Базовая алгебра и вычисления
============================
Sage может осуществлять вычисления такие, как поиск решений уравнений,
дифференцирование, интегрирование и преобразования Лапласа. См.
`Sage Constructions <http://doc.sagemath.org/html/en/constructions/>`_ ,
где содержатся примеры.
Решение уравнений
-----------------
Точное решение уравнений
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Функция ``solve`` решает уравнения. Для ее использования сначала нужно
определить некоторые переменные; аргументами для ``solve`` будут уравнение
(или система уравнений) и переменные, для которых нужно найти решение:
::
sage: x = var('x')
sage: solve(x^2 + 3*x + 2, x)
[x == -2, x == -1]
Можно решать уравнения для одной переменной через другие:
::
sage: x, b, c = var('x b c')
sage: solve([x^2 + b*x + c == 0],x)
[x == -1/2*b - 1/2*sqrt(b^2 - 4*c), x == -1/2*b + 1/2*sqrt(b^2 - 4*c)]
Также можно решать уравнения с несколькими переменными:
::
sage: x, y = var('x, y')
sage: solve([x+y==6, x-y==4], x, y)
[[x == 5, y == 1]]
Следующий пример показывает, как Sage решает систему нелинейных уравнений.
Для начала система решается символьно:
::
sage: var('x y p q')
(x, y, p, q)
sage: eq1 = p+q==9
sage: eq2 = q*y+p*x==-6
sage: eq3 = q*y^2+p*x^2==24
sage: solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y)
[[p == 1, q == 8, x == -4/3*sqrt(10) - 2/3, y == 1/6*sqrt(10) - 2/3], [p == 1, q == 8, x == 4/3*sqrt(10) - 2/3, y == -1/6*sqrt(10) - 2/3]]
Для приближенных значений решения можно использовать:
.. link
::
sage: solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y, solution_dict=True)
sage: [[s[p].n(30), s[q].n(30), s[x].n(30), s[y].n(30)] for s in solns]
[[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039],
[1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]]
(Функция ``n`` выведет приближенное значение. Аргументом для данной функции
является количество битов точности)
Численное решение уравнений
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Во многих случаях функция ``solve`` не способна найти точное решение уравнения.
Вместо нее можно использовать функцию ``find_root`` для нахождения численного
решения. Например, ``solve`` не возвращает ничего существенного для следующего
уравнения::
sage: theta = var('theta')
sage: solve(cos(theta)==sin(theta), theta)
[sin(theta) == cos(theta)]
С другой стороны функция ``find_root`` может использоваться для решения
вышеуказанного примера в интервале :math:`0 < \phi < \pi/2`::
sage: phi = var('phi')
sage: find_root(cos(phi)==sin(phi),0,pi/2)
0.785398163397448...
Дифференцирование, интегрирование и т.д.
----------------------------------------
Sage умеет дифференцировать и интегрировать многие функции. Например,
для того, чтобы продифференцировать :math:`\sin(u)` по переменной :math:`u`,
требуется:
::
sage: u = var('u')
sage: diff(sin(u), u)
cos(u)
Для подсчета четвертой производной функции :math:`\sin(x^2)` надо:
::
sage: diff(sin(x^2), x, 4)
16*x^4*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2) - 12*sin(x^2)
Для нахождения частных производных, как, например, для функции :math:`x^2+17y^2`
по `x` и `y` соответственно:
::
sage: x, y = var('x,y')
sage: f = x^2 + 17*y^2
sage: f.diff(x)
2*x
sage: f.diff(y)
34*y
Теперь найдём интегралы: и определенные, и неопределенные. Например,
:math:`\int x\sin(x^2)\, dx` и
:math:`\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}\, dx`
::
sage: integral(x*sin(x^2), x)
-1/2*cos(x^2)
sage: integral(x/(x^2+1), x, 0, 1)
1/2*log(2)
Для нахождения разложения на простые дроби для :math:`\frac{1}{x^2-1}`
нужно сделать следующее:
::
sage: f = 1/((1+x)*(x-1))
sage: f.partial_fraction(x)
-1/2/(x + 1) + 1/2/(x - 1)
.. _section-systems:
Решение дифференциальных уравнений
----------------------------------
Sage может использоваться для решения дифференциальных уравнений. Для
решения уравнения :math:`x'+x-1=0` сделаем следующее:
::
sage: t = var('t') # определение переменной t для символьных вычислений
sage: x = function('x')(t) # определение функции x зависящей от t
sage: DE = diff(x, t) + x - 1
sage: desolve(DE, [x,t])
(_C + e^t)*e^(-t)
Для этого используется интерфейс Maxima [Max]_, поэтому результат может
быть выведен в виде, отличном от обычного вывода Sage. В данном случае
общее решение для данного дифференциального уравнения -
:math:`x(t) = e^{-t}(e^{t}+C)`.
