.. _section-linalg:
线性代数
========
Sage 提供了线性代数中的标准构造，例如矩阵的特征多项式、阶梯形、迹、分解等。
创建矩阵和进行矩阵乘法非常简单自然：
::
sage: A = Matrix([[1,2,3],[3,2,1],[1,1,1]])
sage: w = vector([1,1,-4])
sage: w*A
(0, 0, 0)
sage: A*w
(-9, 1, -2)
sage: kernel(A)
Free module of degree 3 and rank 1 over Integer Ring
Echelon basis matrix:
[ 1 1 -4]
请注意，在 Sage 中，矩阵 `A` 的核是“左核”，即满足 `wA=0` 的向量空间 `w`。
求解矩阵方程非常简单，使用 ``solve_right`` 方法即可。
运行 ``A.solve_right(Y)`` 将返回一个矩阵（或向量） `X`，使得 `AX=Y`：
.. link
::
sage: Y = vector([0, -4, -1])
sage: X = A.solve_right(Y)
sage: X
(-2, 1, 0)
sage: A * X # checking our answer...
(0, -4, -1)
倘若无解，Sage 会返回错误：
.. skip
::
sage: A.solve_right(w)
Traceback (most recent call last):
...
ValueError: matrix equation has no solutions
同理，可以使用 ``A.solve_left(Y)`` 来求解方程 :`XA=Y` 中的 `X`。
Sage 还可以计算特征值和特征向量::
sage: A = matrix([[0, 4], [-1, 0]])
sage: A.eigenvalues ()
[-2*I, 2*I]
sage: B = matrix([[1, 3], [3, 1]])
sage: B.eigenvectors_left()
[(4, [(1, 1)], 1), (-2, [(1, -1)], 1)]
（``eigenvectors_left`` 的输出格式是一个包含三元组（特征值、特征向量、重数）的列表。）
特征值和特征向量可以通过 Maxima 在有理数域 ``QQ`` 或实数域 ``RR`` 上计算（见下文的 :ref:`section-maxima`）。
如 :ref:`section-rings` 所述，矩阵定义的环会影响其某些性质。
在下面的示例中，``matrix`` 命令的第一个参数告诉 Sage 将矩阵视为整数矩阵（``ZZ``）、有理数矩阵（``QQ``）或实数矩阵（``RR``） ::
sage: AZ = matrix(ZZ, [[2,0], [0,1]])
sage: AQ = matrix(QQ, [[2,0], [0,1]])
sage: AR = matrix(RR, [[2,0], [0,1]])
sage: AZ.echelon_form()
[2 0]
[0 1]
sage: AQ.echelon_form()
[1 0]
[0 1]
sage: AR.echelon_form()
[ 1.00000000000000 0.000000000000000]
[0.000000000000000 1.00000000000000]
如果要计算浮点实数或复数矩阵的特征值和特征向量，矩阵应分别定义在 ``RDF`` （实双精度域）或 ``CDF`` （复双精度域）上。
如果没有指定环并且使用浮点实数或复数，则默认情况下矩阵定义在 ``RR`` 或 ``CC`` 域上，这些域不支持所有情况的这些计算::
sage: ARDF = matrix(RDF, [[1.2, 2], [2, 3]])
sage: ARDF.eigenvalues() # rel tol 8e-16
[-0.09317121994613098, 4.293171219946131]
sage: ACDF = matrix(CDF, [[1.2, I], [2, 3]])
sage: ACDF.eigenvectors_right() # rel tol 3e-15
[(0.8818456983293743 - 0.8209140653434135*I, [(0.7505608183809549, -0.616145932704589 + 0.2387941530333261*I)], 1),
(3.3181543016706256 + 0.8209140653434133*I, [(0.14559469829270957 + 0.3756690858502104*I, 0.9152458258662108)], 1)]
矩阵空间
--------
我们创建了一个定义在有理数域 `\QQ` 上的 `3 \times 3` 矩阵空间 `\text{Mat}_{3\times 3}(\QQ)`::
sage: M = MatrixSpace(QQ,3)
sage: M
Full MatrixSpace of 3 by 3 dense matrices over Rational Field
（要创建一个 `3 \times 4` 矩阵空间，可以使用 ``MatrixSpace(QQ,3,4)``。
如果省略列数，则默认为行数，因此 ``MatrixSpace(QQ,3)`` 与 ``MatrixSpace(QQ,3,3)`` 意义相同。）
矩阵空间有其规范基：
.. link
::
sage: B = M.basis()
sage: len(B)
9
sage: B[0,1]
[0 1 0]
[0 0 0]
[0 0 0]
我们创建一个矩阵作为 ``M`` 的元素。
.. link
::
sage: A = M(range(9)); A
[0 1 2]
[3 4 5]
[6 7 8]
接下来我们计算其简化行阶梯形和核。
.. link
::
sage: A.echelon_form()
[ 1 0 -1]
[ 0 1 2]
[ 0 0 0]
sage: A.kernel()
Vector space of degree 3 and dimension 1 over Rational Field
Basis matrix:
[ 1 -2 1]
接着我们来演示在有限域上定义的矩阵的计算：
::
sage: M = MatrixSpace(GF(2),4,8)
sage: A = M([1,1,0,0, 1,1,1,1, 0,1,0,0, 1,0,1,1,
....: 0,0,1,0, 1,1,0,1, 0,0,1,1, 1,1,1,0])
sage: A
[1 1 0 0 1 1 1 1]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 1 1 1 1 1 0]
sage: rows = A.rows()
sage: A.columns()
[(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1),
(1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0)]
sage: rows
[(1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1),
(0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0)]
我们创建一个在有限域 `\GF{2}` 上由上述行生成的子空间。
.. link
::
sage: V = VectorSpace(GF(2),8)
sage: S = V.subspace(rows)
sage: S
Vector space of degree 8 and dimension 4 over Finite Field of size 2
Basis matrix:
[1 0 0 0 0 1 0 0]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 0 1 0 0 1 1]
sage: A.echelon_form()
[1 0 0 0 0 1 0 0]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 0 1 0 0 1 1]
Sage 使用的 `S` 的基是通过生成矩阵的简化行阶梯形的非零行获得的。
稀疏线性代数
------------
Sage 支持在主理想域 (PIDs) 上的稀疏线性代数。
::
sage: M = MatrixSpace(QQ, 100, sparse=True)
sage: A = M.random_element(density = 0.05)
sage: E = A.echelon_form()
Sage 中的多模算法适用于方阵（但不适用于非方阵）：
::
sage: M = MatrixSpace(QQ, 50, 100, sparse=True)
sage: A = M.random_element(density = 0.05)
sage: E = A.echelon_form()
sage: M = MatrixSpace(GF(2), 20, 40, sparse=True)
sage: A = M.random_element()
sage: E = A.echelon_form()
请注意，Python 是区分大小写的：
::
sage: M = MatrixSpace(QQ, 10,10, Sparse=True)
Traceback (most recent call last):
...
TypeError: ...__init__() got an unexpected keyword argument 'Sparse'...
