.. _section-rings:
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Anneaux de base
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Nous illustrons la prise en main de quelques anneaux de base avec Sage.
Par exemple, ``RationalField()`` ou ``QQ`` désigneront dans ce qui
suit au corps des nombres rationnels :
::
sage: RationalField()
Rational Field
sage: QQ
Rational Field
sage: 1/2 in QQ
True
Le nombre décimal ``1.2`` est considéré comme un élément de ``QQ``,
puisqu'il existe une application de coercition entre les réels et les
rationnels :
::
sage: 1.2 in QQ
True
Néanmoins, il n'y a pas d'application de coercition entre le corps fini
à 3 éléments et les rationnels :
::
sage: c = GF(3)(1) # c est l'élément 1 du corps fini à 3 éléments
sage: c in QQ
False
De même, bien entendu, la constante symbolique :math:`\pi` n'appartient
pas aux rationnels :
::
sage: pi in QQ
False
Le symbole ``I`` représente la racine carrée de :math:`-1`; ``i`` est
synonyme de ``I``. Bien entendu, ``I`` n'appartient pas aux rationnels :
::
sage: i # i^2 = -1
I
sage: i in QQ
False
À ce propos, d'autres anneaux sont prédéfinis en Sage : l'anneau des
entiers relatifs ``ZZ``, celui des nombres réels ``RR`` et celui des
nombres complexes ``CC``. Les anneaux de polynômes sont décrits dans
:ref:`section-poly`.
Passons maintenant à quelques éléments d'arithmétique.
::
sage: a, b = 4/3, 2/3
sage: a + b
2
sage: 2*b == a
True
sage: parent(2/3)
Rational Field
sage: parent(4/2)
Rational Field
sage: 2/3 + 0.1 # coercition automatique avant addition
0.766666666666667
sage: 0.1 + 2/3 # les règles de coercition sont symétriques en Sage
0.766666666666667
Il y a une subtilité dans la définition des nombres complexes. Comme
mentionné ci-dessus, le symbole ``i`` représente une racine carrée de
:math:`-1`, mais il s'agit d'une racine carrée *formelle* de :math:`-1`,
comme élément d'un corps de nombres quadratique. L'appel ``CC(i)`` renvoie
la racine carrée de :math:`-1` comme nombre complexe en virgule flottante.
.. link
::
sage: i = CC(i) # nombre complexe en virgule flottante
sage: z = a + b*i
sage: z
1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
sage: z.imag() # partie imaginaire
0.666666666666667
sage: z.real() == a # coercition automatique avant comparaison
True
sage: QQ(11.1)
111/10
