CoCalc Logo Icon
StoreFeaturesDocsShareSupportNewsAboutSign UpSign In

Real-time collaboration for Jupyter Notebooks, Linux Terminals, LaTeX, VS Code, R IDE, and more,
all in one place.

| Download

GAP 4.8.9 installation with standard packages -- copy to your CoCalc project to get it

Views: 418346
����;� TeX output 2011.11.26:2137����������p���ww��w�9�<p��i(
cmssdc10�SymbCompCC�� �<���|��"���`REA���GAP4�P����ack�age��)c���ȱ��>p��i
cmssdc10�V��lersion�n�1.2��V�[���ɢb��ly��W�����6(D��Y�orte�n�F��leichtenschlager����o1��K�`y

cmr10�Institut�UUComputational�Mathematics,�TU�Brausnc���h�w�eig������P���o�Gc�k�elsstr.�UU14,�38106�Braunsc���h�w�eig,�UUGerman�y�����*�email:�UUd.feic���h�tensc�hlager@tu-braunsc�h�w�eig.de�����8��Novemb�^�er�n�2011�����*�����p����E����FK��Contents����N������@��"V

cmbx10�1���$Installing��Tand�Loading�the�Sym��9bCompCC�P�ac�k��\rage������3������������8�1.1���$Installing�UUthe�Sym���bCompCC�P�ac�k��q�age�\\���r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.������3������������8�1.2���$Loading�UUthe�Sym���bCompCC�P�ac�k��q�age�	\���r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.������3������������@�2���$In��9tro�Q�duction���j��4������������8�2.1���$Ov���erview�#����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.������4������������8�2.2���$Bac���kground�UUon�(p�Golycyclic)�parametrised�presen�tations�
�ߍ��r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.������4������������8�2.3���$Computation�UUof�Sc���h�ur�UUm�ultiplicators�U>���r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.������5������������8�2.4���$Computation�UUof�lo���w-dimensional�cohomology��ፑ�r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.������5������������8�2.5���$Example�	�2���r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.������5������������@�3���$p-p�Q�o��9w�er-p�oly-p�cp-groups���,�|6������������8�3.1���$Example�	�2���r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.������6������������8�3.2���$Obtaining�UUp-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-groups�U?���r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.������7������������8�3.3���$Op�Gerations�UUand�functions�for�p-p�o���w�er-p�oly-p�cp-group�UUelemen�ts�
F����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.������8������������8�3.4���$Op�Gerations�UUand�functions�for�p-p�o���w�er-p�oly-p�cp-groups�8��r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.������8������������8�3.5���$Info�UUclasses�for�the�p-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-groups�
�y���r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.������10������������8�3.6���$Global�UUv��q�ariables�for�the�p-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-groups�
Cs���r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.������10������������@�4���$P��9arametrised��TPresen�tations�����11������������8�4.1���$Pro���vided�UUpp-presen�tations�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.������11������������@�5���$Sc��9h�ur��Textensions�for�p-p�Q�o��9w�er-p�oly-p�cp-groups����i�12������������8�5.1���$Computing�UUSc���h�ur�extensions�#~���r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.������12������������8�5.2���$Computing�UUother�in���v��q�arian�ts�UUfrom�Sc���h�ur�UUextensions�q����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.������13������������8�5.3���$Info�UUclasses�for�the�computation�of�the�Sc���h�ur�UUextension�q����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.�����r.������14����������$�Bibliograph��9y���c�T15���������1�����p��������j)�;�>a�h�h�cminch�1����������Installing�prand��,��	Loading��the����`LSymbCompCC�ҿP����ack�age����=�ƍ�1.1��`Installing�n�the�SymbCompCC�P��lack�age��N8��The��follo���wing��installation�instruction�is�for�unix�although�the�pac���k��q�age�should�w���ork�as�w���ell�with�an���y�other���op�Gerating�UUsystem.��N8�T��*�o�6=install�the�6>�m#�R

