Modern Algebra Revisited: Linear Equalities

Path: Algebra ALA Linear Inequlaities.ipynb

Views: ¹⁶⁷

Kernel: SageMath (stable)

In [2]:

#1) prove: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
f(n) = n*(1 + n)/2
show(f(1))
show(f(2))

In [3]:

# prove: 1 + 2 + 3 + ... + n + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)/2
# assume: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(1 + n)/2
# show: n + 1 = (n + 1)(n + 2)/2 - n(1 + n)/2
show((n + 1)*(n + 2)/2 - n*(1 + n)/2)
show(((n + 1)*(n + 2)/2 - n*(1 + n)/2).expand())
# other than expand(), we might also have used
# simplify_rational(), simplify_radical(), or simplify_trig()

In [4]:

def symbolic_inverse(f, x):
    y = SR.var('y')
    g = (f - y).roots(x, multiplicities=False)
    return [expr.subs(y=x) for expr in g]

def convert_to_mixed(n, d):
      m, p = divmod(abs(n), d)
      if n < Integer(Integer(0)):
          m = -m
      g = gcd(p, d)
      p = p/g
      d = d/g
      return '{} {}/{}'.format(m, p, d) if m != Integer(Integer(0)) and p > Integer(Integer(0))           else '{}'.format(m) if m != Integer(Integer(0))           else '{}/{}'.format(n, d)

In [5]:

convert_to_mixed(270, 16)

'16 7/8'

In [6]:

%display typeset
symbolic_inverse(5*x - 3, x)

In [7]:

symbolic_inverse(x^2, x)

In [8]:

symbolic_inverse(log(x), x)

Modern Algebra: A Logical Approach, Book Two c.1966

Chapter 6: Functions and Other Relations

Linear Inequalities

----------------------------------------------------------------------------------

(1) Draw the graph of the relation defined by each of the following sentences.

(a) y > -2*x + 3 $\lor$ y < x

In [9]:

x, y = var('x y')
p = region_plot(y > -2*x + 3, (x, -200, 200), (y, -200, 200))
p += region_plot(y < x, (x, -200, 200), (y, -200, 200))
show(p)

y > -2*x + 3 $\land$ y < x

In [10]:

q = region_plot([y > -2*x + 3, y < x], (x, -50, 150), (y, -300, 300))
show(q)

Let's experiment a little. The objective here is to learn about linear inequalities while also gaining some technical skills using Sage. This is explortative learning at age 50.

------------------------------

y > -2*x + 3 $\lor$ y < x

In [11]:

p = region_plot( y > -2*x + 3, (x, -100, 100), (y, -100, 100), incol='orange')
p += region_plot(y < x, (x, -100, 100), (y, -100, 100),incol='cyan')
show(p, axes="true", frame=False, aspect_ratio=1)

------------------------------

y $\le$ 7 $\lor$ y $\ge$ -3

In [12]:

p1 = region_plot(y <= 7, (x, -100, 100), (y, -100, 100), incol='red')
p1 += region_plot(y >= -3, (x, -100, 100), (y, -100, 100), incol='blue')
show(p1, axes="true", frame=False, aspect_ratio=1)

------------------------------

y $\lt$ 3 $\lor$ y $\ge$ x + 6 $\lor$ y $\lt$ -x - 3

In [13]:

p2 = region_plot(y < 3, (x, -10, 10), (y, -10, 10), incol='red')
p2 += region_plot(y > x + 6, (x, -10, 10), (y, -10, 10), incol='blue')
p2 += region_plot(y < -x - 3, (x, -10, 10), (y, -10, 10), incol='green')
show(p2, axes="true", frame=False, aspect_ratio=1)

------------------------------

3x + y $\gt$ 5 $\lor$ -2x + y $\lt$ -4

In [14]:

p3 = region_plot(3*x + y > 5, (x, -10, 10), (y, -10, 10), incol='orange')
p3 += region_plot(-2*x + y < -4, (x, -10, 10), (y, -10, 10), incol='purple')
show(p3, axes="true", frame=False, aspect_ratio=1)

------------------------------

y $\gt$ x $\lor$ y $\lt$ 4

In [15]:

p3 = region_plot(y > x, (x, -10, 10), (y, -10, 10), incol='cyan')
p3 += region_plot(y < 4, (x, -10, 10), (y, -10, 10), incol='brown')
show(p3, axes="true", frame=False, aspect_ratio=1)

In [16]:

p4 = region_plot([2 <= y, y <= 3], (x, -10, 10), (y, -10, 10))
show(p4)

In [17]:

p5 = region_plot([2*x + 5 >= y or y >= -4*x + 1], (x, -10, 10), (y, -10, 10))
show(p5)

In [18]:

p6 = region_plot([x - 2 <= y, y <= x + 2], (x, -10, 10), (y, -10, 10))
show(p6)

