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代数几何
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.. index::
pair: elliptic curve; point counting
曲线上点的计数
==============
如何在 Sage 中计算有限域上椭圆曲线上点的数量？
对于素有限域，有小步大步法 (baby step giant step method) 和 SEA (Schoof-Elkies-Atkin) 算法
（由 Christophe Doche 和 Sylvain Duquesne 在 PARI 中实现）。
以下是从参考手册中摘取的示例：
::
sage: E = EllipticCurve(GF(10007),[1,2,3,4,5])
sage: E.cardinality()
10076
``E.points()`` 命令将返回有理点的实际列表。
如何在有限域上计算平面曲线上有理点的数量？
``rational_points`` 命令使用简单枚举算法生成有理点。以下是语法示例：
::
sage: x,y,z = PolynomialRing(GF(5), 3, 'xyz').gens()
sage: C = Curve(y^2*z^7 - x^9 - x*z^8); C
Projective Plane Curve over Finite Field of size 5 defined by -x^9 + y^2*z^7 - x*z^8
sage: C.rational_points()
[(0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0), (2 : 2 : 1), (2 : 3 : 1), (3 : 1 : 1), (3 : 4 : 1)]
sage: C.rational_points(algorithm="bn")
[(0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0), (2 : 2 : 1), (2 : 3 : 1), (3 : 1 : 1), (3 : 4 : 1)]
选项 ``algorithm="bn"`` 使用 Sage 的 Singular 接口并调用 ``brnoeth`` 包。
下面是将 Sage 的 ``rational_points`` 应用于 `GF(8)` 上的 Klein 四次方程的另一个例子。
::
sage: x, y, z = PolynomialRing(GF(8,'a'), 3, 'xyz').gens()
sage: f = x^3*y+y^3*z+x*z^3
sage: C = Curve(f); C
Projective Plane Curve over Finite Field in a of size 2^3 defined by x^3*y + y^3*z + x*z^3
sage: C.rational_points()
[(0 : 0 : 1),
(0 : 1 : 0),
(1 : 0 : 0),
(1 : a : 1),
(1 : a^2 : 1),
(1 : a^2 + a : 1),
(a : 1 : 1),
(a : a^2 : 1),
(a : a^2 + 1 : 1),
(a + 1 : a + 1 : 1),
(a + 1 : a^2 : 1),
(a + 1 : a^2 + a + 1 : 1),
(a^2 : 1 : 1),
(a^2 : a^2 + a : 1),
(a^2 : a^2 + a + 1 : 1),
(a^2 + 1 : a + 1 : 1),
(a^2 + 1 : a^2 + 1 : 1),
(a^2 + 1 : a^2 + a : 1),
(a^2 + a : 1 : 1),
(a^2 + a : a : 1),
(a^2 + a : a + 1 : 1),
(a^2 + a + 1 : a : 1),
(a^2 + a + 1 : a^2 + 1 : 1),
(a^2 + a + 1 : a^2 + a + 1 : 1)]
其他方法
--------
- 对于平面曲线，你可以使用 Singular 的 ``closed_points`` 命令。
输入是 `2` 变量环 `F[x,y]` 中曲线 `X` 的消失理想 `I`。
``closed_points`` 命令返回一个素理想列表（每个都是 Gröbner 基），
对应于 `V(I)` 的（不同仿射闭合）点。以下是示例：
.. skip
::
sage: singular_console()
SINGULAR / Development
A Computer Algebra System for Polynomial Computations / version 3-0-1
0<
by: G.-M. Greuel, G. Pfister, H. Schoenemann \ October 2005
FB Mathematik der Universitaet, D-67653 Kaiserslautern \
// ** executing /home/wdj/sagefiles/sage-0.9.4/local/LIB/.singularrc
> LIB "brnoeth.lib";
> ring s = 2,(x,y),lp;
> ideal I = x4+x,y4+y;
> list L = closed_points(I);
> L;
[1]:
_[1] = y
_[2] = x
[2]:
_[1] = y
_[2] = x+1
[3]:
_[1] = y
_[2] = x2+x+1
[4]:
_[1] = y+1
_[2] = x
[5]:
_[1] = y+1
_[2] = x+1
[6]:
_[1] = y+1
_[2] = x2+x+1
[7]:
_[1] = y2+y+1
_[2] = x+1
[8]:
_[1] = y2+y+1
_[2] = x
[9]:
_[1] = y2+y+1
_[2] = x+y
[10]:
_[1] = y2+y+1
_[2] = x+y+1
> Auf Wiedersehen.
