.. _chapter-groups:
**
群
**
.. index::
pair: group; permutation
.. _section-permutation:
置换群
======
置换群是某一对称群 `S_n` 的子群。Sage 有一个 Python 类 ``PermutationGroup``，
因此你可以直接使用此类群::
sage: G = PermutationGroup(['(1,2,3)(4,5)'])
sage: G
Permutation Group with generators [(1,2,3)(4,5)]
sage: g = G.gens()[0]; g
(1,2,3)(4,5)
sage: g*g
(1,3,2)
sage: G = PermutationGroup(['(1,2,3)'])
sage: g = G.gens()[0]; g
(1,2,3)
sage: g.order()
3
对于魔方群（`S_{48}` 的置换子群，其中魔方的非中心面以某种固定方式标记为 `1,2,...,48`），
你可以按如下方式使用 GAP-Sage 接口。
.. index::
pair: group; Rubik's cube
.. skip
::
sage: cube = "cubegp := Group(
( 1, 3, 8, 6)( 2, 5, 7, 4)( 9,33,25,17)(10,34,26,18)(11,35,27,19),
( 9,11,16,14)(10,13,15,12)( 1,17,41,40)( 4,20,44,37)( 6,22,46,35),
(17,19,24,22)(18,21,23,20)( 6,25,43,16)( 7,28,42,13)( 8,30,41,11),
(25,27,32,30)(26,29,31,28)( 3,38,43,19)( 5,36,45,21)( 8,33,48,24),
(33,35,40,38)(34,37,39,36)( 3, 9,46,32)( 2,12,47,29)( 1,14,48,27),
(41,43,48,46)(42,45,47,44)(14,22,30,38)(15,23,31,39)(16,24,32,40) )"
sage: gap(cube)
'permutation group with 6 generators'
sage: gap("Size(cubegp)")
43252003274489856000'
你还可以选择另一种方式来实现：
- 创建一个包含以下内容的文件 ``cubegroup.py``::
cube = "cubegp := Group(
( 1, 3, 8, 6)( 2, 5, 7, 4)( 9,33,25,17)(10,34,26,18)(11,35,27,19),
( 9,11,16,14)(10,13,15,12)( 1,17,41,40)( 4,20,44,37)( 6,22,46,35),
(17,19,24,22)(18,21,23,20)( 6,25,43,16)( 7,28,42,13)( 8,30,41,11),
(25,27,32,30)(26,29,31,28)( 3,38,43,19)( 5,36,45,21)( 8,33,48,24),
(33,35,40,38)(34,37,39,36)( 3, 9,46,32)( 2,12,47,29)( 1,14,48,27),
(41,43,48,46)(42,45,47,44)(14,22,30,38)(15,23,31,39)(16,24,32,40) )"
然后将该文件放置在 Sage 目录的
``$SAGE_ROOT/local/lib/python2.4/site-packages/sage``
子目录中。最后，读取（即 ``import``）该文件到 Sage 中：
.. skip
::
sage: import sage.cubegroup
sage: sage.cubegroup.cube
'cubegp := Group(( 1, 3, 8, 6)( 2, 5, 7, 4)( 9,33,25,17)(10,34,26,18)
(11,35,27,19),( 9,11,16,14)(10,13,15,12)( 1,17,41,40)( 4,20,44,37)
( 6,22,46,35),(17,19,24,22)(18,21,23,20)( 6,25,43,16)( 7,28,42,13)
( 8,30,41,11),(25,27,32,30)(26,29,31,28)( 3,38,43,19)( 5,36,45,21)
( 8,33,48,24),(33,35,40,38)(34,37,39,36)( 3, 9,46,32)( 2,12,47,29)
( 1,14,48,27),(41,43,48,46)(42,45,47,44)(14,22,30,38)(15,23,31,39)
(16,24,32,40) )'
sage: gap(sage.cubegroup.cube)
'permutation group with 6 generators'
sage: gap("Size(cubegp)")
'43252003274489856000'
（在 Sage 输出中，会使用换行符来代替上面的回车符。）
- 使用 ``CubeGroup`` 类::
sage: rubik = CubeGroup()
sage: rubik
The Rubik's cube group with generators R,L,F,B,U,D in SymmetricGroup(48).
