにユニタリー演算子 $U$ を適用する、制御ユニタリー演算$C-U$を導入する必要があります。$U$は、$U|\psi \rangle =e^{\boldsymbol{2\pi i} \theta }|\psi \rangle$となる固有ベクトル$|\psi\rangle$ のユニタリー演算子であるため、次のようになります。

$$U^{2^{j}}|\psi \rangle =U^{2^{j}-1}U|\psi \rangle =U^{2^{j}-1}e^{2\pi i\theta }|\psi \rangle =\cdots =e^{2\pi i2^{j}\theta }|\psi \rangle$$

すべての𝑛制御演算子 $C − U^{2^j}$を$0\leq j\leq n-1$において適用し、$|0\rangle \otimes |\psi \rangle +|1\rangle \otimes e^{2\pi i\theta }|\psi \rangle =\left(|0\rangle +e^{2\pi i\theta }|1\rangle \right)\otimes |\psi \rangle$を使用すると以下のようになります。

$$\begin{aligned} \psi_{2} & =\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}} \left(|0\rangle+{e^{\boldsymbol{2\pi i} \theta 2^{n-1}}}|1\rangle \right) \otimes \cdots \otimes \left(|0\rangle+{e^{\boldsymbol{2\pi i} \theta 2^{1}}}\vert1\rangle \right) \otimes \left(|0\rangle+{e^{\boldsymbol{2\pi i} \theta 2^{0}}}\vert1\rangle \right) \otimes |\psi\rangle\\\\ & = \frac{1}{2^{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}e^{\boldsymbol{2\pi i} \theta k}|k\rangle \otimes \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

ここで、$k$ はnビットの2進数の整数表現です。

iv. 逆フーリエ変換：上の式は、量子フーリエ変換とそのQiskit実装のnotebookで導出したように、量子フーリエ変換を適用した結果であることに注意してください。 QFTがn量子ビットの入力状態$\vert x\rangle$を出力として以下のようにマップすることを思い出してください。

$$QFT\vert x \rangle = \frac{1}{2^\frac{n}{2}} \left(\vert0\rangle + e^{\frac{2\pi i}{2}x} \vert1\rangle\right) \otimes \left(\vert0\rangle + e^{\frac{2\pi i}{2^2}x} \vert1\rangle\right) \otimes \ldots \otimes \left(\vert0\rangle + e^{\frac{2\pi i}{2^{n-1}}x} \vert1\rangle\right) \otimes \left(\vert0\rangle + e^{\frac{2\pi i}{2^n}x} \vert1\rangle\right)$$

上の式で$x$を$2^n\theta$ に置き換えると、上記のステップ2で導出された式が正確に得られます。したがって、状態$\vert2^n\theta\rangle$を復元するには、補助レジスターに逆フーリエ変換を適用します。そうすることで、以下を得られます。 $$\vert\psi_3\rangle = \frac {1}{2^{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}e^{\boldsymbol{2\pi i} \theta k}|k\rangle \otimes | \psi \rangle \xrightarrow{\mathcal{QFT}_n^{-1}} \frac {1}{2^n}\sum _{x=0}^{2^{n}-1}\sum _{k=0}^{2^{n}-1} e^{-\frac{2\pi i k}{2^n}(x - 2^n \theta)} |x\rangle \otimes |\psi\rangle$$

v. 測定：上記の式は$x = 2^n\theta$付近でピークになります。$2^n\theta$が整数の場合、計算基底で測定すると、高い確率で補助レジスターに位相が得られます。

$$|\psi_4\rangle = | 2^n \theta \rangle \otimes | \psi \rangle$$

$2^n\theta$が整数でない場合、上記の式は $x = 2^n\theta$ の近くでピークに達し、その確率は$4/\pi^2 \approx 40\%$よりも高いものになります[1]。

2. 例：Tゲート

みなさんがよく知っている$T$ゲートを例として取り上げ、量子位相推定を使用してその位相を推定します。$T$ゲートは状態$|1\rangle$に位相$e^\frac{i\pi}{4}$ を追加することを思い出してください。

$$T|1\rangle = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^\frac{i\pi}{4}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ \end{bmatrix} = e^\frac{i\pi}{4}|1\rangle$$

