m404_tp1.ipynb

Kernel: SageMath 8.7

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TP1: Poker

Soit l'ensemble $C = \{Coeur,Carreau,Trefle,Pique\}$ des couleurs et l'ensemble $V = \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,Valet,Dame,Roi,As\}$ des valeurs d'un jeu de cartes. Le but de ce TP est de calculer les probabilités (discrètes) des différentes mains de poker de manière enumérative, c'est à dire calculer directement les cardinalités relevantes sans passer par les formules combinatoires habituelles. Par exemple: si la cardinalité de l'ensemble de toutes les mains de poker est $m$ (vous la calculerez directement dans l'exo 3) et la cardinalité de l'ensemble des "carrés" est $c$ (vous la calculerez directement dans l'exo 4), alors la probabilité d'un carré est comme vous le savez $c/m$. Ce ne serait bien sûr pas raisonable de procéder ainsi si les calculs devaient se faire à la main, mais tout à fait raisonable sur ordi. Les formules combinatoires vous serviront par contre à vérifier vos résultats.

Attention: juste refaire sur ordi les méthodes apprises en TD sur papier au moyen de formules combinatoires ne vous apportera pas de points.

Exo 0

Faites le tuto pas à pas. Le but est de comprendre les techniques (entre autres les fonctions dans poker.sage).

Exo 1

Construisez les ensembles $C$ et $V$ en Sage et calculez leur cardinalités avec la méthode .cardinality (voir ici).

Exo 2

L'ensemble des cartes dans un jeu est le produit cartésien $J = C \times V$. Construisez le et calculez sa cardinalité.

Exo 3

Une main de poker est un sous-ensemble de $J$ de cardinalité $5$. Construisez l'ensemble $M$ des mains (n'essayez pas de l'afficher en entier, il est bien sûr fini mais assez grand...) et calculez sa cardinalité.

Exo 4

Calculez les probabilités des mains standard (en format fraction ou pourcentage à 6 décimales) en construisant les sous-ensembles relevants de $M$. Vérifiez votre calcul au moyen de formules combinatoires. Le coefficient binomial $\binom{m}{n}$ se calcule en Sage avec la commande binomial(m,n).