sage: rubik.order()
43252003274489856000
(1) Sage 实现了经典群（如 `GU(3,\GF{5})`）
和具有用户定义生成器的有限域上的矩阵群。
(2) Sage 还实现了有限和无限
（但有限生成）阿贝尔群。
.. index::
pair: group; conjugacy classes
.. _section-conjugacy:
共轭类
======
你可以“原生地”计算有限群的共轭类::
sage: G = PermutationGroup(['(1,2,3)', '(1,2)(3,4)', '(1,7)'])
sage: CG = G.conjugacy_classes_representatives()
sage: gamma = CG[2]
sage: CG; gamma
[(), (4,7), (3,4,7), (2,3)(4,7), (2,3,4,7), (1,2)(3,4,7), (1,2,3,4,7)]
(3,4,7)
你可以使用 Sage-GAP 接口完成这一任务::
sage: libgap.eval("G := Group((1,2)(3,4),(1,2,3))")
Group([ (1,2)(3,4), (1,2,3) ])
sage: libgap.eval("CG := ConjugacyClasses(G)")
[ ()^G, (2,3,4)^G, (2,4,3)^G, (1,2)(3,4)^G ]
sage: libgap.eval("gamma := CG[3]")
(2,4,3)^G
sage: libgap.eval("g := Representative(gamma)")
(2,4,3)
或者，这里有另一种（更符合 Python 风格的）方法来进行该计算::
sage: G = libgap.eval("Group([(1,2,3), (1,2)(3,4), (1,7)])")
sage: CG = G.ConjugacyClasses()
sage: gamma = CG[2]
sage: g = gamma.Representative()
sage: CG; gamma; g
[ ()^G, (4,7)^G, (3,4,7)^G, (2,3)(4,7)^G, (2,3,4,7)^G, (1,2)(3,4,7)^G, (1,2,3,4,7)^G ]
(3,4,7)^G
(3,4,7)
.. index::
pair: group; normal subgroups
.. _section-normal:
正规子群
========
如果想要找到置换群 `G` （从共轭角度）的所有正规子群，可以使用 Sage 的 GAP 接口::
sage: G = AlternatingGroup( 5 )
sage: libgap(G).NormalSubgroups()
[ Alt( [ 1 .. 5 ] ), Group(()) ]
或者
::
sage: G = libgap.AlternatingGroup( 5 )
sage: G.NormalSubgroups()
[ Alt( [ 1 .. 5 ] ), Group(()) ]
这里有另一种更直接使用 GAP 的方法::
sage: libgap.eval("G := AlternatingGroup( 5 )")
Alt( [ 1 .. 5 ] )
sage: libgap.eval("normal := NormalSubgroups( G )")
[ Alt( [ 1 .. 5 ] ), Group(()) ]
sage: G = libgap.eval("DihedralGroup( 10 )")
sage: G.NormalSubgroups().SortedList()
[ Group([ ]), Group([ f2 ]), <pc group of size 10 with 2 generators> ]
sage: libgap.eval("G := SymmetricGroup( 4 )")
Sym( [ 1 .. 4 ] )
sage: libgap.eval("normal := NormalSubgroups( G );")
[ Sym( [ 1 .. 4 ] ), Alt( [ 1 .. 4 ] ), Group([ (1,4)(2,3), ... ]),
Group(()) ]
.. index::
pair: groups; center
.. _section-center:
中心
====
如何在 Sage 中计算群的中心？
虽然 Sage 调用 GAP 来计算群的中心，
但 ``center`` 是“封装”过的方法（即 Sage 有一个类 PermutationGroup 关联 "center" 方法），
因此用户不需要使用 ``libgap`` 命令。这里有一个例子::
sage: G = PermutationGroup(['(1,2,3)(4,5)', '(3,4)'])
sage: G.center()
Subgroup generated by [()] of (Permutation Group with generators [(3,4), (1,2,3)(4,5)])
类似的语法也适用于矩阵群::
sage: G = SL(2, GF(5) )
sage: G.center()
Subgroup with 1 generators (
[4 0]
[0 4]