::
sage: singular.lib("brnoeth.lib")
sage: s = singular.ring(2,'(x,y)','lp')
sage: I = singular.ideal('x^4+x', 'y^4+y')
sage: L = singular.closed_points(I)
sage: # Here you have all the points :
sage: L # random
[1]:
_[1]=y+1
_[2]=x+1
...
sage: l=[L[k].sage() for k in [1..10]]; len(l) # there are 10 points
10
sage: r=sorted(l[0].ring().gens()); r
[y, x]
sage: r in [t.gens() for t in l] # one of them is given by [y,x]
True
- 另一种计算有理点的方法是使用 Singular 的 ``NSplaces`` 命令。
以下是用该方法在 `GF(8)` 上计算 Klein 四次方程的示例：
::
sage: singular.LIB("brnoeth.lib")
sage: s = singular.ring(2,'(x,y)','lp')
sage: f = singular.poly('x3y+y3+x')
sage: klein1 = f.Adj_div(); print(klein1)
[1]:
[1]:
// coefficients: ZZ/2...
// number of vars : 2
// block 1 : ordering lp
// : names x y
// block 2 : ordering C
...
sage: # define a curve X = {f = 0} over GF(2)
sage: klein2 = singular.NSplaces(3,klein1)
sage: print(singular.eval('extcurve(3,%s)'%klein2.name()))
Total number of rational places : NrRatPl = 23
...
sage: klein3 = singular.extcurve(3, klein2)
上面我们在 Singular 中定义了一条 `GF(8)` 上的曲线 `X = \{f = 0\}`。
.. link
::
sage: print(klein1)
[1]:
[1]:
// coefficients: ZZ/2...
// number of vars : 2
// block 1 : ordering lp
// : names x y
// block 2 : ordering C
[2]:
// coefficients: ZZ/2...
// number of vars : 3
// block 1 : ordering lp
// : names x y z
// block 2 : ordering C
[2]:
4,3
[3]:
[1]:
1,1
[2]:
1,2
[4]:
0
[5]:
[1]:
[1]:
// coefficients: ZZ/2...
// number of vars : 3
// block 1 : ordering ls
// : names x y t
// block 2 : ordering C
[2]:
1,1
sage: print(klein1[3])
[1]:
1,1
[2]:
1,2
对于度为 `3` 的地方：
.. link
::
sage: print(klein2[3])
[1]:
1,1
[2]:
1,2
[3]:
3,1
[4]:
3,2
[5]:
3,3
[6]:
3,4
[7]:
3,5
[8]:
3,6
[9]:
3,7
下面的每个点都是成对的：（度，点索引号）。
.. link
::
sage: print(klein3[3])
[1]:
1,1
[2]:
1,2
[3]:
3,1
[4]:
3,2
[5]:
3,3
[6]:
3,4
[7]:
3,5
[8]:
3,6
[9]:
3,7
实际获取 `X(GF(8))` 的点：
.. link
::
sage: R = klein3[1][5]
sage: R.set_ring()
sage: singular("POINTS;")
[1]:
[1]:
0
[2]:
1
[3]:
0
[2]:
[1]:
1
[2]:
0
[3]:
0
...
加上另外 21 个点（已省略）。总共有 `23` 个有理点。
.. index:: Riemann-Roch space
使用 Singular 计算 Riemann-Roch 空间
====================================
为了计算域 `F` 上曲线上的因子 `D` 的 Riemann-Roch 空间基，
可以使用 Sage 封装的 ``riemann_roch_basis`` 方法，它是 Singular 实现的 Brill Noether 算法。
注意，这个封装当前仅在 `F` 是素数且因子 `D` 在有理点上受支持时才有效。
下面是如何使用 ``riemann_roch_basis`` 的示例，以及如何使用 Singular 本身来帮助理解封装的工作方式。
- 使用 ``riemann_roch_basis``:
::
sage: x, y, z = PolynomialRing(GF(5), 3, 'xyz').gens()
sage: f = x^7 + y^7 + z^7
sage: X = Curve(f); pts = X.rational_points()
sage: D = X.divisor([ (3, pts[0]), (-1,pts[1]), (10, pts[5]) ])
sage: X.riemann_roch_basis(D)
[(-2*x + y)/(x + y), (-x + z)/(x + y)]
- 使用 Singular 的 ``BrillNoether`` 命令
（具体内容请参见 Singular 在线文档的 Brill-Noether 章节
https://www.singular.uni-kl.de/Manual/4-3-0/sing_2254.htm 和论文{CF}）：
::
sage: singular.LIB('brnoeth.lib')
sage: _ = singular.ring(5,'(x,y)','lp')
sage: print(singular.eval("list X = Adj_div(-x5+y2+x);"))
Computing affine singular points ...
Computing all points at infinity ...
Computing affine singular places ...
Computing singular places at infinity ...
Computing non-singular places at infinity ...