cmss10�SymbCompCC�5��pac���k��q�age,�unpac�k�the�arc�hiv�e�6>le,�whic�h�should�ha�v�e�a�name�6>of�the�form������<x

cmtt10�SymbCompCC-�$�':

cmti10�XXX����.tar.bz2�UU�for�some�v���ersion�n�um�b�Ger��XXX����,�b�y�t�yping����9��bunzip2�?�SymbCompCC-�XXX����.tar.bz2����9�tar�?�-xvf�SymbCompCC-�XXX����.tar��N8��in���the��pkg��directory�of�y���our�v�ersion�of��GAP��4,���or�in�a�directory�named��pkg��(e.g.�in�y�our�home�directory).���(The�poonly�essen���tial�ppdierence�with�installing��SymbCompCC�pi�in�a��pkg��directory�dieren���t�to�the��GAP��4�home���directory�4dis�that�one�m���ust�4estart��GAP�4\�with�the��-l��switc�h,�e.g.�if�y�our�priv��q�ate�4e�pkg��directory�is�a�sub�Gdirectory���of�UU�mygap��in�y���our�home�directory�y�ou�migh�t�t�yp�Ge:����9��gap�?�-l�";�myhome��}'dir���/mygap"��N8��where���myhome��}'dir��is�the��path�to�y���our�home�directory��*�,�whic���h�(since��GAP��4.3)�ma���y�b�Ge�replaced�b���y�a�tilde.���The�UUempt���y�path�b�Gefore�the�semicolon�is�lled�in�b�y�the�default�path�of�the��GAP��4�home�directory��*�.)�����1.2��`Loading�n�the�SymbCompCC�P��lack�age��N8��T��*�o�UUuse�the��SymbCompCC��P���ac�k��q�age�UUy�ou�ha�v�e�to�request�it�explicitly��*�.�This�is�done�b�y�calling����9��gap>�?�LoadPackage("SymbCompCC");����9�true��N8��The�UU�LoadPackage��command�is�describ�Ged�in�Section�74.2.1�in�the��GAP��Reference�Man���ual.��N8�If���y���ou�w�an�t�to�load�the��SymbCompCC��ѫpac�k��q�age�b�y�default,�y�ou�can�put�the��LoadPackage��command�in�to�y�our����.gaprc�UU�le�(see�Section�3.4�in�the��GAP��Reference�Man���ual).����������p����E����j)�2����2�Intro�7duction����8N8��2.1��`Overview��N8��The�Sco�Gclass�of�a�nite��p����-group�of�order��p����^��@�':
cmti10�@n��	���and�Snilp�Gotency�class��c��ϫis�dened�as��n��p�!",�

cmsy10����c����.�This�in���v��q�arian�t�Sof���nite��>�p����-groups�has�b�Geen�in���tro�duced�b���y�Leedham-Green�and��=Newman�in�[LGN80]�and�it�b�ecame�of�ma��8jor���imp�Gortance�UUin��p����-group�theory��*�.��N8�A�Grst�GSto�Gol�in�the�classication�of�all��p����-groups�of�co�class��r�Z�is�the�co�class�graph��G��I�(�p�����b>

cmmi10�;����r���).�Its�v���ertices�are���the���isomorphism�t���yp�Ges�of�nite��p����-groups���of�co�class��r���.�Tw���o�v�ertices��G�h߫and��H�-$�are�joined���b�y�an�edge�if��G�h߫is���isomorphic�UUto�the�quotien���t��H����=
��8�(�H��)�UUwhere��
��(�H����)�is�the�last�non-trivial�term�of�the�lo���w�er�UUseries�of��H��.���Du���Sauto���y�[dS00]�and�Eic�k�and�Leedham-Green���[ELG08]�pro�v�ed�that��G��I�(�p����;����r���)�con�tains�certain�p�Gerio�dic���patterns.�|KEic���k�and�Leedham-Green�|J[ELG08]�dene�innite�co�Gclass�sequences�of�nite��p����-groups�of�co�Gclass��r����whic���h��underpin��this�p�Gerio�dic��pattern.�In��G��I�(2�;����r���)�and��G��(3�;����1)�almost��all�groups�are�con���tained�in�an�innite���co�Gclass�UUsequence.���Eic���k��mand�Leedham-Green�[ELG08]�also�pro�v�ed�that��nthe�innitely�man�y��p����-groups�in�an�innite�co�Gclass���sequence�UUcan�b�Ge�dened�b���y�a�single�parametrised�presen�tation.���The�t"rst�aim�of�this�pac���k��q�age�is�the�t!denition�of�p�Golycyclic�parametrised�presen�tations;�these�are�parametrised���presen���tations�Ɩas�dened�b�y�ƕEic�k�and�Leedham-Green�[ELG08]�and�additionally�they�ƕha�v�e�v��q�arious�features�of���p�Golycyclic�#,presen���tations.�Eac�h�suc�h�#+presen�tation�denes�all�the�innitely�man�y�nite�#+�p����-groups�in�an�innite���co�Gclass�UUsequence.���W��*�e�Etthen�pro���vide�Essome�algorithms�to�compute�with�p�Golycyclic�parametrised�presen���tations.�In�particular,�w���e���in���tro�Gduce���a���generalisation�of�the�collection�algorithm�for�p�Golycyclic�parametrised�presen���tations.