Homework_2018_1_05_1032478036.ipynb

Kernel: Python 3

Tarea

a) Construir una funcion que retorne $L_{0}(x),L_{1}(x)$... para reconstruir el polinomio de lagrange

$$\begin{equation} P_{n}(x)=L_{0}f(x_{0})+L_{1}f(x_{1})+... \end{equation}$$

para los puntos (3.,8.),(10.,6.5),(21.3,3.)

b) Verificar que dicho polinomio es $$\begin{equation} P_{n}(x)=-0.005216x^2 - 0.1465x + 8.486 \end{equation}$$

c) Evaluar $L_{0}(x_{0}),L_{1}f(x_{1}),L_{2}f(x_{2}),L_{i}f(x_{j})$ con i distinto de j

from sympy import symbols
from sympy import Poly
from sympy import polys
from scipy import interpolate
import pandas as pd
import numpy as np

a) Se ingresan los puntos, se establece el orden del polinomio y se define la función que calcula $L_{j}$

df=pd.DataFrame({ 'x':[3,10,21.3],'y':[8.,6.5,3.]}) #se crea el dataframe con las coordenadas de los puntos dados

n=2 #orden del polinomio 

x = symbols('x')    
'''se define x como un símbolo y no como variable para ingresarla en la siguiente función 
sin que tome un valor específico'''

#se define la función que calcula L_{j} para algún subíndice j

def L(j):
    l=1
    for i in range(n+1): #hasta n+1 para que incluya el valor n
        if i!=j :        #por definición, solo se agregan términos a la productoria cuando i es diferente de j
            l*=polys.polytools.poly((x-df.x[i])/(df.x[j]-df.x[i]))  #define la productoria usando polinomios
    return l

Se imprime en pantalla cada $L_{j}$

print ("L_0= {}\n\nL_1= {}\n\nL_2= {}".format(Poly(L(0).args,x).as_expr(),Poly(L(1).args,x).as_expr(),Poly(L(2).args,x).as_expr()))

L_0= 0.0078064012490242*x**2 - 0.244340359094457*x + 1.66276346604215

L_1= -0.0126422250316056*x**2 + 0.307206068268015*x - 0.807838179519596

L_2= 0.00483582378258136*x**2 - 0.0628657091735577*x + 0.145074713477441

Teniendo cada $L_{j}$ se multiplican por el correspondiente $f(x_{j})$ para reconstruir $P_{n}(x)$

Pn=(L(0)*df.y[0])+(L(1)*df.y[1])+(L(2)*df.y[2])
print("El polinomio de Lagrange es:\n\nPn(x)= {}".format(Poly(Pn.args,x).as_expr()))

El polinomio de Lagrange es:

Pn(x)= -0.00521578136549849*x**2 - 0.146480556534234*x + 8.48638370189219

b) Se comprueba el polinomio $P_{n}(x)$ obtenido con el que retorna la función interpolate.lagrange de Scipy

P=interpolate.lagrange(df.x,df.y)
print(P)

           2
-0.005216 x - 0.1465 x + 8.486

c) Se evaluan $L_{0}(x_{0}),L_{1}f(x_{1}),L_{2}f(x_{2}),L_{i}f(x_{j})$ con i distinto de j

L0=[]
L1=[]
L2=[]

'''
se imprime el valor de cada Lj evaluado en xi , asignandole el valor correspondiente a x 
con la función subs y redondeandolo a 3 cifras con round
'''

for i in range(n+1):
    L0.append((round(L(0).subs({x:df.x[i]}), 3)))
    L1.append((round(L(1).subs({x:df.x[i]}), 3)))
    L2.append((round(L(2).subs({x:df.x[i]}), 3)))
print('L0(x0)= {}  L0(x1)= {}  L0(x2)= {}'.format(L0[0],L0[1],L0[2]))
print('L1(x0)= {}  L1(x1)= {}  L1(x2)= {}'.format(L1[0],L1[1],L1[2]))
print('L2(x0)= {}  L2(x1)= {}  L2(x2)= {}'.format(L2[0],L2[1],L2[2]))

L0(x0)= 1.0  L0(x1)= 0.0  L0(x2)= 0.0
L1(x0)= -0.0  L1(x1)= 1.0  L1(x2)= 0.0
L2(x0)= -0.0  L2(x1)= -0.0  L2(x2)= 1.0