以下の式で与えられる $\theta$ についてQPEを使って、

$$T|1\rangle = e^{2i\pi\theta}|1\rangle$$

$\theta$を見つけることができます：

$$\theta = \frac{1}{8}$$

この例では、3量子ビットを使用して、 正確な 結果（推定ではありません！）を得ます。

2.1 回路の作成

まず、環境を準備しましょう。

#initialization
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math

# importing Qiskit
from qiskit import IBMQ, Aer, transpile, assemble
from qiskit import QuantumCircuit, ClassicalRegister, QuantumRegister

# import basic plot tools
from qiskit.visualization import plot_histogram

次に、量子回路を設定します。 4量子ビットを使用します。qubit 0〜2はカウント量子ビットとして、qubit 3はユニタリー演算子（$T$）の固有状態として使用します。

$X$ ゲートを適用して、$\vert\psi\rangle = \vert1\rangle$と初期化します。

qpe = QuantumCircuit(4, 3)
qpe.x(3)
qpe.draw()

カウント量子ビットにアダマールゲートをかけます：

for qubit in range(3):
    qpe.h(qubit)
qpe.draw()

次に、制御ユニタリー演算を実行します。注意：Qiskitでは量子ビットが上の画像とは逆のむきに並びます。

repetitions = 1
for counting_qubit in range(3):
    for i in range(repetitions):
        qpe.cp(math.pi/4, counting_qubit, 3); # This is C-U
    repetitions *= 2
qpe.draw()

逆量子フーリエ変換を適用して、カウントレジスターの状態を変換します。 ここでは、$QFT^\dagger$のコードを以下のように与えます。

def qft_dagger(qc, n):
    """n-qubit QFTdagger the first n qubits in circ"""
    # Don't forget the Swaps!
    for qubit in range(n//2):
        qc.swap(qubit, n-qubit-1)
    for j in range(n):
        for m in range(j):
            qc.cp(-math.pi/float(2**(j-m)), m, j)
        qc.h(j)

次に、カウントレジスターを測定します。

qpe.barrier()
# Apply inverse QFT
qft_dagger(qpe, 3)
# Measure
qpe.barrier()
for n in range(3):
    qpe.measure(n,n)

qpe.draw()

2.2 結果

aer_sim = Aer.get_backend('aer_simulator')
shots = 2048
t_qpe = transpile(qpe, aer_sim)
qobj = assemble(t_qpe, shots=shots)
results = aer_sim.run(qobj).result()
answer = results.get_counts()

plot_histogram(answer)

結果（001）のみが得られ、これは10進数に変換されると 1となります。$\theta$の結果を得るには、結果（1）を$2^n$で割る必要があります。

$$\theta = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$$

これはまさに私たちが期待した結果です！

3. 例：より精度を高める

3.1 問題

$T$ゲートの代わりに、$\theta = \frac{1}{3}$のゲートを使用してみましょう。上の例のように回路を準備しました。

# Create and set up circuit
qpe2 = QuantumCircuit(4, 3)

# Apply H-Gates to counting qubits:
for qubit in range(3):
    qpe2.h(qubit)

# Prepare our eigenstate |psi>:
qpe2.x(3)

# Do the controlled-U operations:
angle = 2*math.pi/3
repetitions = 1
for counting_qubit in range(3):
    for i in range(repetitions):
        qpe2.cp(angle, counting_qubit, 3);
    repetitions *= 2

# Do the inverse QFT:
qft_dagger(qpe2, 3)

# Measure of course!
for n in range(3):
    qpe2.measure(n,n)

qpe2.draw()

# Let's see the results!
aer_sim = Aer.get_backend('aer_simulator')
shots = 4096
t_qpe2 = transpile(qpe2, aer_sim)
qobj = assemble(t_qpe2, shots=shots)
results = aer_sim.run(qobj).result()
answer = results.get_counts()

plot_histogram(answer)