--------------------------------------------------------------------------

[2] Draw the graph of the relation defined by each of the following sentences

(a) y > -2x - 5 $\land$ y > -3x + 4

In [19]:

p = region_plot([y > -2*x - 5,y > -3*x + 4], (x, -10, 10), (y, -10, 10))
show(p)

Changing this from a conjunction (intersection) to a disjunction (union):

(a) y > -2x - 5 $\lor$ y > -3x + 4

In [20]:

p1 = region_plot(y > -2*x - 5, (x, -10, 10), (y, -10, 10), incol='orange')
p2 = region_plot(y > -3*x + 4, (x, -10, 10), (y, -10, 10), incol='purple')
show(p1 + p2, axes="true", frame=False, aspect_ratio=1)

--------------------------------------------------------------------------

(b) 3x + 1 > y $\land$ y > -4x - 3

In [21]:

p = region_plot([3*x + 1 > y,y > -4*x - 3], (x, -10, 10), (y, -10, 10))
show(p)

Changing this from a conjunction (intersection) to a disjunction (union):

(b) 3x + 1 > y $\lor$ y > -4x - 3

In [22]:

p1 = region_plot(3*x + 1 > y, (x, -10, 10), (y, -10, 10), incol='orange')
p2 = region_plot(y > -4*x - 3, (x, -10, 10), (y, -10, 10), incol='purple')
show(p1 + p2, axes="true", frame=False, aspect_ratio=1)

--------------------------------------------------------------------------

In [23]:

p = region_plot([x >= 0, y >= 0, y <= x + 4], (x, -10, 25), (y, -10, 25), incol='red')
show(p)

--------------------------------------------------------------------------

(d) y <= x + 4 $\land$ y > -x - 2 and x > 0

In [24]:

p = region_plot([y <= x + 4, y > -x - 2,  x > 0], (x, -10, 30), (y, -40, 40), incol='yellow')
show(p)

--------------------------------------------------------------------------

(e) y <= 4 $\land$ x <= 3 $\land$ y > -3 $\land$ x > -3

In [25]:

p = region_plot([y <= 4, x <= 3, y > -3, x > -3], (x, -5, 5), (y, -5, 5), incol='green')
show(p)

In [26]:

# p.316 (4) 
# To confirm my "pencil and paper" results: No graph
p = region_plot([y < 4, y > -4, x >= 4, x > -4, y <= -x + 5, y >= x - 5, y >= -x + 5, y < x + 5], (x, -5, 10), (y, -5, 5))
show(p)

(5) Given: A = {(x,y)| y <= -5x/3 + 7}, B = {(x,y)| y >= x - 1}, C = ((x,y)| y <= 9x + 39}, D = {(x,y)| y >= -7*x + 25},

draw the graph of:

(a) A $\cap$ B $\cap$ C

In [27]:

A = y <= -5*x/3 + 7
B = y >= x - 1
C = y <= 9*x + 39
D = y >= -7*x + 25
# (a)
p = region_plot([A, B, C], (x, -10, 10), (y, -10, 15))
show(p)

--------------------------------------------

(b) A $\cap$ B $\cap$ C $\cap$ D

In [28]:

p = region_plot([A, B, C, D], (x, -10, 10), (y, -10, 15))
show(p)

--------------------------------------------------------------------

(6) If M = x - y, find the greatest possible value of M subject to the condition that (x,y) are coordinates of a point in A, the region which is the graph of {(x,y)| y <= -2*x/5 + 4} $\cap$ {(x,y)| y >= x - 3} $\cap$ {(x,y)| y >= 0} $\cap$ {(x,y)| x >= 0}

In [29]:

A = region_plot([y <= -2*x/5 + 4, y >= x - 3, y >= 0, x >= 0], (x, -5, 5), (y, -5, 5) )
show(A)

In [30]:

M(x,y) = x - y
M_vals = []
for X in range(4):
    for Y in range(5):
        if Y <= -2*X/5 + 4 and Y >= X - 3 and Y >= 0 and Y >= 0:
            M_vals.append(M(X,Y))
print('If M = x - y, the greatest possible value of M, subject to the condition ')
print('that (x,y) are coordinates of a point in A, the region which is the graph of')
print('{(x,y)| y <= -2*x/5 + 4} intersection {(x,y)| y >= x - 3} ')
print('intersection {(x,y)| y >= 0} intersection {(x,y)| x >= 0} is ...')
print('M = {}'.format(max(M_vals)))

If M = x - y, the greatest possible value of M, subject to the condition 
that (x,y) are coordinates of a point in A, the region which is the graph of
{(x,y)| y <= -2*x/5 + 4} intersection {(x,y)| y >= x - 3} 
intersection {(x,y)| y >= 0} intersection {(x,y)| x >= 0} is ...
M = 3