Преобразования Лапласа также могут быть вычислены. Преобразование Лапласа для
:math:`t^2e^t -\sin(t)` вычисляется следующим образом:
::
sage: s = var("s")
sage: t = var("t")
sage: f = t^2*exp(t) - sin(t)
sage: f.laplace(t,s)
-1/(s^2 + 1) + 2/(s - 1)^3
Приведем более сложный пример. Отклонение от положения равновесия для пары
пружин, прикрепленных к стене слева,
::
|------\/\/\/\/\---|масса1|----\/\/\/\/\/----|масса2|
пружина1 пружина2
может быть представлено в виде дифференциальных уравнений второго порядка
.. math::
m_1 x_1'' + (k_1+k_2) x_1 - k_2 x_2 = 0
m_2 x_2''+ k_2 (x_2-x_1) = 0,
где :math:`m_{i}` - это масса объекта *i*, :math:`x_{i}` - это
отклонение от положения равновесия массы *i*, а :math:`k_{i}` - это
константа для пружины *i*.
**Пример:** Используйте Sage для вышеуказанного примера с
:math:`m_{1}=2`, :math:`m_{2}=1`, :math:`k_{1}=4`,
:math:`k_{2}=2`, :math:`x_{1}(0)=3`, :math:`x_{1}'(0)=0`,
:math:`x_{2}(0)=3`, :math:`x_{2}'(0)=0`.
Решение: Надо найти преобразование Лапласа первого уравнения (с условием
:math:`x=x_{1}`, :math:`y=x_{2}`):
::
sage: de1 = maxima("2*diff(x(t),t, 2) + 6*x(t) - 2*y(t)")
sage: lde1 = de1.laplace("t","s"); lde1.sage()
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)
Данный результат тяжело читаем, однако должен быть понят как
.. math:: -2x'(0) + 2s^2\cdot X(s) - 2sx(0) - 2Y(s) + 6X(s) = 0
Найдем преобразование Лапласа для второго уравнения:
::
sage: t,s = SR.var('t,s')
sage: x = function('x')
sage: y = function('y')
sage: f = 2*x(t).diff(t,2) + 6*x(t) - 2*y(t)
sage: f.laplace(t,s)
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)
Результат:
.. math:: -Y'(0) + s^2Y(s) + 2Y(s) - 2X(s) - sy(0) = 0.
Вставим начальные условия для :math:`x(0)`, :math:`x'(0)`,
:math:`y(0)` и :math:`y'(0)`, и решим уравения:
::
sage: var('s X Y')
(s, X, Y)
sage: eqns = [(2*s^2+6)*X-2*Y == 6*s, -2*X +(s^2+2)*Y == 3*s]
sage: solve(eqns, X,Y)
[[X == 3*(s^3 + 3*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),
Y == 3*(s^3 + 5*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]]
Теперь произведём обратное преобразование Лапласа для нахождения ответа:
::
sage: var('s t')
(s, t)
sage: inverse_laplace((3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
cos(2*t) + 2*cos(t)
sage: inverse_laplace((3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
-cos(2*t) + 4*cos(t)
Итак, ответ:
.. math:: x_1(t) = \cos(2t) + 2\cos(t), \quad x_2(t) = 4\cos(t) - \cos(2t).
График для ответа может быть построен параметрически, используя
::
sage: t = var('t')
sage: P = parametric_plot((cos(2*t) + 2*cos(t), 4*cos(t) - cos(2*t) ),
....: (t, 0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.9))
sage: show(P)
Графики могут быть построены и для отдельных компонентов:
::
sage: t = var('t')
sage: p1 = plot(cos(2*t) + 2*cos(t), (t,0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.3))
sage: p2 = plot(4*cos(t) - cos(2*t), (t,0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.6))
sage: show(p1 + p2)
Для более исчерпывающей информации по графикам см. :ref:`section-plot`.
