Laboratorio de Cómputo 1.1
El cálculo sí es útil.
El cálculo es el fundamento de muchas disciplinas; una herramienta básica en la solución de problemas; y un lenguaje común en las ciencias e ingenierías.En los siguientes ejercicios, desarrollaremos de manera intuitiva una aplicación del cálculo: Optimización
Problema de Optimización
Consideremos una granja en la que se quiere cercar un terreno bordeado por un río. Se cuentan con 20 metros de malla para cercar. ¿Cuál es el área máxima que puede bordearse con dicho material?
A continuación, mostramos un script para trazar la gráfica de dicha función
De manera intuitiva, podemos suponer que el máximo se alcanza alrededor de . Sin embargo, ¿Cómo podemos estar seguros?
La respuesta la podemos obtener observando que en el máximo, la recta tangente tiene pendiente .
Recordemos que la ecuación de una recta con pendientes , que pasa por el punto está dada por .
La función que ocupamos para encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de se en el punto se le llama derivada.
Ahora, vamos a plantear la ecuación del punto crítico para encontrar exactamente el valor:
Concluímos que el área máxima es 50 metros cuando uno de los lados ortogonales mide 5 metros.
Ejercicio 1
- Optimice la función en el intervalo Trace la gráfica correspondiente.
- Ahora, intentelo en el intervalo
- ¿Son los mínimos y los máximos los mismo en ambos intervalos?
- ¿Qué hay de los mínimos y máximos locales?
Ejercicio 2
Si de material está disponible para hacer una casa con base cuadrangular y el lado superior abierto, encuentre el volumen posible más grande de caja.
Siga los pasos del ejercicio 1, determinando la función y el intervalo adecuadosEjercicio 3
Encuentre el punto en la línea más cercano al origen
- Siga los pasos del ejercicio 1, minimizando la función distancia y determinando el intervalo adecuados
- Trace una segunda gráfica con la línea correspondiente a , el punto determinado en el paso anterior y la recta que lo une con el origen
Ejercicio 4
Encuentre los puntos en la elipse más lejanos al punto
- Siga los pasos del ejercicio 1, maximizando la función distancia y determinando el intervalo adecuados
- Trace una segunda gráfica con la línea correspondiente a la elipse, el punto determinado en el paso anterior y la recta que lo une con el origen
Ejercicio 5
El marco para una cometa debe estar hecho de seis piezas de madera. Las cuatro piezas exteriores se han cortado con las longitudes indicadas en la figura. Para maximizar el área de la cometa, ¿qué tan largas deben ser las piezas diagonales?