---------------------------------------------------------------------------------

(7) If K = -x/3 + y, find the least possible value of K subject to the condition that (x,y) are the coordinates of a point in B, the region which is the graph of {(x,y)| y >= -2x + 8} $\cap$ {(x,y)| y >= 2x/3}

In [31]:

B = region_plot([y >= -2*x + 8, y >= 2*x/3], (x, -5, 10), (y, -5, 10) )
show(B)

In [0]:

In [32]:

K(x,y) = -x/3 + y
K_vals = []
for X in range(5):
    for Y in range(5):
        if Y >= -2*X + 8 and Y >= 2*X/3:
            K_vals.append(K(X,Y))
            print('x = {0} and y = {1} so K = {2}'.format(X, Y, -X/3 + Y))
print('If K = -x/3 + y, the least possible value of K subject to the condition that')
print('(x,y) are the coordinates of a point in B, the region which is the graph of')
print('{(x,y)| y >= -2*x + 8} intersection {(x,y)| y >= 2*x/3} ...')
print('is K = {:4.3}'.format(min(K_vals)))

x = 2 and y = 4 so K = 10/3
x = 3 and y = 2 so K = 1
x = 3 and y = 3 so K = 2
x = 3 and y = 4 so K = 3
x = 4 and y = 3 so K = 5/3
x = 4 and y = 4 so K = 8/3
If K = -x/3 + y, the least possible value of K subject to the condition that
(x,y) are the coordinates of a point in B, the region which is the graph of
{(x,y)| y >= -2*x + 8} intersection {(x,y)| y >= 2*x/3} ...
is K = 1   

In [33]:

def frange(x, y, jump=1.0):
    '''
    Range for floats.

    Parameters:
      x: range starting value, will be included.
      y: range ending value, will be excluded
      jump: the step value. Only positive steps are supported.

    Return:
      a generator that yields floats

    Usage:
    >>> list(frange(0, 1, 0.2))
    [0.0, 0.2, 0.4, 0.6000000000000001, 0.8]
    >>> list(frange(1, 0, 0.2))
    [1.0]
    >>> list(frange(0.0, 0.05, 0.1))
    [0.0]
    >>> list(frange(0.0, 0.15, 0.1))
    [0.0, 0.1]

    '''
    i = 0.0
    x = float(x)  # Prevent yielding integers.
    y = float(y)  # Comparison converts y to float every time otherwise.
    x0 = x
    epsilon = jump / 2.0
    yield x  # yield always first value
    while x + epsilon < y:
        i += 1.0
        x = x0 + i * jump
        yield x

In [34]:

K(x,y) = -x/3 + y
K_vals = []
for X in frange(-5, 5, 1/3):
    for Y in frange(-5, 5, 1/3):
        if Y >= -2*X + 8 and Y >= 2*X/3:
            K_vals.append(K(X,Y))
            print('x = {0} and y = {1} so K = {2}'.format(X, Y, -X/3 + Y))
print('If K = -x/3 + y, the least possible value of K subject to the condition that')
print('(x,y) are the coordinates of a point in B, the region which is the graph of')
print('{(x,y)| y >= -2*x + 8} intersection {(x,y)| y >= 2*x/3} ...')
print('is K = {:4.3}'.format(min(K_vals)))