�Based�on���this,�Gw���e�describ�Ge�algorithms�to�compute�p�olycyclic�parametrised�presen���tations�for�Sc�h�ur�extensions,�for�the���Sc���h�ur�5�m�ultiplicator�5�and�for�some�lo�w-dimensional�5�cohomology�groups.�W��*�e�refer�to�[EF11]�for�details�on�the���underlying�UUalgorithms�and�further�references.���Finally��*�,���w���e�exhibit���a�database�of�p�Golycyclic�parametrised�presen���tations�for�the�innite�co�Gclass�families�of�the���nite�UU2-groups�of�co�Gclass�at�most�2�and�the�nite�3-groups�of�co�class�1.������2.2��`Background�n�on�(p�^�olycyclic)�pa��lrametrised�p�resentations��N8��In���this���section�w���e�describ�Ge�the�p�olycyclic���parametrised�presen���tations�(pp-presen�tations)���for�innite�co�Gclass���sequences.���Let���(�G����@x����j�x��\�2���5���

msbm10�N�),���where��N��denotes�the�natural�n���um�b�Gers,�b�e���an�innite�co�Gclass�sequence;��x�*�is�the�parameter�of���this�v�innite�v�co�Gclass�sequence.�Then�ev���ery�group��G����@x��
��is�an�extension�of�a�nite��p����-group��P�}5�of�order��p������^��@n��	1�b���y�an���ab�Gelian�V�p����-group�V�T����@x���%�of�rank��d���.�F��*�urthermore,�ev���ery��G����@x���&�has�a�p�Golycyclic�presen�tation�V(short�pp-presen�tation)���on�UUgenerators��g����ٓ�Rcmr7�1��|s�;����:�:�:����;����g����@n�����;��t����1���;��:�:�:����;��t����@d��"i�with�UUrelations�of�the�form��<�5������������g���1ɍ��}�@p���l�i���.��=���g����W���}�@a���A�':
cmti10�Ai��m�O
�\cmmi5�;�Ai��;�Ai����Zcmr5�+1���(ލ�@i����+1����a��������'�G�g��������}�@a���Ai��m�;�Ai��;�An������@n���S|�t����W�����	0e�rcmmi7����Ai��m�;�Ai��;�1���b�(�@x��ɮ)��O�1����9ط������,�'�t��������ش����Ai��m�;�Ai��;�Ad��=��(�@x��ɮ)��~���@d���:��;����Mٍ������g����W���}�@g���Aj���(ލ�@i���
#��=���g����W���}�@a���Ai��m�;�Aj��.�;�Aj��+1���(ލ�@j�A�+1�����z�������($��g��������}�@a���Ai��m�;�Aj��.�;�An������@n����=�t����W���ش���Ai��m�;�Aj��.�;�1���#�(�@x��ɮ)��O�1����p��������,���t��������ش����Ai��m�;�Aj��.�;�Ad��t�(�@x��ɮ)��~���@d���qM�;�����􍍍����t���1ɍ����@g���Ai����v��@k���	�5�=���t����������@b����Ak��ƶ;�Ai��m�;�1��
]��(�@x��ɮ)��$�1����
�������+`1�t����������@b����Ak��ƶ;�Ai��m�;�Ad��
	Z�(�@x��ɮ)��~���@d�����;����O��������t���~������@t����Al�������@k���ئ�=���t����@k��y3�;������������t���1ɍ����@p��q���r�Ax��"�+�Ae����v��@k���{j�=��1�;���������2�����Se��}'ction���5.�Example�{A��5���p�����where�}�1�
���
��j�}�<��i�����n�BE�and�1����k�:�<��l�7��
��d���;�certain�}��a����@i����;�@j�A�;�@m�����2�f�0�;����:�:�:����;����p�����S�1�g�,�a�non-negativ���e�}�in�teger��e��[�,������@k���;�@l��,�;�@m���>�(�x�4D�)���of�2�the�form��c����@k���;�@l��,�;�@m���^�+��!�p������^��@x��8��d����@k���;�@l��,�;�@m��23�and��b����@k���;�@l��,�;�@m���with��b����@k���;�@l��,�;�@m���>�;����c����@k���;�@l��,�;�@m���;��d����@k���;�@l��,�;�@m��23�certain�2��p����-adic�in���tegers.�The��p��-adic�exp�Gonen���ts���arising�N6in�N5the�relations�can�b�Ge�reduced�mo�Gdulo�the�relativ���e�orders�of�the�in���v�olv�ed�N6elemen�ts�and�th�us�N5can�b�Ge���reduced�UUto�in���tegers�for�ev�ery�sp�Gecic��x�4D�.����W��*�e��Mcall��Nsuc���h�a�pp-presen���tation��inte��}'gr�al��׫if��Mall�the��p����-adic�n���um�b�Gers��M�b����@k���;�@l��,�;�@m���>�;����c����@k���;�@l��,�;�@m���;��d����@k���;�@l��,�;�@m�����are��Min���tegers.��NOur�algo-���rithms�UUin���tro�Gduced�in�this�pac�k��q�age�compute�with�in�tegral�pp-presen�tations�only��*�.����W��*�e��ncall��osuc���h�an�pp-presen���tation��c��}'onsistent�tF�if�for�ev���ery��x�D۷2���N��the�presen���tation�is�consisten���t�as�a�p�Golycyclic���presen���tation;�Y�where�w�e�p�Gossibly�reduce�the�exp�onen���ts�in�Y�the�presen�tation�mo�Gdulo�the�relativ�e�orders�of�the���generators.��F��2.3��`Computation�n�of�Schur�multiplicato��lrs��p���In���this���section�w���e�recall�brie
