Algèbre linéaire
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Sage fournit les constructions standards d'algèbre linéaire, par exemple
le polynôme caractéristique, la forme échelonnée, la trace, diverses
décompositions, etc. d'une matrice.
La création de matrices et la multiplication matricielle sont très
faciles et naturelles :
::
sage: A = Matrix([[1,2,3],[3,2,1],[1,1,1]])
sage: w = vector([1,1,-4])
sage: w*A
(0, 0, 0)
sage: A*w
(-9, 1, -2)
sage: kernel(A)
Free module of degree 3 and rank 1 over Integer Ring
Echelon basis matrix:
[ 1 1 -4]
Notez bien qu'avec Sage, le noyau d'une matrice :math:`A` est le « noyau
à gauche », c'est-à-dire l'espace des vecteurs :math:`w` tels que
:math:`wA=0`.
La résolution d'équations matricielles est facile et se fait avec la
méthode ``solve_right``. L'évaluation de ``A.solve_right(Y)`` renvoie
une matrice (ou un vecteur) :math:`X` tel que :math:`AX=Y`:
.. link
::
sage: Y = vector([0, -4, -1])
sage: X = A.solve_right(Y)
sage: X
(-2, 1, 0)
sage: A * X #vérifions la réponse...
(0, -4, -1)
Un antislash (contre-oblique) ``\`` peut être employé à la place de
``solve_right`` : il suffit d'écrire ``A \ Y`` au lieu de
``A.solve_right(Y)``.
.. link
::
sage: A \ Y
(-2, 1, 0)
S'il n'y a aucune solution, Sage renvoie une erreur :
.. skip
::
sage: A.solve_right(w)
Traceback (most recent call last):
...
ValueError: matrix equation has no solutions
De même, il faut utiliser ``A.solve_left(Y)`` pour résoudre en :math:`X`
l'équation :math:`XA=Y`.
Créons l'espace :math:`\text{Mat}_{3\times 3}(\QQ)`:
::
sage: M = MatrixSpace(QQ,3)
sage: M
Full MatrixSpace of 3 by 3 dense matrices over Rational Field
(Pour indiquer l'espace des matrices 3 par 4, il faudrait utiliser
``MatrixSpace(QQ,3,4)``. Si le nombre de colonnes est omis, il est égal
par défaut au nombre de lignes. Ainsi ``MatrixSpace(QQ,3)`` est un
synonyme de ``MatrixSpace(QQ,3,3)``.) L'espace des matrices possède une
base que Sage enregistre sous forme de liste :
.. link
::
sage: B = M.basis()
sage: len(B)
9
sage: B[1]
[0 1 0]
[0 0 0]
[0 0 0]
Nous créons une matrice comme un élément de ``M``.
.. link
::
sage: A = M(range(9)); A
[0 1 2]
[3 4 5]
[6 7 8]
Puis, nous calculons sa forme échelonnée en ligne et son noyau.
.. link
::
sage: A.echelon_form()
[ 1 0 -1]
[ 0 1 2]
[ 0 0 0]
sage: A.kernel()
Vector space of degree 3 and dimension 1 over Rational Field
Basis matrix:
[ 1 -2 1]
Puis nous illustrons les possibilités de calcul de matrices définies sur
des corps finis :
::
sage: M = MatrixSpace(GF(2),4,8)
sage: A = M([1,1,0,0, 1,1,1,1, 0,1,0,0, 1,0,1,1,
... 0,0,1,0, 1,1,0,1, 0,0,1,1, 1,1,1,0])
sage: A
[1 1 0 0 1 1 1 1]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 1 1 1 1 1 0]
sage: rows = A.rows()
sage: A.columns()
[(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1),
(1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0)]
sage: rows
[(1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1),
(0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0)]
Nous créons le sous-espace engendré sur :math:`\GF{2}` par les
vecteurs lignes ci-dessus.
.. link
::
sage: V = VectorSpace(GF(2),8)
sage: S = V.subspace(rows)
sage: S
Vector space of degree 8 and dimension 4 over Finite Field of size 2
Basis matrix:
[1 0 0 0 0 1 0 0]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 0 1 0 0 1 1]
sage: A.echelon_form()
[1 0 0 0 0 1 0 0]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 0 1 0 0 1 1]
La base de :math:`S` utilisée par Sage est obtenue à partir des lignes
non-nulles de la matrice des générateurs de :math:`S` réduite sous forme
échelonnée en lignes.
Algèbre linéaire creuse
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Sage permet de travailler avec des matrices creuses sur des anneaux
principaux.
::
sage: M = MatrixSpace(QQ, 100, sparse=True)
sage: A = M.random_element(density = 0.05)
sage: E = A.echelon_form()
L'algorithme multi-modulaire présent dans Sage fonctionne bien pour les
matrices carrées (mais moins pour les autres) :
::
sage: M = MatrixSpace(QQ, 50, 100, sparse=True)
sage: A = M.random_element(density = 0.05)
sage: E = A.echelon_form()
sage: M = MatrixSpace(GF(2), 20, 40, sparse=True)
sage: A = M.random_element()
sage: E = A.echelon_form()
Notez que Python distingue les majuscules des minuscules :
::
sage: M = MatrixSpace(QQ, 10,10, Sparse=True)
Traceback (most recent call last):
...
TypeError: __classcall__() got an unexpected keyword argument 'Sparse'
Sage peut calculer des valeurs propres et des vecteurs propres :
::
sage: g = matrix(GF(7), [[5, 1], [4, 1]])
sage: g.eigenvalues()
[4, 2]
sage: g.eigenvectors_right() # renvoie (valeurs propres, [vecteurs propres], multiplicités algébriques)
[(4, [
(1, 6)
], 1), (2, [
(1, 4)
], 1)]
Les valeurs propres et vecteurs propres peuvent aussi être calculés avec
Maxima (voir :ref:`section-maxima` ci-dessous).