Adjunction divisor computed successfully
<BLANKLINE>
The genus of the curve is 2
sage: print(singular.eval("X = NSplaces(1,X);"))
Computing non-singular affine places of degree 1 ...
sage: print(singular("X[3];"))
[1]:
1,1
[2]:
1,2
[3]:
1,3
[4]:
1,4
[5]:
1,5
[6]:
1,6
上述列表中，每个整数对中的第一个整数表示点的度数 `d`。
第二个整数是该点在环 X[5][`d`][1] 的 POINTS 列表中的索引。
注意，每次运行算法时，这个列表的顺序都不相同，
例如上面列表中的 `1`, `1` 每次可能指示不同的有理点。
通过定义一个与 X[3] 长度相同的整数列表 `G`，可以指定一个因子。
如果 X[3] 的第 `k` 项为 `d`, `i`，则 `G` 的第 `k` 项表示
该因子在环 X[5][`d`][1] 的 POINTS 列表中第 `i` 个点上的重数。
接下来，我们定义一个度为 12 的“随机”因子并计算其 Riemann-Roch 空间基：
.. link
::
sage: singular.eval("intvec G = 4,4,4,0,0,0;")
''
sage: singular.eval("def R = X[1][2];")
''
sage: singular.eval("setring R;")
''
sage: print(singular.eval("list LG = BrillNoether(G,X);"))
Forms of degree 6 :
28
<BLANKLINE>
Vector basis successfully computed
<BLANKLINE>
.. index::
pair: codes; algebraic-geometric
AG 码
-----
Sage 可以通过调用 Singular 的 BrillNoether 算法计算 Riemann-Roch 空间 `L(D)=L_X(D)` 的基，
从而计算 AG 码 `C=C_X(D,E)`。
除了曲线 `X` 和因子 `D`，还必须指定求值因子 `E`。
请注意，自从 ``riemann_roch_basis`` 封装被修复后，本节尚未更新。
请参阅上文中，了解如何正确定义 Singular 的 ``BrillNoether`` 命令的因子。
这里有一个示例，计算相关 AG 码的生成矩阵。这次我们使用 Singular 的 ``AGCode_L`` 命令：
::
sage: singular.LIB('brnoeth.lib')
sage: singular.eval("ring s = 2,(x,y),lp;")
''
sage: print(singular.eval("list HC = Adj_div(x3+y2+y);"))
Computing affine singular points ...
Computing all points at infinity ...
Computing affine singular places ...
Computing singular places at infinity ...
Computing non-singular places at infinity ...
Adjunction divisor computed successfully
<BLANKLINE>
The genus of the curve is 1
sage: print(singular.eval("list HC1 = NSplaces(1..2,HC);"))
Computing non-singular affine places of degree 1 ...
Computing non-singular affine places of degree 2 ...
sage: print(singular.eval("HC = extcurve(2,HC1);"))
Total number of rational places : NrRatPl = 9
我们将以下内容设置为 ``junk`` 以丢弃输出::
sage: junk = singular.eval("intvec G = 5;") # the rational divisor G = 5*HC[3][1]
sage: junk = singular.eval("def R = HC[1][2];")
sage: singular.eval("setring R;")
''
向量 `G` 表示因子“无穷远点的 5 倍”。
.. index:: Riemann-Roch space
接下来，我们计算 Riemann-Roch 空间。
.. link
::
sage: print(singular.eval("BrillNoether(G,HC);"))
Forms of degree 3 :
10
<BLANKLINE>
Vector basis successfully computed
<BLANKLINE>
[1]:
_[1]=x
_[2]=z
[2]:
_[1]=y
_[2]=z
[3]:
_[1]=1
_[2]=1
[4]:
_[1]=y2+yz
_[2]=xz
[5]:
_[1]=y3+y2z
_[2]=x2z
这是 Riemann-Roch 空间的基，其中每个函数对表示商（第一个函数除以第二个函数）。
每一个基元素都会在特定点进行求值以构建码的生成矩阵。接下来我们构建这些点。
.. skip
::
sage: singular.eval("def R = HC[1][5];")
'// ** redefining R **'
sage: singular.eval("setring R;")
''
sage: print(singular.eval("POINTS;"))
[1]:
[1]:
0
[2]:
1
[3]:
0
[2]:
[1]:
0
[2]:
1
[3]:
1
[3]:
[1]:
0
[2]:
0
[3]:
1
[4]:
[1]:
(a+1)
[2]:
(a)
[3]:
1
...
再加上 `5` 个，曲线上总共有 `9` 个有理点。
我们使用这些点的子集（除第一个点外）定义我们的“求值因子” `D`：
.. skip
::
sage: singular.eval("def ER = HC[1][4];")
''
sage: singular.eval("setring ER;")
''
sage: # D = sum of the rational places no. 2..9 over F_4
sage: singular.eval("intvec D = 2..9;")
''
sage: # let us construct the corresponding evaluation AG code :
sage: print(singular.eval("matrix C = AGcode_L(G,D,HC);"))
Forms of degree 3 :
10
<BLANKLINE>
Vector basis successfully computed
<BLANKLINE>
sage: # here is a linear code of type [8,5,> = 3] over F_4
sage: print(singular.eval("print(C);"))
0,0,(a+1),(a), 1, 1, (a), (a+1),
1,0,(a), (a+1),(a),(a+1),(a), (a+1),
1,1,1, 1, 1, 1, 1, 1,
0,0,(a), (a+1),1, 1, (a+1),(a),
0,0,1, 1, (a),(a+1),(a+1),(a)
这就是我们最终想要的生成矩阵，其中 ``a`` 表示基域 `GF(2)` 上度为 `2` 的域扩张的生成器。
是否可以对其进行“封装”？