) of Special Linear Group of degree 2 over Finite Field of size 5
sage: G = PSL(2, 5 )
sage: G.center()
Subgroup generated by [()] of (The projective special linear group of degree 2 over Finite Field of size 5)
.. NOTE:: 在 GAP 中 ``center`` 有两种拼写方式，但在 Sage 中不行。
群 id 数据库
============
函数 ``group_id`` 使用了 E. A. O'Brien、B. Eick 和 H. U. Besche 的小群库，它是 GAP 的一部分。
::
sage: G = PermutationGroup(['(1,2,3)(4,5)', '(3,4)'])
sage: G.order()
120
sage: G.group_id()
[120, 34]
另一个使用小型群数据库的例子：``group_id``
.. skip
::
sage: gap_console()
┌───────┐ GAP 4.10.0 of 01-Nov-2018
│ GAP │ https://www.gap-system.org
└───────┘ Architecture: x86_64-pc-linux-gnu-default64
Configuration: gmp 6.0.0, readline
Loading the library and packages ...
Packages: GAPDoc 1.6.2, PrimGrp 3.3.2, SmallGrp 1.3, TransGrp 2.0.4
Try '??help' for help. See also '?copyright', '?cite' and '?authors'
gap> G:=Group((4,6,5)(7,8,9),(1,7,2,4,6,9,5,3));
Group([ (4,6,5)(7,8,9), (1,7,2,4,6,9,5,3) ])
gap> StructureDescription(G);
"(C3 x C3) : GL(2,3)"
小于 32 阶的群的构建指令
========================
作者：
* Davis Shurbert
每个小于 32 阶的群都在 Sage 中实现为置换群。这些群的构建都非常简单。
我们首先展示如何构建直积和半直积，然后给出构建这些小群所需的命令。
设 ``G1``, ``G2``, ..., ``Gn`` 是已经在 Sage 中初始化的置换群。
可以使用以下命令取它们的直积
（当然，这里省略号只是作为符号使用，实际上必须显式输入所求乘积中的每个因子）。
.. skip
::
sage: G = direct_product_permgroups([G1, G2, ..., Gn])
半直积运算可以被视为直积运算的推广。给定两个群 `H` 和 `K`，它们的半直积 `H \ltimes_{\phi} K`
（其中 `\phi : H \rightarrow Aut(K)` 是一个同态）是一个群，其基础集合是 `H` 和 `K` 的笛卡尔积，
但具有以下运算：
.. MATH::
(h_1, k_1) (h_2, k_2) = (h_1 h_2, k_1^{\phi(h_2)} k_2).
输出不是运算定义中明确描述的群，而是一个同构的置换群。
在下面的例程中，假设 ``H`` 和 ``K`` 已经在 Sage 中定义且初始化。
此外，``phi`` 是一个包含两个子列表的列表，通过给出 ``H`` 的生成器集合的像来定义底层同态。
对于下表中的每个半直积群，我们将展示如何构建 ``phi``，然后假设你已经阅读此段落并理解如何从那里开始。
.. skip
::
sage: G = H.semidirect_product(K, phi)
为了避免不必要的重复，我们现在将给出创建 `n` 阶循环群 `C_n` 的命令和 `n` 个字母的二面体群 `D_n` 的命令。
我们还会为每个命令展示一个例子以确保读者理解这些命令，然后不再重复。
.. skip
::
sage: G = CyclicPermutationGroup(n)
sage: G = DihedralGroup(n)
请注意，直积运算中将使用指数表示法。例如 `{C_2}^2 = C_2 \times C_2`。
该表格是在 AD Thomas 和 GV Wood 的 *Group Tables* (1980, Shiva Publishing) 的帮助下制作的。
===== =============================================== =============================================================================================== ===========================
阶 群描述 命令 GAP ID
===== =============================================== =============================================================================================== ===========================
1 平凡群 :: [1,1]
