Shareddifferentialregning - emneopg.4.ipynbOpen in CoCalc
Jupyter notebook differentialregning - emneopg.4.ipynb
  • Beviset for, at hvis f(x)=ax+bf(x)=ax+b så er f(x)=af'(x)=a

Vi starter med at opsummere hvad vi ved:

  • Forskriften for en lineær funktion er f(x)=ax+bf(x) = ax+b
  • For at finde a-værdien for en lineær funktion benyttes formlen: a=y2y1x2x1a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Vi ved at når xx går mod x0x_0 så er grænseværdien for funktionen ff lig med f(x)f'(x)

f(x)=limxx0f(x)f(x0)xx0f'(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Da vi vil bevise, at når f(x)=ax+bf(x) = ax+b så er f(x)=af'(x) = a, kan vi af denne grund tillade os, at erstatte f(x)f(x) med "ax+bax+b"

f(x)=limxx0ax+b(ax0+b)xx0f'(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{ax+b-(ax_0+b)}{x-x_0}

b'erne i tælleren går ud med hinanden

f(x)=limxx0axax0xx0f'(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{ax - ax_0}{x-x_0}

Vi omskriver nu tælleren til, at have a stående uden for en parentes

f(x)=limxx0a(xx0)xx0f'(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{a(x-x_0)}{x-x_0}

Vi omskriver nu tælleren, for at kunne få xx og x0-x_0 til at gå ud med hinanden i brøken.

f(x)=limxx0af'(x) = \lim_{x \to x_0} a

Da man ikke kan tage grænseværdien af aa fordi at det er en konstant, er grænseværdien af aa af denne grund blot aa

f(x)=af'(x) = a