x = 1.66666666666667 and y = 5.00000000000000 so K = 4.44444444444444
x = 2.00000000000000 and y = 4.00000000000000 so K = 3.33333333333333
x = 2.00000000000000 and y = 4.33333333333333 so K = 3.66666666666667
x = 2.00000000000000 and y = 4.66666666666667 so K = 4.00000000000000
x = 2.00000000000000 and y = 5.00000000000000 so K = 4.33333333333333
x = 2.33333333333333 and y = 3.66666666666667 so K = 2.88888888888889
x = 2.33333333333333 and y = 4.00000000000000 so K = 3.22222222222222
x = 2.33333333333333 and y = 4.33333333333333 so K = 3.55555555555555
x = 2.33333333333333 and y = 4.66666666666667 so K = 3.88888888888889
x = 2.33333333333333 and y = 5.00000000000000 so K = 4.22222222222222
x = 2.66666666666667 and y = 3.00000000000000 so K = 2.11111111111111
x = 2.66666666666667 and y = 3.33333333333333 so K = 2.44444444444444
x = 2.66666666666667 and y = 3.66666666666667 so K = 2.77777777777778
x = 2.66666666666667 and y = 4.00000000000000 so K = 3.11111111111111
x = 2.66666666666667 and y = 4.33333333333333 so K = 3.44444444444444
x = 2.66666666666667 and y = 4.66666666666667 so K = 3.77777777777778
x = 2.66666666666667 and y = 5.00000000000000 so K = 4.11111111111111
x = 3.00000000000000 and y = 2.00000000000000 so K = 1.00000000000000
x = 3.00000000000000 and y = 2.33333333333333 so K = 1.33333333333333
x = 3.00000000000000 and y = 2.66666666666667 so K = 1.66666666666667
x = 3.00000000000000 and y = 3.00000000000000 so K = 2.00000000000000
x = 3.00000000000000 and y = 3.33333333333333 so K = 2.33333333333333
x = 3.00000000000000 and y = 3.66666666666667 so K = 2.66666666666667
x = 3.00000000000000 and y = 4.00000000000000 so K = 3.00000000000000
x = 3.00000000000000 and y = 4.33333333333333 so K = 3.33333333333333
x = 3.00000000000000 and y = 4.66666666666667 so K = 3.66666666666667
x = 3.00000000000000 and y = 5.00000000000000 so K = 4.00000000000000
x = 3.33333333333333 and y = 2.33333333333333 so K = 1.22222222222222
x = 3.33333333333333 and y = 2.66666666666667 so K = 1.55555555555556
x = 3.33333333333333 and y = 3.00000000000000 so K = 1.88888888888889
x = 3.33333333333333 and y = 3.33333333333333 so K = 2.22222222222222
x = 3.33333333333333 and y = 3.66666666666667 so K = 2.55555555555556
x = 3.33333333333333 and y = 4.00000000000000 so K = 2.88888888888889
x = 3.33333333333333 and y = 4.33333333333333 so K = 3.22222222222222
x = 3.33333333333333 and y = 4.66666666666667 so K = 3.55555555555556
x = 3.33333333333333 and y = 5.00000000000000 so K = 3.88888888888889
x = 3.66666666666667 and y = 2.66666666666667 so K = 1.44444444444444
x = 3.66666666666667 and y = 3.00000000000000 so K = 1.77777777777778
x = 3.66666666666667 and y = 3.33333333333333 so K = 2.11111111111111
x = 3.66666666666667 and y = 3.66666666666667 so K = 2.44444444444444
x = 3.66666666666667 and y = 4.00000000000000 so K = 2.77777777777778
x = 3.66666666666667 and y = 4.33333333333333 so K = 3.11111111111111
x = 3.66666666666667 and y = 4.66666666666667 so K = 3.44444444444444
x = 3.66666666666667 and y = 5.00000000000000 so K = 3.77777777777778
x = 4.00000000000000 and y = 3.00000000000000 so K = 1.66666666666667
x = 4.00000000000000 and y = 3.33333333333333 so K = 2.00000000000000
x = 4.00000000000000 and y = 3.66666666666667 so K = 2.33333333333333
x = 4.00000000000000 and y = 4.00000000000000 so K = 2.66666666666667
x = 4.00000000000000 and y = 4.33333333333333 so K = 3.00000000000000
x = 4.00000000000000 and y = 4.66666666666667 so K = 3.33333333333333
x = 4.00000000000000 and y = 5.00000000000000 so K = 3.66666666666667
x = 4.33333333333333 and y = 3.00000000000000 so K = 1.55555555555556
x = 4.33333333333333 and y = 3.33333333333333 so K = 1.88888888888889
x = 4.33333333333333 and y = 3.66666666666667 so K = 2.22222222222222
x = 4.33333333333333 and y = 4.00000000000000 so K = 2.55555555555556
x = 4.33333333333333 and y = 4.33333333333333 so K = 2.88888888888889
x = 4.33333333333333 and y = 4.66666666666667 so K = 3.22222222222222
x = 4.33333333333333 and y = 5.00000000000000 so K = 3.55555555555556
x = 4.66666666666667 and y = 3.33333333333333 so K = 1.77777777777778
x = 4.66666666666667 and y = 3.66666666666667 so K = 2.11111111111111
x = 4.66666666666667 and y = 4.00000000000000 so K = 2.44444444444444
x = 4.66666666666667 and y = 4.33333333333333 so K = 2.77777777777778
x = 4.66666666666667 and y = 4.66666666666667 so K = 3.11111111111111
x = 4.66666666666667 and y = 5.00000000000000 so K = 3.44444444444444
x = 5.00000000000000 and y = 3.66666666666667 so K = 2.00000000000000
x = 5.00000000000000 and y = 4.00000000000000 so K = 2.33333333333333
x = 5.00000000000000 and y = 4.33333333333333 so K = 2.66666666666667
x = 5.00000000000000 and y = 4.66666666666667 so K = 3.00000000000000
x = 5.00000000000000 and y = 5.00000000000000 so K = 3.33333333333333
If K = -x/3 + y, the least possible value of K subject to the condition that
(x,y) are the coordinates of a point in B, the region which is the graph of
{(x,y)| y >= -2*x + 8} intersection {(x,y)| y >= 2*x/3} ...
is K = 1.0 

In [0]:

In [0]: