Segundo examen

Un observador mirando el movimiento de un péndulo simple con una masa en el extremo de $0.2\ \text{Kg}$ y una longitud $l=1\ \text{m}$, activa un cronómetro cuando el péndulo, oscilando de izquierda a derecha, se encuentra en su posición vertical. El observador detiene el cronómetro después de un tiempo de $t_f=0.5026\ \text{s}$, justo cuando el péndulo alcanza su máxima altura formando un ángulo de $\theta_0=10^\circ$ con respecto a la vertical. Por lo tanto $t_f=T/4$, donde , donde $T$ es el período de la oscilación del péndulo simple.

1. Minimizando la Acción del péndulo simple, la cual será explicada a continuación, encuentre la trayectoria angular que describe el extremo del péndulo durante el tiempo de observación: en el plano del ángulo barrido en radianes en función del tiempo esquematizado en la figura.

2. Grafique dicha trayectoria en plano $\theta(t)$ vs $t$ y compare con la superposición del gráfico de la ecuación de movimiento $\theta(t)=\theta_0 \sin(\omega t)$, donde $\omega$ es la frecuencia angular de la oscilación del péndulo simple, dada por $\omega=2\pi/T$.

3. Compruebe que la trayectoría que minimiza la Acción también conserva la energía total: $E=K+V$, donde $K$ es la energía cinética del péndulo y $V$ es su energía potencial.

Acción para un péndulo simple

Vamos a tomar como origen del sistema de referencia el extremo inferior del péndulo en su posición vertical. Por lo tanto, la altura del extremo inferior del péndulo a un ángulo $\theta$ com se muestra en la figura, es $$y=l-l\cos\theta=l(1-\cos\theta)\,.$$ Entonces

• Energía potencial $$V=mgy=mgl(1-\cos\theta).$$

• Como la velocidad de la masa es $v=l\dot\theta$, tenemos que la energía cinética es $$K=\frac{1}{2}m v^2=\frac{1}{2}ml^2\dot\theta^2\,,$$ donde $\dot\theta=d\theta/dt\,.$.

La Lagrangiana, en función de las coordenadas generalizadas $\theta$ y $\dot\theta$ es $$L=K-V=\frac{1}{2}ml^2\dot\theta^2-mgl(1-\cos\theta)\,,$$ y, finalmente, la Acción a minimizar para encontrar la trayectoria física $\theta(t)$, es $$S=\int_0^{t_f} L\,\operatorname{d}t\,.$$

Para los detalles ver: http://www.aoengr.com/Dynamics/LagrangianMechanicsPendulum.pdf