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shifted Legendre多項式(の正規化)を計算する。 shifted Legendre多項式とは、

(p(x),q(x))=\int_0^1p(x)q(x)dx
という内積を用いて、 (1,x,x^2,\cdots) にGram-Schmidtの直交化を施して得られる直交多項式である。

通常のLegendre多項式は、

(p(x),q(x))=\int_{-1}^1p(x)q(x)dx
という内積を用いて、 (1,x,x^2,\cdots) にGram-Schmidtの直交化を施して得られる直交多項式である。(積分範囲が違うことに注意。)

P_0(x)=1

(P_0(x),P_0(x) を計算する。

(P_0(x),P_0(x)=\int_{0}^{1}dx=1
より、

p_0(x)=P_0/sqrt((P_0^2).integral(x,0,1));p_0
x |--> 1

p_0(x)=\dfrac{P_0}{(P_0,P_0)}=P_0=1
とわかる。 次に、
P_1(x)=x-(x,p_0(x))p_0
を計算しよう。すなわち、

P_1=x-(x*p_0).integral(x,0,1)*p_0;P_1.simplify()
x |--> x - 1/2

次に、 (P_1(x),P_1(x)) を計算する。すなわち、

(P_1(x),P_1(x)=\int_{0}^{1}P_1^2dx

expand(P_1^2).simplify()
x |--> x^2 - x + 1/4

より、

(P_1(x),P_1(x)=\int_{0}^{1}P_1^2dx=\int_{0}^{1}(x^2 - x + \dfrac{1}{4})dx=\dfrac{1}{12}
よって、

p_1(x)=P_1/sqrt((P_1^2).integral(x,0,1));p_1.simplify()
x |--> sqrt(3)*(2*x - 1)

p_1(x)=\dfrac{P_1}{(P_1,P_1)}=\sqrt{3}(2x-1)
となることがわかる。

次に、 P_2(x)=x^2-(x^2,p_0)p_0-(x^2,p_1)p_1 を計算する。すなわち、

P_2(x)=x^2-(x^2*p_0).integral(x,0,1)*p_0-(x^2*p_1).integral(x,0,1)*p_1;P_2.simplify()
x |--> x^2 - x + 1/6

次に、 (P_2(x),P_2(x)) を計算する。 P_2(x)^2=\ x^{4} - 2 \, x^{3} + \frac{4}{3} \, x^{2} - \frac{1}{3} \, x + \frac{1}{36} より、

(P_2(x),P_2(x))=\int_{0}^{1}P_2^2dx=\int_{0}^{1}(x^{4} - 2 \, x^{3} + \frac{4}{3} \, x^{2} - \frac{1}{3} \, x + \frac{1}{36})dx=\dfrac{1}{180}=\dfrac{1}{5}\dfrac{1}{2^2 3^2}
とわかる。 p_2(x)=P_2(x)/\sqrt{(P_2(x),P_2(x))} を計算すると、

p_2(x)=P_2/sqrt((P_2^2).integral(x,0,1));p_2.simplify()
x |--> sqrt(5)*(6*x^2 - 6*x + 1)

p_2(x)=\sqrt{5}(6x^2-6x+1) とわかる。次に、 P_3(x)=x^3-(x^3,p_0(x))p_0-(x^3,p_1(x))p_1-(x^3,p_2(x))p_2 を計算する。すなわち、

P_3(x)=(x^3-(x^3*p_0).integral(x,0,1)*p_0-(x^3*p_1).integral(x,0,1)*p_1-(x^3*p_2).integral(x,0,1)*p_2).simplify()

P_3(x)=\ x^{3} - \frac{3}{2} \, x^{2} + \frac{3}{5} \, x - \frac{1}{20}

次に、 (P_3(x),P_3(x))=\int_0^1 P_3(x)^2dx を計算する。

expand(P_3^2).simplify()
x |--> x^6 - 3*x^5 + 69/20*x^4 - 19/10*x^3 + 51/100*x^2 - 3/50*x + 1/400
(P_3^2).integral(x,0,1)
1/2800
factor(2800)
2^4 * 5^2 * 7

より、

P_3(x)^2=\ x^{6} - 3 \, x^{5} + \frac{69}{20} \, x^{4} - \frac{19}{10} \, x^{3} + \frac{51}{100} \, x^{2} - \frac{3}{50} \, x + \frac{1}{400}
とわかるので、
(P_3(x),P_3(x))=\int_0^1 P_3(x)^2dx=\int_0^1 \left(\ x^{6} - 3 \, x^{5} + \frac{69}{20} \, x^{4} - \frac{19}{10} \, x^{3} + \frac{51}{100} \, x^{2} - \frac{3}{50} \, x + \frac{1}{400}\right)dx=\dfrac{1}{2800}=\dfrac{1}{7}\left(\dfrac{1}{2^2 5}\right)^2
より、

p_3(x)=P_3/sqrt((P_3^2).integral(x,0,1));latex(p_3.simplify())
x \ {\mapsto}\ \sqrt{7} {\left(20 \, x^{3} - 30 \, x^{2} + 12 \, x - 1\right)}

p_3(x)=\sqrt{7} {\left(20 \, x^{3} - 30 \, x^{2} + 12 \, x - 1\right)} とわかる。