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.. _section-linalg:
Álgebra Lineal
==============
Sage soporta construcciones estándar de álgebra lineal, como el
polinomio característico, la forma escalonada, la traza,
descomposición, etcétera de una matriz.
La creación de matrices y la multiplicación es sencilla y natural:
::
sage: A = Matrix([[1,2,3],[3,2,1],[1,1,1]])
sage: w = vector([1,1,-4])
sage: w*A
(0, 0, 0)
sage: A*w
(-9, 1, -2)
sage: kernel(A)
Free module of degree 3 and rank 1 over Integer Ring
Echelon basis matrix:
[ 1 1 -4]
La descripción de ``kernel(A)`` indica que se trata de un
subespacio de dimensión 1 ("rank 1") de un espacio de dimensión 3
("degree 3"). Por el momento, tanto ``kernel(A)`` como el espacio
ambiente admiten coeficientes enteros ("over Integer Ring").
Finalmente, Sage nos muestra una base escalonada ("Echelon basis").
Observa que en Sage, el núcleo de la matriz :math:`A` es el "núcleo por
la izquierda", e.g. el subespacio formado por los vectores :math:`w`
tales que :math:`wA=0`.
Resolver ecuaciones matriciales es sencillo, usando el método
``solve_right`` (resolver por la derecha). Al evaluar
``A.solve_right(Y)`` obtenemos una matriz (o un vector)
:math:`X` tal que :math:`AX=Y`:
.. link
::
sage: Y = vector([0, -4, -1])
sage: X = A.solve_right(Y)
sage: X
(-2, 1, 0)
sage: A * X # comprobando la solución...
(0, -4, -1)
Si no hay solución, Sage lanza un error:
.. skip
::
sage: A.solve_right(w)
Traceback (most recent call last):
...
ValueError: matrix equation has no solutions
De forma similar, usamos ``A.solve_left(Y)`` para despejar :math:`X` de
la ecuación :math:`XA=Y`.
Sage también puede calcular autovalores ("eigenvalues") y autovectores
("eigenvectors")::
sage: A = matrix([[0, 4], [-1, 0]])
sage: A.eigenvalues ()
[-2*I, 2*I]
sage: B = matrix([[1, 3], [3, 1]])
sage: B.eigenvectors_left()
[(4, [(1, 1)], 1), (-2, [(1, -1)], 1)]
(La sintaxis de la salida de ``eigenvectors_left`` es una lista de
tuplas: (autovalor, autovector, multiplicidad).) Los autovalores
y autovectores sobre ``QQ`` o ``RR`` también se pueden calcular
usando Maxima.
Como ya indicamos en :ref:`section-rings`, el anillo sobre el que se
define una matriz afecta algunas de sus propiedades. En las líneas que
siguen, el primer argumento al comando ``matrix`` le dice a Sage que
considere la matriz como una matriz de enteros (si el argumento es
``ZZ``), de números racionales (si es ``QQ``), o de números reales
(si es ``RR``)::
sage: AZ = matrix(ZZ, [[2,0], [0,1]])
sage: AQ = matrix(QQ, [[2,0], [0,1]])
sage: AR = matrix(RR, [[2,0], [0,1]])
sage: AZ.echelon_form()
[2 0]
[0 1]
sage: AQ.echelon_form()
[1 0]
[0 1]
sage: AR.echelon_form()
[ 1.00000000000000 0.000000000000000]
[0.000000000000000 1.00000000000000]
(El comando ``echelon_form`` devuelve una forma escalonada de la matriz)
Espacios de matrices
--------------------
Creamos el espacio :math:`\text{Mat}_{3\times 3}(\QQ)` matrices
`3 \times 3` con coeficientes racionales::
sage: M = MatrixSpace(QQ,3)
sage: M
Full MatrixSpace of 3 by 3 dense matrices over Rational Field
(Para especificar el espacio de matrices 3 por 4, usaríamos
``MatrixSpace(QQ,3,4)``. Si se omite el número de columnas, se adopta
por defecto el número de filas, de modo que ``MatrixSpace(QQ,3)``
es un sinónimo de ``MatrixSpace(QQ,3,3)``.) El espacio de matrices
está equipado con su base canónica:
.. link
::
sage: B = M.basis()
sage: len(B)
9
sage: B[0,1]
[0 1 0]
[0 0 0]
[0 0 0]
Creamos una matriz como un elemento de ``M``.
.. link
::
sage: A = M(range(9)); A
[0 1 2]
[3 4 5]
[6 7 8]
Calculamos su forma escalonada por filas y su núcleo.
.. link
::
sage: A.echelon_form()
[ 1 0 -1]
[ 0 1 2]
[ 0 0 0]
sage: A.kernel()
Vector space of degree 3 and dimension 1 over Rational Field
Basis matrix:
[ 1 -2 1]
Ilustramos un cálculo de matrices definidas sobre cuerpos finitos:
::
sage: M = MatrixSpace(GF(2),4,8)
sage: A = M([1,1,0,0, 1,1,1,1, 0,1,0,0, 1,0,1,1,
....: 0,0,1,0, 1,1,0,1, 0,0,1,1, 1,1,1,0])
sage: A
[1 1 0 0 1 1 1 1]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 1 1 1 1 1 0]
sage: rows = A.rows()
sage: A.columns()
[(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1),
(1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0)]
sage: rows
[(1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1),
(0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0)]
Construimos el subespacio sobre `\GF{2}` engendrado por las filas de
arriba.
.. link
::
sage: V = VectorSpace(GF(2),8)
sage: S = V.subspace(rows)
sage: S
Vector space of degree 8 and dimension 4 over Finite Field of size 2
Basis matrix:
[1 0 0 0 0 1 0 0]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 0 1 0 0 1 1]
sage: A.echelon_form()
[1 0 0 0 0 1 0 0]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 0 1 0 0 1 1]
La base de `S` usada por Sage se obtiene de las filas no nulas de la
forma escalonada reducida de la matriz compuesta por los generadores
de `S`.
Álgebra Lineal Dispersa
-----------------------
Sage soporta espacios de matrices sobre DIPs almacenados de forma
dispersa.
::
sage: M = MatrixSpace(QQ, 100, sparse=True)
sage: A = M.random_element(density = 0.05)
sage: E = A.echelon_form()
El algoritmo multi-modular de Sage es bueno para matrices cuadradas
(pero no tan bueno para matrices no cuadradas):
::
sage: M = MatrixSpace(QQ, 50, 100, sparse=True)
sage: A = M.random_element(density = 0.05)
sage: E = A.echelon_form()
sage: M = MatrixSpace(GF(2), 20, 40, sparse=True)
sage: A = M.random_element()
sage: E = A.echelon_form()
