Grupes.sagews

Grupės

Sukurkime simetrinę grupę $S_4$:

G = SymmetricGroup(4)

G.list()

[(), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3), (1,2)(3,4), (2,3,4), (1,3,2), (1,4,3), (1,2,4), (2,4,3), (1,3,4), (1,4,2), (1,2,3), (3,4), (1,3,2,4), (1,4,2,3), (1,2), (2,3), (1,3,4,2), (1,4), (1,2,4,3), (2,4), (1,3), (1,4,3,2), (1,2,3,4)]

G.is_commutative()

False

Raskime grupės eilę (elementų skaičių):

G.order()

24

Kaip nusakyti keitinį?
Vienas būdas -- nesikertančių ciklų sandauga:

a = G([(1,2),(3,4)])
a

(1,2)(3,4)

Dar vienas būdas nusakyti keitinį nesikertančių ciklų sandauga:

g = G("(1,2)(3,4)")
g
g == a

(1,2)(3,4) True

Kitas būdas -- nurodyti keitinio apatinę eilutę:

b = G([2,1,4,3])
b

(1,2)(3,4)

Patikrinkime, ar keitiniai a ir b sutampa:

a == b

True

Sudauginkime keitinius.
Atkreipkite dėmesį -- SAGE keitinius daugina "iš kairės į dešinę"!

c = G([(2,3)])
c*a

(1,2,4,3) 2

O dabar tą patį užrašysime "gražiai":

show(a,'*', c, '=', a*c)

$\displaystyle (1,2)(3,4)$ * $\displaystyle (2,3)$ = $\displaystyle (1,3,4,2)$

Diedro grupė $D_4$:

D = DihedralGroup(4)
D.is_subgroup(G)

True

Lyginių keitinių grupė $A_4$:

A = AlternatingGroup(4)
A.is_subgroup(G)

True

Pogrupiai

Sukuriame pogrupį, nurodydami generatorius:

H1 = G.subgroup([(1,2),(1,2,4)])

H1.list()

[(), (1,2,4), (1,4,2), (2,4), (1,2), (1,4)]

H1.is_cyclic()

False

a = G("(1,2)(3,4)")
H2 = G.subgroup([a])
H2.list()

[(), (1,2)(3,4)]

H2.is_cyclic()

True

H1.intersection(H2)

Permutation Group with generators [()]

H3 = G.subgroup([(1,2),(1,2,3)])
H3.is_isomorphic(H1)

True

Uždavinių sprendimai

Pratybų 18 uždavinys.
Atkreipkite dėmesį -- SAGE keitinius daugina "iš kairės į dešinę"!

G = SymmetricGroup(9)
s = G([2,5,1,8,3,6,4,7,9])
t = G([1,5,4,7,2,6,8,9,3])
show('s = ',s)
show('t = ',t)
show('s*t = ',t*s)
show('s*t*s^(-1) = ',s**(-1)*t*s)
show('s^(-1) = ',s**(-1))
show('t^(-1) = ',t**(-1))
show('t*s = ',s*t)
show('t*s*t^(-1) = ',t**(-1)*s*t)

s = $\displaystyle (1,2,5,3)(4,8,7)$

t = $\displaystyle (2,5)(3,4,7,8,9)$

s*t = $\displaystyle (1,2,3,8,9)$

s*t*s^(-1) = $\displaystyle (1,8,4,7,9)(3,5)$

s^(-1) = $\displaystyle (1,3,5,2)(4,7,8)$

t^(-1) = $\displaystyle (2,5)(3,9,8,7,4)$

t*s = $\displaystyle (1,5,4,9,3)$

t*s*t^(-1) = $\displaystyle (1,5,2,4)(7,9,8)$

# Keitinio eilė:
(t*s).order()

5

# Keitinio lyginumas (1 -- lyginis, -1 -- nelyginis):
(t*s).sign()

1

# Užrašome viena eilute:
show('Keitinio s*t eilė lygi ',(t*s).order(),', o lyginumas: ', (t*s).sign())

Keitinio s*t eilė lygi $\displaystyle 5$ , o lyginumas: $\displaystyle 1$

G = SymmetricGroup(9)
L = [g.order() for g in G]

11 in L

False

len(L)

362880