Taller_algebra_lineal_doe.ipynb

Kernel: Python 3

Taller álgebra lineal y ecuaciones diferenciales

1. Encuentre los atovalores y las matrices de diagonalización, tanto con numpy como con scipy

%pylab inline

Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib

from scipy import linalg
import numpy as np

M=np.array([[1,3,8],
            [4,3,2],
            [1,5,3]])

λ2,V=np.linalg.eig(np.dot(M,M.transpose())) #V 

λ2,UU=np.linalg.eig( np.dot(M.transpose(),M) ) #U

El reordenamiento tambien funciona con $V$

U=np.hstack(  [ np.reshape( UU[:,0],(3,1)  ),
                 np.reshape( UU[:,2],(3,1)  ),
                 np.reshape( UU[:,1],(3,1)  )] )

np.dot( np.dot( V.transpose(),M),U).round(13)

array([[-10.75165105,  -0.        ,  -0.        ],
       [ -0.        ,   4.08488967,   0.        ],
       [  0.        ,   0.        ,   2.39074803]])

np.sqrt(λ2)

array([ 10.75165105,   2.39074803,   4.08488967])

linalg.eig( M,left=True,right=True)

(array([ 9.67292784+0.j        , -1.33646392+3.01146182j,
        -1.33646392-3.01146182j]),
 array([[-0.37851909+0.j        , -0.30833931-0.37484143j,
         -0.30833931+0.37484143j],
        [-0.65796679+0.j        , -0.27614708+0.45108888j,
         -0.27614708-0.45108888j],
        [-0.65100154+0.j        ,  0.69619134+0.j        ,  0.69619134-0.j        ]]),
 array([[-0.66121269+0.j        , -0.71966834+0.j        , -0.71966834-0.j        ],
        [-0.54944805+0.j        ,  0.32760757+0.42615544j,
          0.32760757-0.42615544j],
        [-0.51078823+0.j        ,  0.08733205-0.43071501j,
          0.08733205+0.43071501j]]))

np.abs(λ)

array([ 9.67292784,  3.29469848,  3.29469848])

λ[0]

(9.6729278368191807+0j)

2. Solucione y gráfique la solución de $$\begin{align} \frac{dx}{dt}=&6y\\ \frac{dy}{dt}=&(2t-3x)/4y \end{align}$$ with $x_0=1$ and $y_0=2$.

x0,y0=[1,2]

x0

1

y0

2

def dU_dt(U,t):
    x,y=U
    return [6*y,
            (2*t-3*x)/(4.*y)]

import scipy.integrate as integrate

tmax=0.642
t=np.linspace(0.,tmax,100)
U=integrate.odeint(dU_dt,[x0,y0],t)
plt.plot( t,U[:,0] )
plt.plot( t,U[:,1] )

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7f6c60e6d978>]

t=np.linspace(0.34,1,100)
U=integrate.odeint(dU_dt,[1,2],t)

plt.plot( t,U[:,0] )

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7f6c61e3ff60>]

3. Encuentre el espacio de fase de un resorte de constante elástica $k=0.1$ N/m con una masa en el extremo de $0.1$ Kg.

3. Implemente la solución de aquú

1. Implemente https://ipython-books.github.io/123-simulating-an-ordinary-differential-equation-with-scipy/