y�the�metho�Gd�of�[EF11]�to�determine�the�Sc���h�ur���m�ultiplicators�of���almost�all���groups�UU�G����@x���g�in�an�innite�co�Gclass�sequence.���Supp�Gose�8w���e�7are�giv�en�a�7consisten�t�in�tegral�pp-presen�tation��F�T��=�R����@x���I�for�the�groups�7�G����@x���J�in�an�innite�co�Gclass���sequence,���where��F�3��is�a�free�group�and��R����@x��u��is�generated�b���y�parametrised�relations�as���ab�Go�v�e.�Note�that�the���exp�Gonen���ts�@Bin�@Cthese�relations�dep�end�on�@C�x�4D�,�while�the�n���um�b�Ger�@Bof�generators�and�the�n���um�b�Ger�@Bof�relations�do�Ges���not�UUdep�Gend�on�the�parameter.����Using��<this�presen���tation�w�e��;can�dene�a�parametrised�presen�tation�for��;the�Sc�h�ur�extensions��G���^����I�O!�cmsy7�����@x���?E�=���F�T��=�[�F��;����R����@x����],���corresp�Gonding���to��the�parametrised�presen���tation��F�T��=�R����@x����.�The�next�step�is�to�nd�the�isomorphism�t���yp�Ges�of����Y����@x��	&'�=���R����@x����=�[�F�T��;����R����@x���]�f�since��M����(�G����@x����)����T͍������+3����=������I(�F��T���^��0���\��F�R����@x���)�=�[�F�T��;����R����@x���]�f�are�the�f�torsion�subgroups�of��Y����@x����as�all��G����@x����are�nite����p����-groups.���Then�|��Y����@x����=���R����@x����=�[�F�T��;����R����@x���]�are�generated�b���y�certain�|�so-called�consistency�relations.�Using�this�w���e�can�compute���the�0�isomorphism�t���yp�Ges�of��Y����@x��ǚ�and�th�us�the�isomorphism�0�t�yp�Ges�of��M����(�G����@x����)�for�almost�all��G����@x��ǚ�in�the�c�hosen���innite�UUco�Gclass�sequence.��F��2.4��`Computation�n�of�lo��lw-dimensional�cohomology��p���F��*�rom��:the�parametrised�presen���tation��F�T��=�R����@x��cL�w�e�can�see�that��;the�Ab�Gelian�in�v��q�arian�ts�are�the�same�for�all�groups����G����@x�����in�>�an�>�innite�co�Gclass�sequence,�and�w���e�can�compute�them.�Using�this�and�the�computation�of�the�Sc���h�ur���m���ultiplicators���one���obtains��H������^��@n�����(�G����@x����;����Z�)�and��H������^��@n�����(�G����@x����;����GF�T��(�p����))�for�0������n�e���2,�where���the��G����@x��n�act�trivially�on��Z����and�UU�GF�T��(�p����),�resp�Gectiv���ely��*�.��H)��2.5��`Example��p���In���this�section���w���e�presen�t�the�w�ell-kno�wn���example�of�quaternion�groups��Q��㐮2����Ax��"�+3���s�.�It�is�w���ell�kno�wn���that�they���ha���v�e�UUa�parametrised�presen���tation�of�the�follo�wing�form:�����t����������X��f�g����1��|s�;����g����2���;��t����1���j�����ũ�g��������}�2����1���&�=���t��������خ2����r�Ax����፮1����3�;�UP�g���1ɍ��}�@g���1���xݍ�2���I�=��g����2��|s�t����䍑�غ�1+2����r�Ax��"�+1�����1���!��;����!����ũ�g��������}�2����2���&�=���t����1��|s�;�UP�t���1ɍ����@g���1���xݍ�1���Y`�=��t����䍑�غ�1+2����r�Ax��"�+1�����1���!��;�����捍��ũ�t��������خ2����r�Ax��"�+1����፮1���,��=��1�g������%����Using�UUthis�w���e�can�dene�the�Sc�h�ur�extensions��Q���^�������ꍮ2����Ax��"�+3������$t���炍����qj`�f�g����1��|s�;����g����2���;��t����1���;��c����1���;��c����2���;��c����3���j�����ħw�g��������}�2����1���&�=���t��������خ2����r�Ax����፮1����3�c����3��|s�;�UP�g���1ɍ��}�@g���1���xݍ�2���I�=��g����2���t����䍑�غ�1+2����r�Ax��"�+1�����1���!���c����䍑���1��2����r�Ax��"�+1�����2���@9�;����!�����R�g��������}�2����2���&�=���t����1��|s�c����1���;�UP�t���1ɍ����@g���1���xݍ�1���Y`�=��t����䍑�غ�1+2����r�Ax��"�+1�����1���!���c����䍑���2��2����r�Ax��"�+1�����2���@9�;�����捍���R�t��������خ2����r�Ax��"�+1����፮1���,��=���c����������2����r�Ax��"�+1����፮2���ű;���������R�c����1��|s�;����c����2���;��c����3���c��}'entr�al���g������-����This�UUyields��M����(�Q��㐮2����Ax��"�+3���s�)��=�1.�����/X�����p����E����j)�3����������p-p�7o����w�er-p�oly-��,��&S0p�7cp-groups����;x㍫Eic���k�"and�Leedham-Green�[ELG08]�dened�"for�a�prime��p�ï�and�a�xed�co�Gclass��r�5��innite�co�Gclass�sequences.���These���sequences�consist�of�nite��p����-groups�of�co�Gclass����r���.�F��*�or�eac���h�innite�co�class�sequence�there�exists�a���consisten���t�C�pp-presen�tation�C�(see�Section�2.2)�suc�h�C�that�if�w�e�c�ho�Gose�C�a�natural�n�um�b�Ger�for�C�the�parameter�and���p�Gossibly�
1reduce�
0the�exp�onen���ts�
0mo�dulo�the�
0relativ���e�orders,�w�e�
0obtain�a�consisten���t�p�Golycyclic�presen���tation�for���a�sDgroup�sCin�the�sequence;�and�for�eac���h�group�in�the�sequence�there�exists�a�natural�n���um�b�Ger�sDsuc�h�that�sDusing���this�UUas�a�v��q�alue�for�the�parameter,�w���e�obtain�a�p�Golycyclic�presen�tation�for�the�group.��N8�W��*�e�_use�these�^consisten���t�pp-presen�tations�to�compute�parametrised�groups,�^whic�h�w�e�call��p����-p�Go�w�er-p�oly-p�cp-���groups.��F��*�urthermore,�metho�Gds�for�these�are�presen���ted.��Without�sp�ecifying�the�parameter�w���e�compute�certain���prop�Gerties�UUand�using�the��p����-p�o���w�er-p�oly-p�cp-groups�UUw�e�do�this�for�all�groups�they�represen�t�at�once.���The�(P�p����-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-groups�(Pha�v�e�(Oa�consisten�t�pp-presen�tation�with�(Ogenerators��g����1��|s�;����:�:�:����;����g����@n�����;��t����1���;��:�:�:�����t����@d��	�d�and����c����1��|s�;����:�:�:����;����c����@m����,���for���some�non-negativ���e�in�tegers����n��c�,��d��`�and��m��,���and�relations�of�the�form,�where��r��}'el���[�i�ڱ;����j�r]�]�stores���the�UUrigh���t�hand�sides�of�the�relations�(see�Section�2.2�for�more�information�on�pp-presen�tations),���1�T����ꬍ�������g���1ɍ��}�@p���l�i���.��=���r��}'el���[�i�ڱ;����i��]�;������������t���1ɍ����@exp��ho���l�i����߫=���r��}'el���[�n��C�+�8��i�ڱ;����n��+��i�ګ]�;�����ƍ�������c����:�����@exp��ho��
��ff��
�ve�c�eL�[�@i����]������@i���&<=�=���r��}'el���[�n��C�+�8��d�Ai�+��i�ڱ;����n��+��d�Ai�+��i�ګ]�;������������g����W���}�@g���Aj���(ލ�@i���
#��=���r��}'el���[�j�r]�;����i�ګ]�;������������t����W�����@g���Aj���(ލ�@i���
3��=���r��}'el���[�j�r]�;����n��C�+�8��i�ګ]�;����8⍍������t����W�����@t���Aj���(ލ�@i���	N��=���r��}'el���[�n��C�+�8��j�r]�;����n��+��i�ګ]�;������;T��where��rthe��t����@i��\$�'s�comm���ute�mo�Gdulo��h�c����1��|s�;����:�:�:����;����c����@m����i��and�the��c����@i���'s�are�cen���tral.�So��r��}'el����(see�Section�3.2)�are�the�righ�t���hand���sides���of�the�relations,�where�some�dep�Gend�on�the�parameter.�The�relativ���e�orders��exp��}'o�$+�and��exp�o����ff���ve�c[i]����of�UUthe�generators��t����@j���!�and��c����@i���y�dep�Gend�on�the�parameter.��㋍�3.1��`Example��N8��In��this�section�w���e�presen�t�the�w�ell-kno�wn�example��of�quaternion�groups��Q��㐮2����Ax��"�+3���s�.�They�ha�v�e�a�pp-presen�tation���of�UUthe�follo���wing�form:����t�����������x�f�g����1��|s�;����g����2���;��t����1��C��j������7:�g��������}�2����1���&�=���t��������خ2����r�Ax����፮1����3�;�UP�g���1ɍ��}�@g���1���xݍ�2���I�=��g����2��|s�t����䍑�غ�1+2����r�Ax��"�+1�����1���!��;����!��������g��������}�2����2���&�=���t����1��|s�;�UP�t���1ɍ����@g���1���xݍ�1���Y`�=��t����䍑�غ�1+2����r�Ax��"�+1�����1���!��;�����捍������t��������خ2����r�Ax��"�+1����፮1���,��=��1�g���������EP�����Se��}'ction���2.�Obtaining�p-p�ower-p�oly-p�cp-gr�oups�	�ӫ7���p������3.2��`Obtaining�n�p-p�^�o��lw�er-p�oly-p�cp-groups��N8��T��*�o�UUobtain��p����-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-groups:��������|{Ycmr8�1������L�3�u�7msam7�I���PPPPcpGroups(�?��r��}'el���,��n��c�,��d��,��m��c�,��exp��}'o����,��exp�o����ff���ve�c����,��prime��[�,��c�c����,��name�X�)�����F�����������G�I���PPPPcpGroups(�?��r��}'e�c�г�)�l�k�F��N8�returns���the���p-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-groups���describ�ed���b�y���the�consisten�t���pp-presen�tation�with���generators��g����1��|s�;����:�:�:����;����g����@n�����,����t����1��|s�;����:�:�:�����t����@d����,�UU�c����1���;����:�:�:��;����c����@m����,�UUfor�some�non-negativ���e�in�tegers��n��c�,��d�]ޫand��m��,�and�relations�of�the�form��N8�1�T����ꬍ�������g���1ɍ��}�@p���l�i���.��=���r��}'el���[�i�ڱ;����i��]�;������������t���1ɍ����@exp��ho���l�i����߫=���r��}'el���[�n��C�+�8��i�ڱ;����n��+��i�ګ]�;�����ƍ�������c����:�����@exp��ho��
��ff��
�ve�c�eL�[�@i����]������@i���&<=�=���r��}'el���[�n��C�+�8��d�Ai�+��i�ڱ;����n��+��d�Ai�+��i�ګ]�;������������g����W���}�@g���Aj���(ލ�@i���
#��=���r��}'el���[�j�r]�;����i�ګ]�;������������t����W�����@g���Aj���(ލ�@i���
3��=���r��}'el���[�j�r]�;����n��C�+�8��i�ګ]�;����8⍍������t����W�����@t���Aj���(ލ�@i���	N��=���r��}'el���[�n��C�+�8��j�r]�;����n��+��i�ګ]�������>�S��The�UUinput�consists�of�the�follo���wing:����r��}'el����$�is���the���list�of�the�righ���t�hand�sides�of�the�relations,�where�eac���h�relation�is�presen���ted�b�y���a�list�consisting����$of�X�tuples;�the�rst�en���try��i�]��of�a�tuple�is�the�index�of�the�generator�(if�X��i������n��c�,�then�it�represen�ts�generator����$�g����@i��\$�,��if���n��s�<��i����d���,�then�it�represen���ts�generator��t����@i�����@n��4��and�otherwise�it�represen���ts�generator��c����@i�����@n��x��@d���1�)����$and���the���second�en���try�of�the�tuple�is�the�corresp�Gonding�exp�onen���t.�Note���that�the�exp�onen���ts���of�the����$�g����@i��\$�'s��Yare�sa���v�ed��Xas��Yin�tegers�and�all�other��Xexp�Gonen�ts�as�lists,�represen�ting�elemen�ts��Xdep�Gending�on�the����$parameter.��N8��n����$�is�UUthe�n���um�b�Ger�UUof�generators��g����@i��\$�,����d����$�is�UUthe�n���um�b�Ger�UUof�generators��t����@i��\$�,����m����$�is�UUthe�n���um�b�Ger�UUof�generators��c����@i��\$�,����exp��}'o����$�is��the�relativ���e��order�of�all�generators��t����@i��\$�;�note�that��exp��}'o�k��is�a�list�that�represen���ts�an�elemen���t�dep�Gending����$on�UUthe�parameter,����exp��}'o����ff���ve�c����$�is�Z�the�list�Z�of�relativ���e�orders,�where�the��i�ګth�en���try�of�the�list�giv���es�the�relativ�e�order�Z�of�the�generator����$�c����@i��\$�;�UUnote�that�eac���h�relativ�e�order�is�a�list�that�represen�ts�an�elemen�t�dep�Gending�on�the�parameter,����prime����$�is�UUthe�underlying�prime��p����,����c��}'c����$�if�S�the�S��p����-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-groups�S�represen�t�S�an�innite�co�Gclass�sequence�of��p����-groups�of�co�Gclass��r���,�then����$�c��}'c�3"�=��m�r���.��lIf�they�represen���t�Sc�h�ur��lextensions�of�groups�in�an�innite�co�Gclass�sequence,�then��c��}'c�3#�is�the����$co�Gclass�UUof�the�groups�in�this�innite�co�class�sequence.����name����$�a�UUstring�to�name�the��p����-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-groups.����r��}'e�c����$�is�UUa�record�of�the�form��r��}'e�c(���r�el,�exp�o,�n,�d,�m,�prime,�c�c,�exp�o����ff���ve�c,�name�)�^��.�����S������8�5e�Chapter���3.�p-p��}'ower-p�oly-p�cp-gr�oups���p������The��Opp-presen���tation�is��Pdescrib�Ged�at�the�b�eginning�of��PChapter�\sym���b�comp�cc:p-p�o�w�er-p�oly-p�cp-group".��ONote���that�UUthe�consistency�of�the�presen���tation�is�c�hec�k�ed�and�that�the�presen�tation�has�to�b�Ge�consisten�t.����9��gap>�?�ParPresGlobalVar_2_1[1];����9�rec(������rel�?�:=�[�[�[�[�1,�0�]�]�],�[�[�[�2,�1�],�[�3,�-1+2*2^x�]�],�[�[�3,�1�]�]�],����-��[�?�[�[�3,�-1+2*2^x�]�],�[�[�3,�1�]�],�[�[�3,�0�]�]�]�],�expo�:=�2*2^x,������n�?�:=�2,�d�:=�1,�m�:=�0,�prime�:=�2,�cc�:=�1,�expo_vec�:=�[�
�],�name�:=�"D"�)����9�gap>�?�G�:=�PPPPcpGroups(�ParPresGlobalVar_2_1[1]�);����9�<�?�P-Power-Poly-pcp-groups�with�3�generators�with�relative�orders�[�2,2,2*2^x�]�>���ȍ�����2������L�I���PPPPcpGroupsElement(�?��G��I�,��wor��}'d�H��)�,x�F��N8�constructs�Kan�elemen���t�in�J�p����-p�Go�w�er-p�oly-p�cp-groups,�Kwhere��G�〫is�Ja��p����-p�Go�w�er-p�oly-p�cp-group�K(th�us�represen�ting���an��Sinnite�co�Gclass�sequence�through�a�pp-presen���tation)�with�generators��g����1��|s�;����:�:�:����;����g����@n�����;��t����1���;��:�:�:����;��t����@d����;��c����1���;��:�:�:����;��c����@m��
a>�and����wor��}'d�)��is�!a�!list�of�tuples,�where�the�rst�en���try��i�%�in�the�tuple�giv���es�the�index�of�the�generator�(if��i������n��c�,�then�it���represen���ts�generator��g����@i��\$�,�if��n��{�<���i�����d���,�then�it�represen�ts�generator��t����@i�����@n��(1�and�otherwise�it�represen�ts�generator����c����@i�����@n��x��@d���1�)��wand�the��vsecond�en���try�of�the�tuple�is�the�corresp�Gonding�exp�onen���t.�Note�that�the��vexp�onen���ts�of�the����g����@i��\$�'s�t/m���ust�t0b�Ge�in�tegers,�t0while�all�other�exp�Gonen���ts�can�b�e�t0in���tegers�or�lists,�represen���ting�an�elemen���t�dep�Gending���on�UUthe�parameter.����9��gap>�?�G�:=�PPPPcpGroups(�ParPresGlobalVar_2_1[3]�);����9�<�?�P-Power-Poly�pcp-groups�with�orders�[�2,2,2*2^x�]�>����9�gap>�?�g1�:=�PPPPcpGroupsElement(�G�,�[[1,1]]�);����9�g1����9�gap>�?�g�:=�PPPPcpGroupsElement(�G�,�[[1,1],[2,1],[3,1]]�);����9�g1*g2*t1����9�gap>�?�h�:=�PPPPcpGroupsElement(�G�,�[[1,1],[2,1],[3,G!.expo-1]]�);����9�g1*g2*t1^(-1+2*2^x)����3.3��`Op�^�erations�n�and�functions�fo��lr�p-p�o��lw�er-p�oly-p�cp-group�n�elements��N8��The���t���ypical���op�Gerations�for�group�elemen�ts���can�b�Ge�carried�out�for��p����-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-group���elemen�ts,���lik�e��*�,����/�,�UUIn���v�erse,�One,�equalit�y�and�Shallo�wCop�y��*�.��������1������L�I���CollectPPPPcp(�?��a�`�)�nXB�F��N8�collects�i�the��p����-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-group�i�elemen�t��a�.\�so�that�after�reducing�to�in�tegers�for�ev�ery�sp�Gecic�v��q�alue���for�the�parameter��x�4D�,�the�elemen���t�is�collected�in�the�p�Golycyclic�group,�represen���ted�b�y��x�DF�in�the�underlying���pp-presen���tation.��N8�Note�Iethat�Ifthe�global�v��q�ariable��COLLECT���E�ff&f��ǫPPOWERPOLY���E�ff&f��PCP�Ib�determines�Iewhether�ev���ery�elemen�t�will�Ifb�Ge�collected���immediately��*�,�UUwhen�created,�or�not,�see��COLLECT���E�ff&f��ǫPPOWERPOLY���E�ff&f��PCP�,�UU3.6.1.��N8��3.4��`Op�^�erations�n�and�functions�fo��lr�p-p�o��lw�er-p�oly-p�cp-groups��N8��F��*�or�UU�p����-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-groups:��������1������L�I���GeneratorsOfGroup(�?��G�F�)��N8��returns�UUa�set�of�generators�for�the��p����-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-groups�UU�G��I�.��������2������L�I���One(�?��G�F�)����obtains�UUthe�iden���tit�y�UUelemen�t�of�the��p����-p�Go�w�er-p�oly-p�cp-groups�UU�G��I�.�����	be�����Se��}'ction���4.�Op�er�ations�and�functions�for�p-p�ower-p�oly-p�cp-gr�oups��鿫9���p����������3������L�I���IsConsistentPPPPcp(�?��G�F�)�Q]l�F�����������G�I���IsConsistentPPPPcp(�?��ParPr��}'es��)�5��F��N8�c���hec�ks�qwif�qvthe�underlying�pp-presen���tation�of�the��p����-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-groups�qw�G�P��is�qvconsisten�t�or�if�qvthe�pp-presen�ta-���tion�UU�ParPr��}'es�'v�is�consisten���t.��������4������L�I���GetPcGroupPPowerPoly(�?��ParPr��}'es��!�,��n�`�)�y��F�����������G�I���GetPcGroupPPowerPoly(�?��G��I�,��n�`�)�5�ͫF���tak���es�[�the�pp-presen�tation�giv�en�b�y�the�record�[��ParPr��}'es�-��as�in��PPPPcpGroups�,�3.2.1�or�the��p����-p�Go�w�er-p�oly-p�cp-���groups�r2�G�Qt�and�tak���es��n��c�,�a�non-negativ�e�r3in�teger,�as�a�v��q�alue�for�the�parameter�to�r3obtain�a�p�Gc-presen�tation�for���the�UUcorresp�Gonding�nite��p����-group.��������5������L�I���GetPcpGroupPPowerPoly(�?��ParPr��}'es��!�,��n�`�)�9��F�����������G�I���GetPcpGroupPPowerPoly(�?��G��I�,��n�`�)�0�ЫF���tak���es�t�pp-presen�tation�giv�en�t�b�y�the�record��ParPr��}'es�Fҫas�in��PPPPcpGroups�,�3.2.1�t�or�the��p����-p�Go�w�er-p�oly-p�cp-groups����G���and�!\tak���es�!]