Factorial_Mixture.ipynb

Kernel: Python 3

Copyright 2018 The TensorFlow Probability Authors.

Licensed under the Apache License, Version 2.0 (the "License");

#@title Licensed under the Apache License, Version 2.0 (the "License"); { display-mode: "form" }
# you may not use this file except in compliance with the License.
# You may obtain a copy of the License at
#
# https://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0
#
# Unless required by applicable law or agreed to in writing, software
# distributed under the License is distributed on an "AS IS" BASIS,
# WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND, either express or implied.
# See the License for the specific language governing permissions and
# limitations under the License.

Mistura fatorial

Ver em TensorFlow.org

Executar no Google Colab

Ver fonte no GitHub

Baixar notebook

Neste notebook, mostraremos como usar o TensorFlow Probability (TFP) para fazer a amostragem de uma mistura de distribuições gaussianas definidas como: $$p(x_1, ..., x_n) = \prod_i p_i(x_i)$$ em que: $$p(x_1, ..., x_n) = \prod_i p_i(x_i)$$ where: $$\begin{align*} p_i &\equiv \frac{1}{K}\sum_{k=1}^K \pi_{ik}\,\text{Normal}\left(\text{loc}=\mu_{ik},\, \text{scale}=\sigma_{ik}\right)\\1&=\sum_{k=1}^K\pi_{ik}, \forall i.\hphantom{MMMMMMMMMMM}\end{align*}$$

Cada variável $x_i$ é modelada como uma mistura de gaussianas, e a distribuição conjunta para todas as variáveis $n$ é um produto dessas densidades.

Dado um dataset $x^{(1)}, ..., x^{(T)}$, modelamos cada ponto de dados $x^{(j)}$ como uma mistura fatorial de gaussianas: $$p(x^{(j)}) = \prod_i p_i (x_i^{(j)})$$

As misturas fatoriais são uma maneira simples de criar distribuições com um pequeno número de parâmetros e um grande número de modos.

import tensorflow as tf
import numpy as np
import tensorflow_probability as tfp
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
tfd = tfp.distributions

# Use try/except so we can easily re-execute the whole notebook.
try:
  tf.enable_eager_execution()
except:
  pass

Crie a mistura fatorial de gaussianas usando o TFP

num_vars = 2        # Number of variables (`n` in formula).
var_dim = 1         # Dimensionality of each variable `x[i]`.
num_components = 3  # Number of components for each mixture (`K` in formula).
sigma = 5e-2        # Fixed standard deviation of each component.

# Choose some random (component) modes.
component_mean = tfd.Uniform().sample([num_vars, num_components, var_dim])

factorial_mog = tfd.Independent(
   tfd.MixtureSameFamily(
       # Assume uniform weight on each component.
       mixture_distribution=tfd.Categorical(
           logits=tf.zeros([num_vars, num_components])),
       components_distribution=tfd.MultivariateNormalDiag(
           loc=component_mean, scale_diag=[sigma])),
   reinterpreted_batch_ndims=1)

Observe o uso que fazemos de tfd.Independent. Essa "metadistribuição" aplica uma reduce_sum no cálculo de log_prob para as dimensões de lote reinterpreted_batch_ndims na extremidade direita. No nosso caso, quando computamos log_prob, é feita a soma da dimensão de variáveis, deixando somente a dimensão de lotes. É importante salientar que isso não afeta a amostragem.

Plote a densidade

Compute a densidade em uma tabela de pontos e mostre os locais dos modos com estrelas vermelhas. Cada modo na mistura fatorial corresponde a um par de modos da mistura subjacente de variável individual de gaussianas. Podemos ver 9 modos no gráfico abaixo, mas só precisamos de 6 parâmetros (3 para especificar os locais dos modos em $x_1$ e 3 para especificar os locais dos modos em $x_2$). Por outro lado, uma mistura de distribuições gaussianas no 2º espaço $(x_1, x_2)$ exigiria 2 * 9 = 18 parâmetros para especificar o 9 modos.

plt.figure(figsize=(6,5))

# Compute density.
nx = 250 # Number of bins per dimension.
x = np.linspace(-3 * sigma, 1 + 3 * sigma, nx).astype('float32')
vals = tf.reshape(tf.stack(np.meshgrid(x, x), axis=2), (-1, num_vars, var_dim))
probs = factorial_mog.prob(vals).numpy().reshape(nx, nx)

# Display as image.
from matplotlib.colors import ListedColormap
cmap = ListedColormap(sns.color_palette("Blues", 256))
p = plt.pcolor(x, x, probs, cmap=cmap)
ax = plt.axis('tight');

# Plot locations of means.
means_np = component_mean.numpy().squeeze()
for mu_x in means_np[0]:
  for mu_y in means_np[1]:
    plt.scatter(mu_x, mu_y, s=150, marker='*', c='r', edgecolor='none');
plt.axis(ax);

plt.xlabel('$x_1$')
plt.ylabel('$x_2$')
plt.title('Density of factorial mixture of Gaussians');

Plote as amostras e as estimativas de densidades marginais

samples = factorial_mog.sample(1000).numpy()

g = sns.jointplot(
    x=samples[:, 0, 0],
    y=samples[:, 1, 0],
    kind="scatter",
    marginal_kws=dict(bins=50))
g.set_axis_labels("$x_1$", "$x_2$");