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环
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.. index::
pair: matrix; ring
.. _section_matrix-ring:
矩阵环
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如何在 Sage 中构建有限环上的矩阵环？``MatrixSpace`` 构造函数接受任意环作为基环。下面是语法示例：
::
sage: R = IntegerModRing(51)
sage: M = MatrixSpace(R,3,3)
sage: M(0)
[0 0 0]
[0 0 0]
[0 0 0]
sage: M(1)
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
sage: 5*M(1)
[5 0 0]
[0 5 0]
[0 0 5]
.. index::
pair: polynomial; ring
.. _section-polynomial-ring:
多项式环
========
如何在 Sage 中构建有限域上的多项式环？
下面是一个示例：
::
sage: R = PolynomialRing(GF(97),'x')
sage: x = R.gen()
sage: f = x^2+7
sage: f in R
True
下面是使用 Singular 接口的示例：
::
sage: R = singular.ring(97, '(a,b,c,d)', 'lp')
sage: I = singular.ideal(['a+b+c+d', 'ab+ad+bc+cd', 'abc+abd+acd+bcd', 'abcd-1'])
sage: R
polynomial ring, over a field, global ordering
// coefficients: ZZ/97...
// number of vars : 4
// block 1 : ordering lp
// : names a b c d
// block 2 : ordering C
sage: I
a+b+c+d,
a*b+a*d+b*c+c*d,
a*b*c+a*b*d+a*c*d+b*c*d,
a*b*c*d-1
下面是另一个使用 GAP 的方法：
::
sage: R = libgap.PolynomialRing(GF(97), 4); R
GF(97)[x_1,x_2,x_3,x_4]
sage: I = R.IndeterminatesOfPolynomialRing(); I
[ x_1, x_2, x_3, x_4 ]
sage: x1, x2, x3, x4 = I
sage: f = x1*x2 + x3; f
x_1*x_2+x_3
sage: f.Value(I,[1,1,1,1])
Z(97)^34
.. index:: p-adics
.. _section-padics:
`p`-进数
========
如何在 Sage 中构建 `p`-进数?
Sage 在这方面取得了很大的进展（参见 David Harvey 和 David Roe 在 SageDays 上的演讲）。
这里只给出一些简单的示例。
要计算 ``Qp`` 中整数的 ``Zp`` 环的特征和剩余类域，请使用以下示例所示语法。
::
sage: K = Qp(3)
sage: K.residue_class_field()
Finite Field of size 3
sage: K.residue_characteristic()
3
sage: a = K(1); a
1 + O(3^20)
sage: 82*a
1 + 3^4 + O(3^20)
sage: 12*a
3 + 3^2 + O(3^21)
sage: a in K
True
sage: b = 82*a
sage: b^4
1 + 3^4 + 3^5 + 2*3^9 + 3^12 + 3^13 + 3^16 + O(3^20)
.. index::
pair: polynomial; quotient ring
多项式的商环
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如何在 Sage 中构建商环？
我们创建商环 `GF(97)[x]/(x^3+7)`，并展示许多基本函数。
::
sage: R = PolynomialRing(GF(97),'x')
sage: x = R.gen()
sage: S = R.quotient(x^3 + 7, 'a')
sage: a = S.gen()
sage: S
Univariate Quotient Polynomial Ring in a over Finite Field of size 97 with
modulus x^3 + 7
sage: S.is_field()
True
sage: a in S
True
sage: x in S
True
sage: S.polynomial_ring()
Univariate Polynomial Ring in x over Finite Field of size 97
sage: S.modulus()
x^3 + 7
sage: S.degree()
3
在 Sage 中，``in`` 表示存在对该环的“标准强制转换”。
因此整数 `x` 和 `a` 都在 `S` 中，
虽然 `x` 实际上需要被强制转换。
你还可以在商环中进行计算，而无需实际计算，然后使用 ``quo_rem`` 命令，如下所示：
::
sage: R = PolynomialRing(GF(97),'x')
sage: x = R.gen()
sage: f = x^7+1
sage: (f^3).quo_rem(x^7-1)
(x^14 + 4*x^7 + 7, 8)