sage: G = SymmetricGroup(1)
2 `C_2` :: [2,1]
sage: G = SymmetricGroup(2)
3 `C_3` :: [3,1]
sage: G = CyclicPermutationGroup(3)
4 `C_4` [4,1]
4 `C_2 \times C_2` :: [4,2]
sage: G = KleinFourGroup()
5 `C_5` [5,1]
6 `C_6` [6,2]
6 `S_3` （三字母对称群） :: [6,1]
sage: G = SymmetricGroup(3)
7 `C_7` [7,1]
8 `C_8` [8,1]
8 `C_4 \times C_2` [8,2]
8 `C_2\times C_2\times C_2` [8,5]
8 `D_4` :: [8,3]
sage: G = DihedralGroup(4)
8 四元群 (Q) :: [8,4]
sage: G = QuaternionGroup()
9 `C_9` [9,1]
9 `C_3 \times C_3` [9,2]
10 `C_{10}` [10,2]
10 `D_5` [10,1]
11 `C_{11}` [11,1]
12 `C_{12}` [12,2]
12 `C_6 \times C_2` [12,5]
12 `D_6` [12,4]
12 `A_4` （四字母交错群） :: [12,3]
sage: G = AlternatingGroup(4)
12 `Q_6` （12 阶双环群） :: [12,1]
sage: G = DiCyclicGroup(3)
13 `C_{13}` [13,1]
14 `C_{14}` [14,2]
14 `D_{7}` [14,1]
15 `C_{15}` [15,1]
16 `C_{16}` [16,1]
16 `C_8 \times C_2` [16,5]
16 `C_4 \times C_4` [16,2]
16 `C_4\times C_2\times C_2` [16,10]
16 `{C_2}^4` [16,14]
16 `D_4 \times C_2` [16,11]
16 `Q \times C_2` [16,12]
16 `D_8` [16,7]
16 `Q_{8}` （16 阶双环群） :: [16,9]
sage: G = DiCyclicGroup(4)
16 `2^4` 阶半二面体群 :: [16,8]
sage: G = SemidihedralGroup(4)
16 `2^4` 阶分裂亚循环群 :: [16,6]
sage: G = SplitMetacyclicGroup(2,4)
16 `(C_4 \times C_2) \rtimes_{\phi} C_2` :: [16,13]
sage: C2 = SymmetricGroup(2); C4 = CyclicPermutationGroup(4)
sage: A = direct_product_permgroups([C2,C4])
sage: alpha = PermutationGroupMorphism(A,A,[A.gens()[0],A.gens()[0]^2*A.gens()[1]])
sage: phi = [[(1,2)],[alpha]]
16 `(C_4 \times C_2) \rtimes_{\phi} C_2` :: [16,3]
sage: C2 = SymmetricGroup(2); C4 = CyclicPermutationGroup(4)
sage: A = direct_product_permgroups([C2,C4])
sage: alpha = PermutationGroupMorphism(A,A,[A.gens()[0]^3*A.gens()[1],A.gens()[1]])
sage: phi = [[(1,2)],[alpha]]
16 `C_4 \rtimes_{\phi} C_4` :: [16,4]
sage: C4 = CyclicPermutationGroup(4)
sage: alpha = PermutationGroupMorphism(C4,C4,[C4.gen().inverse()])
sage: phi = [[(1,2,3,4)],[alpha]]
17 `C_{17}` [17,1]
18 `C_{18}` [18,2]
18 `C_6 \times C_3` [18,5]
18 `D_9` [18,1]
18 `S_3 \times C_3` [18,3]
18 `Dih(C_3 \times C_3)` :: [18,4]
sage: G = GeneralDihedralGroup([3,3])
19 `C_{19}` [19,1]
20 `C_{20}` [20,2]
20 `C_{10} \times C_2` [20,5]
20 `D_{10}` [20,4]
20 `Q_{10}` （20 阶双环群） [20,1]
20 `Hol(C_5)` :: [20,3]
sage: C5 = CyclicPermutationGroup(5)
sage: G = C5.holomorph()
21 `C_{21}` [21,2]
21 `C_7 \rtimes_{\phi} C_3` :: [21,1]
sage: C7 = CyclicPermutationGroup(7)
sage: alpha = PermutationGroupMorphism(C7,C7,[C7.gen()**4])
