Examen_2018_1_03_enunciado.ipynb

Kernel: Python 3

Examen 3

1. Considere una matrix $A$, $3\times 3$ real, que se pueda diagonalizar con una transformación del tipo $$\begin{align} A_{\text{diag}}=P^T\cdot A \cdot U\,, \end{align}$$ donde $P$ es una matrix de permutación ortogonal, es decir, de entradas 0 y $\pm 1$, y $U$ es una matriz de rotación en términos de tres ángulos de mezcla: $\theta_{12}$, $\theta_{23}$, $\theta_{13}$ $$\begin{align*} U=\begin{bmatrix} c_{12}c_{13} &s_{12}c_{13} & s_{13} \\ -s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13} & c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}& s_{23}c_{13}\\ s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13} &-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}& c_{23}c_{13}\\ \end{bmatrix} \end{align*}$$ donde $c_{12}=\cos\theta_{12}$, etc. Construya una función de python, que acepte como entrada una matrix, y entrege como salida los tres autovectores ordenados de mayor a menor y los tres ángulos de mezcla en grados. Aplique dicha función sobre la matrix:

A=np.array( [
 [7.778162746217654799e+00, -7.662363998929994757e+00,  1.337296616780795588e+00],
 [2.121317112604814703e+00,  2.088449805848296759e+00, -3.720095646918017973e-01],
 [6.981313463593235256e-03,  6.945916527427932197e-01,  3.939225012258420922e+00]] )

3. Grafique el espacio de configuración elongación-velocidad, de una masa $m=1\$Kg en el extremo de un resorte de constante elástica $k=1\$N/m sometida a una fuerza de fricción proporcional a velocidad con coeficiente de fricción $b=1/3\$N$\cdot$s/m. Considere elongaciónes iniciales en el intervalo $-1\$m a $1\$m y velocidades iniciales entre $-1\$m/s y $1\$m/s