予測される結果は$\theta = 0.3333\dots$です。実行の結果、最も可能性の高い結果は010(bin) = 2(dec) と011(bin) = 3(dec)であることが見てわかります。 これらの2つの結果から、それぞれ$\theta = 0.25$ (off by 25%) と$\theta = 0.375$ (off by 13%)が得られます。$\theta$ の真の値は、カウントビットから取得できる値の間にあり、この回路は、不確実であり不正確であることがわかります。

3.2 解決策

より精度を上げるには、カウント量子ビットを追加するだけです。 さらに2つのカウント量子ビットを追加しましょう。

# Create and set up circuit
qpe3 = QuantumCircuit(6, 5)

# Apply H-Gates to counting qubits:
for qubit in range(5):
    qpe3.h(qubit)

# Prepare our eigenstate |psi>:
qpe3.x(5)

# Do the controlled-U operations:
angle = 2*math.pi/3
repetitions = 1
for counting_qubit in range(5):
    for i in range(repetitions):
        qpe3.cp(angle, counting_qubit, 5);
    repetitions *= 2

# Do the inverse QFT:
qft_dagger(qpe3, 5)

# Measure of course!
qpe3.barrier()
for n in range(5):
    qpe3.measure(n,n)

qpe3.draw()

### Let's see the results!
aer_sim = Aer.get_backend('aer_simulator')
shots = 4096
t_qpe3 = transpile(qpe3, aer_sim)
qobj = assemble(t_qpe3, shots=shots)
results = aer_sim.run(qobj).result()
answer = results.get_counts()

plot_histogram(answer)

最も可能性の高い2つの測定結果は、01011（10進数の11）と01010 (10進数の10）です。 これらから、次のように$\theta$が求められます。

$$\theta = \frac{11}{2^5} = 0.344,\;\text{ or }\;\; \theta = \frac{10}{2^5} = 0.313$$

この2つの結果の$\frac{1}{3}$ との誤差は、それぞれ3％と6％です。さきほどよりずっと優れた精度の結果が得られました！

4. 実デバイスでの実験

4.1 2.1の回路で

2.1節の回路は実際のデバイスで実行できます。回路を思い出してみましょう。

qpe.draw()

IBMQ.load_account()
from qiskit.tools.monitor import job_monitor
provider = IBMQ.get_provider(hub='ibm-q')
santiago = provider.get_backend('ibmq_santiago')

# Run with 2048 shots
shots = 2048
t_qpe = transpile(qpe, santiago, optimization_level=3)
job = santiago.run(t_qpe, shots=shots)
job_monitor(job)

Job Status: job has successfully run

# get the results from the computation
results = job.result()
answer = results.get_counts(qpe)

plot_histogram(answer)

うまくいけば、最も可能性の高い結果は、シミュレーターから期待される結果である 001 になることがわかります。 シミュレーターとは異なり、 001以外も測定される可能性があります。これは、量子コンピューターにおけるノイズとゲートエラーによるものです。

5. 練習問題

1. 異なるゲート（$\text{CNOT}$, 制御$S$, 制御$T^\dagger$）で上記の実験を試してください。どのような結果が期待できますか？ どのような結果が得られますか？

2. 制御$Y$ゲートを使って実験してみてください。正しい結果が得られますか？ （ヒント：$|\psi\rangle$ が$Y$の固有状態であることを確認してください！）

6. 今後の展望

制御$U$演算を実行するには $\theta$ を知っている必要があったため、量子位相推定アルゴリズムは無意味に見えるかもしれません。後の章で、$\theta$ が不明な状態で回路を作る方法を学び、この$\theta$ について学習することで、非常に有用な情報が得られることが分かります（最も有名なのは、数を因数分解する方法です！）。

7. 参考文献

[1] Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang. 2011. Quantum Computation and Quantum Information: 10th Anniversary Edition (10th ed.). Cambridge University Press, New York, NY, USA.

8. 寄稿者

03/20/2020 — Hwajung Kang (@HwajungKang) — Fixed inconsistencies with qubit ordering

import qiskit.tools.jupyter
%qiskit_version_table

{'qiskit-terra': '0.14.2',
 'qiskit-aer': '0.5.2',
 'qiskit-ignis': '0.3.3',
 'qiskit-ibmq-provider': '0.7.2',
 'qiskit-aqua': '0.7.3',
 'qiskit': '0.19.6'}