sage: phi = [[(1,2,3)],[alpha]]
22 `C_{22}` [22,2]
22 `D_{11}` [22,1]
23 `C_{23}` [23,1]
24 `C_{24}` [24,2]
24 `D_{12}` [24,6]
24 `Q_{12}` （24 阶双环群） [24,4]
24 `C_{12} \times C_2` [24,9]
24 `C_6 \times C_2 \times C_2` [24,15]
24 `S_4` （四字母对称群） :: [24,12]
sage: G = SymmetricGroup(4)
24 `S_3 \times C_4` [24,5]
24 `S_3 \times C_2 \times C_2` [24,14]
24 `D_4 \times C_3` [24,10]
24 `Q \times C_3` [24,11]
24 `A_4 \times C_2` [24,13]
24 `Q_6 \times C_2` [24,7]
24 `Q \rtimes_{\phi} C_3` :: [24,3]
sage: Q = QuaternionGroup()
sage: alpha = PermutationGroupMorphism(Q,Q,[Q.gens()[0]*Q.gens()[1],Q.gens()[0].inverse()])
sage: phi = [[(1,2,3)],[alpha]]
24 `C_3 \rtimes_{\phi} C_8` :: [24,1]
sage: C3 = CyclicPermutationGroup(3)
sage: alpha = PermutationGroupMorphism(C3,C3,[C3.gen().inverse()])
sage: phi = [[(1,2,3,4,5,6,7,8)],[alpha]]
24 `C_3 \rtimes_{\phi} D_4` :: [24,8]
sage: C3 = CyclicPermutationGroup(3)
sage: alpha1 = PermutationGroupMorphism(C3,C3,[C3.gen().inverse()])
sage: alpha2 = PermutationGroupMorphism(C3,C3,[C3.gen()])
sage: phi = [[(1,2,3,4),(1,3)],[alpha1,alpha2]]
25 `C_{25}` [25,1]
25 `C_5 \times C_5` [25,2]
26 `C_{26}` [26,2]
26 `D_{13}` [26,1]
27 `C_{27}` [27,1]
27 `C_9 \times C_3` [27,2]
27 `C_3 \times C_3 \times C_3` [27,5]
27 `3^3` 阶分裂亚循环群 :: [27,4]
sage: G = SplitMetacyclicGroup(3,3)
27 `(C_3 \times C_3) \rtimes_{\phi} C_3` :: [27,3]
sage: C3 = CyclicPermutationGroup(3)
sage: A = direct_product_permgroups([C3,C3])
sage: alpha = PermutationGroupMorphism(A,A,[A.gens()[0]*A.gens()[1].inverse(),A.gens()[1]])
sage: phi = [[(1,2,3)],[alpha]]
28 `C_{28}` [28,2]
28 `C_{14} \times C_2` [28,4]
28 `D_{14}` [28,3]
28 `Q_{14}` （28 阶双环群） [28,1]
29 `C_{29}` [29,1]
30 `C_{30}` [30,4]
30 `D_{15}` [30,3]
30 `D_5 \times C_3` [30,2]
30 `D_3 \times C_5` [30,1]
31 `C_{31}` [31,1]
===== =============================================== =============================================================================================== ===========================
该表由 Kevin Halasz 提供。
小于等于 15 阶的有限呈示群的构建说明
====================================
Sage 能够轻松构建阶数小于等于 15 的有限呈示群。
我们将首先探讨创建有限生成阿贝尔群，以及有限呈示群的直积和半直积。
所有有限生成阿贝尔群都可以使用 ``groups.presentation.FGAbelian(ls)`` 命令创建，
其中 ``ls`` 是一个非负整数列表，该列表被简化为定义要返回群的不变量。
例如，要构建 `C_4 \times C_2 \times C_2 \times C_2`，我们可以简单地使用::
sage: A = groups.presentation.FGAbelian([4,2,2,2])
无论输入的整数列表如何，对于给定群的输出都是相同的。
以下示例为阶数为 30 的循环群产生相同的表示。
::