Также см. секцию 5.5 из [NagleEtAl2004]_ для углубленной информации по
дифференциальным уравнениям.
Метод Эйлера для решения систем дифференциальных уравнений
----------------------------------------------------------
В следующем примере показан метод Эйлера для дифференциальных уравнений
первого и второго порядков. Сначала вспомним, что делается для уравнений
первого порядка. Дана задача с начальными условиями в виде
.. math::
y'=f(x,y), \quad y(a)=c,
требуется найти приблизительное значение решения при :math:`x=b` и :math:`b>a`.
Из определения производной следует, что
.. math:: y'(x) \approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h},
где :math:`h>0` дано и является небольшим. Это и дифференциальное уравнение дают
:math:`f(x,y(x))\approx
\frac{y(x+h)-y(x)}{h}`. Теперь надо решить для :math:`y(x+h)`:
.. math:: y(x+h) \approx y(x) + h\cdot f(x,y(x)).
Если назвать :math:`h\cdot f(x,y(x))` "поправочным элементом", :math:`y(x)`
"прежним значением `y`" а :math:`y(x+h)` "новым значением `y`", тогда
данное приближение может быть выражено в виде
.. math:: y_{new} \approx y_{old} + h\cdot f(x,y_{old}).
Если разбить интервал между `a` и `b` на `n` частей, чтобы
:math:`h=\frac{b-a}{n}`, тогда можно записать информацию для данного
метода в таблицу.
============== ======================= =====================
:math:`x` :math:`y` :math:`h\cdot f(x,y)`
============== ======================= =====================
:math:`a` :math:`c` :math:`h\cdot f(a,c)`
:math:`a+h` :math:`c+h\cdot f(a,c)` ...
:math:`a+2h` ...
...
:math:`b=a+nh` ??? ...
============== ======================= =====================
Целью является заполнить все пустоты в таблице по одному ряду за раз
до момента достижения записи ???, которая и является приближенным
значением метода Эйлера для :math:`y(b)`.
Решение систем дифференциальных уравнений похоже на решение обычных
дифференциальных уравнений.
**Пример:** Найдите численное приблизительное значение для :math:`z(t)`
при :math:`t=1`, используя 4 шага метода Эйлера, где :math:`z''+tz'+z=0`,
:math:`z(0)=1`, :math:`z'(0)=0`.
Требуется привести дифференциальное уравнение 2го порядка к системе
двух дифференцальных уравнений первого порядка (используя :math:`x=z`,
:math:`y=z'`) и применить метод Эйлера:
::
sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()
sage: f = y; g = -x - y * t
sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)
t x h*f(t,x,y) y h*g(t,x,y)
0 1 0.00 0 -0.25
1/4 1.0 -0.062 -0.25 -0.23
1/2 0.94 -0.12 -0.48 -0.17
3/4 0.82 -0.16 -0.66 -0.081
1 0.65 -0.18 -0.74 0.022
Итак, :math:`z(1)\approx 0.75`.
Можно построить график для точек :math:`(x,y)`, чтобы получить приблизительный
вид кривой. Функция ``eulers_method_2x2_plot`` выполнит данную задачу;
для этого надо определить функции *f* и *g*, аргумент которых имеет три
координаты: (`t`, `x`, `y`).
::
sage: f = lambda z: z[2] # f(t,x,y) = y
sage: g = lambda z: -sin(z[1]) # g(t,x,y) = -sin(x)
sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)
В этот момент ``P`` содержит в себе два графика: ``P[0]`` - график `x`
по `t` и ``P[1]`` - график `y` по `t`. Оба эти графика могут быть выведены
следующим образом:
.. link
::
sage: show(P[0] + P[1])
Специальные функции
-------------------
Несколько ортогональных полиномов и специальных функций осуществлены
с помощью PARI [GAP]_ и Maxima [Max]_.
::
sage: x = polygen(QQ, 'x')
sage: chebyshev_U(2,x)
4*x^2 - 1
sage: bessel_I(1,1).n(250)
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
sage: bessel_I(1,1).n()
0.565159103992485
sage: bessel_I(2,1.1).n()
0.167089499251049
На данный момент Sage рассматривает данные функции только для численного
применения. Для символьного использования нужно напрямую использовать
интерфейс Maxima, как описано ниже:
::
sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
sage: maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'
