test1_20142.tex

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\begin{document}
\begin{flushleft}
  \sffamily\bfseries
  {\Large Parcial 1\hspace{5cm}}\LOGO\\
  Métodos Computacionales \\
  Universidad de Antioquia\\
  Facultad de Ciencias Exactas y Naturales\\  
  2014-2\\
  
\hrulefill\par

  Nombre: \\
  Cédula: \\
  \footnotesize 22 Enero 2015

\hrulefill\par
  
  \end{flushleft}


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El parcial tiene una duración de 2 horas. Cada numeral tiene un valor del $25\%$.

\begin{itemize}

 \item[\textbf{1.}] 
 El método de bisección para determinar raíces de funciones presenta una
 convergencia que escala como $1/2^k$, donde $k$ es el número de iteraciones 
 realizadas. Una modificación de este método consiste en dividir cada intervalo
 en $N$ subintervalos en vez de solamente dos. Este conjunto de métodos se pueden
 denominar métodos de $N$-sección. 
 
 Una ventaja de estos métodos es que la convergencia numérica mejora 
 sustancialmente ya que escala aproximadamente como $1/N^k$. Sin embargo, en 
 términos de rendimiento computacional esta ventaja se ve disminuida debido a que 
 una sola iteración de $N$-sección requiere más tiempo que una iteración de 
 bisección.
 
 Suponga que la tarea de dividir y evaluar el signo de un subintervalo toma un 
 tiempo $t_{int}$, que es el mismo para cualquiera de los métodos. \textbf{Calcule 
 para los métodos $N$-sección cuanto tiempo, en unidades de $t_{int}$, se requiere 
 para realizar $k$ iteraciones. Usando esta información y la formula para calcular
 la convergencia (precisión), considera usted que existe alguna ventaja en usar
 un método en específico?}
 
 \textbf{Pistas:} UNA iteración de bisección toma un tiempo de $2\ t_{int}$ ya 
 que es necesario dividir en dos subintevalosy evaluar el signo en cada uno de 
 ellos. 
 
 Si lo considera necesario, cree una tabla para bisección, trisección (3-sección) y 
 quadri\-sección (4-sección) donde tabule, en términos de cada iteración, la 
 convergencia y el tiempo acumulado requerido.
 
 
 \item[\textbf{2.}] 
 El método de Newton para encontrar raíces permite evaluar determinar la 
 solución a partir de un conjunto de iteraciones, donde la $n$-ésima aproximación
 está dada por
 
 \[ p_{n+1} = p_n - \frac{f(p_n)}{f'(p_n)} \]
 
 Calcular la raíz de la función
 
 \[f(x) = \cos(x)-x\]
 
 dando como valor inicial $p_n = 0$.
 
 \textbf{Tabule los resultados para cada iteración hasta que la aproximación coincida
 en 5 cifras decimales con la respuesta correcta ($0.73908513321516064$).}
 
 \item[\textbf{3.}] 
 Demostrar la formula general para los polinomios interpolantes de Lagrange
 
 \[P_n(x) = \sum_{i=0}^n y_i L_{n,i}(x)\]
 
 donde $n$ es el número de datos, $\{x_i\}_i$ y $\{y_i\}_i$ son los datos que se 
 desean interpolar y $L_{n,i}(x)$ son las funciones base.
 
 \textbf{Pista:} demuestre la expresión para $n=2$ puntos, y generalice la 
 expresión.

 \item[\textbf{4.}] 
 Usando los datos $X = \{0.5, 1.2, 3.2\}$ y $Y = \{-1.5, 0.1, 1.4\}$ y la 
 expresión deducida en el numeral anterior, determinar el polinomio interpolante 
 de Lagrange para estos puntos. 
 
 Escriba la respuesta de forma factorizada, es decir, $P_n(x) = a_0 + a_1 x + 
 a_2 x^2+\cdots$
 
\end{itemize}

%==============================================================================

\end{document}