sage: A = groups.presentation.FGAbelian([2,3,5])
sage: B = groups.presentation.FGAbelian([30])
如果 ``G`` 和 ``H`` 是有限呈示群，我们可以使用以下代码来创建 ``G`` 和 ``H`` 的直积，`G \times H`。
.. skip
::
sage: D = G.direct_product(H)
假设存在从群 `G` 到群 `H` 的自同构群的同态 `\phi`。
通过 `\phi` 将 `G` 与 `H` 的半直积定义为 `G` 和 `H` 的笛卡尔积，
运算为 `(g_1, h_1)(g_2, h_2) = (g_1 g_2, \phi_{h_1}(g_2) h_2)` 其中 `\phi_h = \phi(h)`。
要在 Sage 中为两个有限呈示群构造此乘积，我们必须使用一对列表手动定义 `\phi`。
第一个列表由群 `G` 的生成器组成，而第二个列表由第一个列表中相应生成器的像组成。
这些自同构同样定义为一对列表，一个列表为生成器，另一个列表为像。
作为示例，我们将阶数为 16 的二面体群构造为循环群的半直积。
::
sage: C2 = groups.presentation.Cyclic(2)
sage: C8 = groups.presentation.Cyclic(8)
sage: hom = (C2.gens(), [ ([C8([1])], [C8([-1])]) ])
sage: D = C2.semidirect_product(C8, hom)
下表显示了阶数小于等于 15 的群，以及如何在 Sage 中构造它们。重复命令已被省略，但通过以下示例进行了描述。
阶数为 `n` 的循环群可以通过单个命令创建：
.. skip
::
sage: C = groups.presentation.Cyclic(n)
对于阶数为 `2n` 的二面体群也类似：
.. skip
::
sage: D = groups.presentation.Dihedral(n)
该表是根据前面 Kevin Halasz 创建的表格构造的。
===== =============================================== =============================================================================================== ===========================
阶 群描述 命令 GAP ID
===== =============================================== =============================================================================================== ===========================
1 平凡群 :: [1,1]
sage: G = groups.presentation.Symmetric(1)
2 `C_2` :: [2,1]
sage: G = groups.presentation.Symmetric(2)
3 `C_3` :: [3,1]
sage: G = groups.presentation.Cyclic(3)
4 `C_4` [4,1]
4 `C_2 \times C_2` :: [4,2]
sage: G = groups.presentation.Klein()
5 `C_5` [5,1]
6 `C_6` [6,2]
6 `S_3` （三字母对称群） :: [6,1]
sage: G = groups.presentation.Symmetric(3)
7 `C_7` [7,1]
8 `C_8` [8,1]
8 `C_4 \times C_2` :: [8,2]
sage: G = groups.presentation.FGAbelian([4,2])
8 `C_2\times C_2\times C_2` :: [8,5]
sage: G = groups.presentation.FGAbelian([2,2,2])
8 `D_4` :: [8,3]
sage: G = groups.presentation.Dihedral(4)
8 四元群 (Q) :: [8,4]
sage: G = groups.presentation.Quaternion()
9 `C_9` [9,1]
9 `C_3 \times C_3` [9,2]
10 `C_{10}` [10,2]
10 `D_5` [10,1]
11 `C_{11}` [11,1]
12 `C_{12}` [12,2]
12 `C_6 \times C_2` [12,5]
12 `D_6` [12,4]
12 `A_4` （四字母交错群） :: [12,3]
sage: G = groups.presentation.Alternating(4)
12 `Q_6` （12 阶双环群） :: [12,1]
sage: G = groups.presentation.DiCyclic(3)
13 `C_{13}` [13,1]
14 `C_{14}` [14,2]
14 `D_{7}` [14,1]
15 `C_{15}` [15,1]
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