Álgebra Elementar e Cálculo
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O Sage pode realizar diversos cálculos em álgebra elementar e cálculo
diferencial e integral: por exemplo, encontrar soluções de equações,
diferenciar, integrar, e calcular a transformada de Laplace. Veja a
documentação em `Sage Constructions
<http://doc.sagemath.org/html/en/constructions/>`_ para mais exemplos.
Resolvendo equações
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Resolvendo equações exatamente
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
A função ``solve`` resolve equações. Para usá-la, primeiro especifique
algumas variáveis; então os argumentos de ``solve`` são uma equação
(ou um sistema de equações), juntamente com as variáveis para as
quais resolver:
::
sage: x = var('x')
sage: solve(x^2 + 3*x + 2, x)
[x == -2, x == -1]
Você pode resolver equações para uma variável em termos das outras:
::
sage: x, b, c = var('x b c')
sage: solve([x^2 + b*x + c == 0],x)
[x == -1/2*b - 1/2*sqrt(b^2 - 4*c), x == -1/2*b + 1/2*sqrt(b^2 - 4*c)]
Você pode resolver para diversas variáveis:
::
sage: x, y = var('x, y')
sage: solve([x+y==6, x-y==4], x, y)
[[x == 5, y == 1]]
O seguinte exemplo, que mostra como usar o Sage para resolver um
sistema de equações não-lineares, foi sugerido por Jason Grout:
primeiro, resolvemos o sistemas simbolicamente:
::
sage: var('x y p q')
(x, y, p, q)
sage: eq1 = p+q==9
sage: eq2 = q*y+p*x==-6
sage: eq3 = q*y^2+p*x^2==24
sage: solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y)
[[p == 1, q == 8, x == -4/3*sqrt(10) - 2/3, y == 1/6*sqrt(10) - 2/3], [p == 1, q == 8, x == 4/3*sqrt(10) - 2/3, y == -1/6*sqrt(10) - 2/3]]
Para obter soluções numéricas aproximadas, podemos usar:
.. link
::
sage: solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y, solution_dict=True)
sage: [[s[p].n(30), s[q].n(30), s[x].n(30), s[y].n(30)] for s in solns]
[[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039],
[1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]]
(A função ``n`` imprime uma aproximação numérica, e o argumento é o
número de bits de precisão.)
Resolvendo Equações Numericamente
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Frequentemente, ``solve`` não será capaz de encontrar uma solução
exata para uma equação ou sistema de equações. Nesse caso, você pode
usar ``find_root`` para encontrar uma solução numérica. Por exemplo,
``solve`` não encontra uma solução para a equação abaixo::
sage: theta = var('theta')
sage: solve(cos(theta)==sin(theta), theta)
[sin(theta) == cos(theta)]
Por outro lado, podemos usar ``find_root`` para encontrar uma solução
para a equação acima no intervalo :math:`0 < \phi < \pi/2`::
sage: phi = var('phi')
sage: find_root(cos(phi)==sin(phi),0,pi/2)
0.785398163397448...
Diferenciação, Integração, etc.
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O Sage é capaz de diferenciar e integrar diversas funções. Por
exemplo, para diferenciar :math:`\sin(u)` com respeito a :math:`u`,
faça o seguinte:
::
sage: u = var('u')
sage: diff(sin(u), u)
cos(u)
Para calcular a quarta derivada de :math:`\sin(x^2)`:
::
sage: diff(sin(x^2), x, 4)
16*x^4*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2) - 12*sin(x^2)
Para calcular as derivadas parciais de :math:`x^2+17y^2` com respeito
a *x* e *y*, respectivamente:
::
sage: x, y = var('x,y')
sage: f = x^2 + 17*y^2
sage: f.diff(x)
2*x
sage: f.diff(y)
34*y
Passamos agora para integrais, tanto indefinidas como definidas. Para
calcular :math:`\int x\sin(x^2)\, dx` e :math:`\int_0^1
\frac{x}{x^2+1}\, dx`:
::
sage: integral(x*sin(x^2), x)
-1/2*cos(x^2)
sage: integral(x/(x^2+1), x, 0, 1)
1/2*log(2)
Para calcular a decomposição em frações parciais de
:math:`\frac{1}{x^2-1}`:
::
sage: f = 1/((1+x)*(x-1))
sage: f.partial_fraction(x)
-1/2/(x + 1) + 1/2/(x - 1)
.. _section-systems:
Resolvendo Equações Diferenciais
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Você pode usar o Sage para investigar equações diferenciais
ordinárias. Para resolver a equação :math:`x'+x-1=0`:
::
sage: t = var('t') # define a variable t
sage: x = function('x')(t) # define x to be a function of that variable
sage: DE = diff(x, t) + x - 1
sage: desolve(DE, [x,t])
(_C + e^t)*e^(-t)
Esse método usa a interface do Sage para o Maxima [Max]_. Logo, o
formato dos resultados é um pouco diferente de outros cálculos
realizados no Sage. Nesse caso, o resultado diz que a solução geral da
equação diferencial é :math:`x(t) = e^{-t}(e^{t}+c)`.
Você pode calcular a transformada de Laplace também; a transformada de
Laplace de :math:`t^2e^t -\sin(t)` é calculada da seguinte forma:
::
sage: s = var("s")
sage: t = var("t")
sage: f = t^2*exp(t) - sin(t)
sage: f.laplace(t,s).simplify_rational()
-(s^3 - 5*s^2 + 3*s - 3)/(s^5 - 3*s^4 + 4*s^3 - 4*s^2 + 3*s - 1)
A seguir, um exemplo mais complicado. O deslocamento, com respeito à
posição de equilíbrio, de duas massas presas a uma parede através de
molas, conforme a figura abaixo,
::
|------\/\/\/\/\---|massa1|----\/\/\/\/\/----|massa2|
mola1 mola2
é modelado pelo sistema de equações diferenciais de segunda ordem
.. math::
m_1 x_1'' + (k_1+k_2) x_1 - k_2 x_2 = 0
m_2 x_2''+ k_2 (x_2-x_1) = 0,
onde, para :math:`i=1,2`, :math:`m_{i}` é a massa do objeto *i*,
:math:`x_{i}` é o deslocamento com respeito à posição de equilíbrio da
massa *i*, e :math:`k_{i}` é a constante de mola para a mola *i*.
**Exemplo:** Use o Sage para resolver o problema acima com
:math:`m_{1}=2`, :math:`m_{2}=1`, :math:`k_{1}=4`,
:math:`k_{2}=2`, :math:`x_{1}(0)=3`, :math:`x_{1}'(0)=0`,
:math:`x_{2}(0)=3`, :math:`x_{2}'(0)=0`.
Solução: Primeiramente, calcule a transformada de Laplace da primeira
equação (usando a notação :math:`x=x_{1}`, :math:`y=x_{2}`):
::
sage: de1 = maxima("2*diff(x(t),t, 2) + 6*x(t) - 2*y(t)")
sage: lde1 = de1.laplace("t","s"); lde1.sage()
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)
O resultado é um pouco difícil de ler, mas diz que
.. math:: -2x'(0) + 2s^2*X(s) - 2sx(0) - 2Y(s) + 6X(s) = 0
(onde a transformada de Laplace de uma função em letra minúscula
:math:`x(t)` é a função em letra maiúscula :math:`X(s)`). Agora,
calcule a transformada de Laplace da segunda equação:
::
sage: t,s = SR.var('t,s')
sage: x = function('x')
sage: y = function('y')
sage: f = 2*x(t).diff(t,2) + 6*x(t) - 2*y(t)
sage: f.laplace(t,s)
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)
O resultado significa que
.. math:: -Y'(0) + s^2Y(s) + 2Y(s) - 2X(s) - sy(0) = 0.
Em seguida, substitua a condição inicial para :math:`x(0)`,
:math:`x'(0)`, :math:`y(0)`, e :math:`y'(0)`, e resolva as equações
resultantes:
::
sage: var('s X Y')
(s, X, Y)
sage: eqns = [(2*s^2+6)*X-2*Y == 6*s, -2*X +(s^2+2)*Y == 3*s]
sage: solve(eqns, X,Y)
[[X == 3*(s^3 + 3*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),
Y == 3*(s^3 + 5*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]]
Agora calcule a transformada de Laplace inversa para obter a resposta:
::
sage: var('s t')
(s, t)
sage: inverse_laplace((3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
cos(2*t) + 2*cos(t)
sage: inverse_laplace((3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
-cos(2*t) + 4*cos(t)
Portanto, a solução é
.. math:: x_1(t) = \cos(2t) + 2\cos(t), \quad x_2(t) = 4\cos(t) - \cos(2t).
Ela pode ser representada em um gráfico parametricamente usando os
comandos
::
sage: t = var('t')
sage: P = parametric_plot((cos(2*t) + 2*cos(t), 4*cos(t) - cos(2*t) ),
....: (t, 0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.9))
sage: show(P)
As componentes individuais podem ser representadas em gráfico usando
::
sage: t = var('t')
sage: p1 = plot(cos(2*t) + 2*cos(t), (t,0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.3))
sage: p2 = plot(4*cos(t) - cos(2*t), (t,0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.6))
sage: show(p1 + p2)
Leia mais sobre gráficos em :ref:`section-plot`. Veja a seção 5.5 de
[NagleEtAl2004]_ (em inglês) para mais informações sobre equações
diferenciais.
Método de Euler para Sistemas de Equações Diferenciais
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No próximo exemplo, vamos ilustrar o método de Euler para EDOs de
primeira e segunda ordem. Primeiro, relembramos a ideia básica para
equações de primeira ordem. Dado um problema de valor inicial da forma
.. math::
y'=f(x,y), \quad y(a)=c,
queremos encontrar o valor aproximado da solução em :math:`x=b` com
:math:`b>a`.
Da definição de derivada segue que
.. math:: y'(x) \approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h},
onde :math:`h>0` é um número pequeno. Isso, juntamente com a equação
diferencial, implica que :math:`f(x,y(x))\approx
\frac{y(x+h)-y(x)}{h}`. Agora resolvemos para :math:`y(x+h)`:
.. math:: y(x+h) \approx y(x) + h*f(x,y(x)).
Se chamarmos :math:`h f(x,y(x))` de "termo de correção", :math:`y(x)`
de "valor antigo de *y*", e :math:`y(x+h)` de "novo valor de *y*",
então essa aproximação pode ser reescrita como
.. math:: y_{novo} \approx y_{antigo} + h*f(x,y_{antigo}).
Se dividirmos o intervalo de *a* até *b* em *n* partes, de modo que
:math:`h=\frac{b-a}{n}`, então podemos construir a seguinte tabela.
============== ================== ================
:math:`x` :math:`y` :math:`hf(x,y)`
============== ================== ================
:math:`a` :math:`c` :math:`hf(a,c)`
:math:`a+h` :math:`c+hf(a,c)` ...
:math:`a+2h` ...
...
:math:`b=a+nh` ??? ...
============== ================== ================
O objetivo é completar os espaços em branco na tabela, em uma linha
por vez, até atingirmos ???, que é a aproximação para :math:`y(b)`
usando o método de Euler.
A ideia para sistemas de EDOs é semelhante.
**Exemplo:** Aproxime numericamente :math:`z(t)` em :math:`t=1` usando
4 passos do método de Euler, onde :math:`z''+tz'+z=0`, :math:`z(0)=1`,
:math:`z'(0)=0`.
Devemos reduzir a EDO de segunda ordem a um sistema de duas EDOs de
primeira ordem (usando :math:`x=z`, :math:`y=z'`) e aplicar o método
de Euler:
::
sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()
sage: f = y; g = -x - y * t
sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)
t x h*f(t,x,y) y h*g(t,x,y)
0 1 0.00 0 -0.25
1/4 1.0 -0.062 -0.25 -0.23
1/2 0.94 -0.12 -0.48 -0.17
3/4 0.82 -0.16 -0.66 -0.081
1 0.65 -0.18 -0.74 0.022
Portanto, :math:`z(1)\approx 0.65`.
Podemos também representar em um gráfico os pontos :math:`(x,y)` para
obter uma figura da solução aproximada. A função
``eulers_method_2x2_plot`` fará isso; para usá-la, precisamos definir
funções *f* e *g* que recebam um argumento com três coordenadas (*t*,
*x*, *y*).
::
sage: f = lambda z: z[2] # f(t,x,y) = y
sage: g = lambda z: -sin(z[1]) # g(t,x,y) = -sin(x)
sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)
A esta altura, ``P`` armazena dois gráficos: ``P[0]``, o gráfico de
*x* versus *t*, e ``P[1]``, o gráfico de *y* versus *t*. Podemos
visualizar os dois gráficos da seguinte forma:
.. link
::
sage: show(P[0] + P[1])
(Para mais sobre gráficos, veja :ref:`section-plot`.)
Funções Especiais
-----------------
Diversos polinômios ortogonais e funções especiais estão
implementadas, usando tanto o PARI [GP]_ como o Maxima [Max]_. Isso
está documentado nas seções apropriadas ("Orthogonal polynomials" and
"Special functions", respectivamente) do manual de referência do Sage
(em inglês).
::
sage: x = polygen(QQ, 'x')
sage: chebyshev_U(2,x)
4*x^2 - 1
sage: bessel_I(1,1).n(250)
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
sage: bessel_I(1,1).n()
0.56515910399248...
sage: bessel_I(2,1.1).n() # last few digits are random
0.16708949925104...
No momento, essas funções estão disponíveis na interface do Sage
apenas para uso numérico. Para uso simbólico, use a interface do
Maxima diretamente, como no seguinte exemplo:
::
sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
sage: maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'