�n��c�,�a�non-negativ�e�!]in�teger,�as�the�!]parameter�to�obtain�a�p�Gcp-presen���tation�for�the�corresp�Gonding���nite�UU�p����-group,�for�further�information�w���e�refer�to�the�p�Golycyclic�pac�k��q�age.��������6������L�I���GAPInputPPPPcpGroups(�?��le��[�,��G�F�)�.��F�����������G�I���GAPInputPPPPcpGroups(�?��le��[�,��ParPr��}'es��)�U��F���prin���ts��rthe��q�p����-p�Go�w�er-p�oly-p�cp-groups��r�G�g��dened��qb�y��ParPr��}'es�Z��in��qthe�le��le�H̫as�a�record�that�could�b�Ge�used�as���input�UUto��PPPPcpGroups�,�3.2.1�to�create��p����-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-groups.��������7������L�I���GAPInputPPPPcpGroupsAppend(�?��le��[�,��G�F�)�V�F�����������G�I���GAPInputPPPPcpGroupsAppend(�?��le��[�,��ParPr��}'es��)���˫F���app�Gends��the��pp-presen���tation�of�the��p����-p�o���w�er-p�oly-p�cp-groups���G��.�dened��b�y��ParPr��}'es�1�to��the�le��le�mk�as�a�record���that�UUcould�b�Ge�used�as�input�to��PPPPcpGroups�,�3.2.1�to�create��p����-p�o���w�er-p�oly-p�cp-groups.��������8������L�I���LatexInputPPPPcpGroups(�?��le��[�,��G�F�)�$V�F�����������G�I���LatexInputPPPPcpGroups(�?��le��[�,��ParPr��}'es��)�տ�F���prin���ts�.�the�pp-presen�tation�of�.��G�
�as�giv�en�b�y��ParPr��}'es�ɫin�latex-co�Gde�to�the�le��le��[�.�.�Note�that�only�non-trivial���relations�UUare�prin���ted.��������9������L�I���LatexInputPPPPcpGroupsAppend(�?��le��[�,��G�F�)���F�����������G�I���LatexInputPPPPcpGroupsAppend(�?��le��[�,��ParPr��}'es��)��UѫF���app�Gends���the���pp-presen���tation�of��G�x�as�giv���en�b�y��ParPr��}'es�k�in�latex-co�Gde���to�the�le��le��[�.�Note�that�only�non-trivial���relations�UUare�app�Gended.�������10������L�I���LatexInputPPPPcpGroupsAllAppend(�?��le��[�,��G�F�)��'�F�����������G�I���LatexInputPPPPcpGroupsAllAppend(�?��le��[�,��ParPr��}'es��)�ٕګF���app�Gends��,the�pp-presen���tation��-of��G�di�as�giv�en�b�y��ParPr��}'es�WM�in��-latex-co�Gde�to�the�le��le��[�.�Note�that�all�relations���are�UUapp�Gended.�����
q�����10�0d�Chapter���3.�p-p��}'ower-p�oly-p�cp-gr�oups���p������3.5��`Info�n�classes�fo��lr�the�p-p�^�o�w�er-p�oly-p�cp-groups��N8��The�UUfollo���wing�info�classes�are�a�v��q�ailable:��������1������L�I���InfoConsistencyPPPPcp�^@>�V��N8�is�UUan�InfoClass�with�the�follo���wing�lev�els.����level�?�1����$�displa���ys�UUthe�rst�consistency�relation�that�fails�during�the�consistency�c�hec�k;��N8��level�?�2����$�displa���ys�UUwhic�h�family�of�consistency�relations�ha�v�e�b�Geen�c�hec�k�ed�during�a�consistency�c�hec�k.���p�the�UUdefault�v��q�alue�is�1.��������2������L�I���InfoCollectingPPPPcp�c�;�V��N8�is�UUan�InfoClass�with�the�follo���wing�lev�els.����level�?�1����$�displa���ys�UUsome�information�during�collecting;���p�the�UUdefault�v��q�alue�is�0.��N8��3.6��`Global�n�va��lriables�fo�r�the�p-p�^�o�w�er-p�oly-p�cp-groups��N8��The�UUfollo���wing�global�v��q�ariables�are�a�v��q�ailable�with�default�v�alue:��������1������L�I���COLLECT���E�ff&f��ǫPPOWERPOLY���E�ff&f��PCP�[��V���is�w�a�global�v��q�ariable�w�determining�if�ev���ery��p����-p�Go�w�er-p�oly-p�cp-group�w�elemen�t�is�w�collected,�when�created,�the���default�UUv��q�alue�is�true.�����~^�����p����E����j)�4������o��P����a�rametrised��,���l�Presentations����8N8��In��Vthis�c���hapter�w�e�describ�Ge�whic�h�pp-presen�tations��Ufor�innite�co�Gclass�sequences�(see�[ELG08])�are�pro�vided.�����4.1��`Provided�n�pp-p��lresentations��������1������L�I���ParPresGlobalVar���E�ff&f��ǫ2���E�ff&f��1�fp߫V�����������G�I���ParPresGlobalVar���E�ff&f��ǫ2���E�ff&f��2�fp߫V�����������G�I���ParPresGlobalVar���E�ff&f��ǫ3���E�ff&f��1�fp߫V��N8�are��llists��mconsisting�of�the�pp-presen���tations�of�the�innite�co�Gclass�sequences�of�nite��p����-groups�of�co�Gclass��r���,���where��the�rst��n���um�b�Ger��in�the�name�giv���es�the�underlying�prime�and�the�second�the�underlying�co�Gclass.�Eac���h���en���try��2in��1the�list�is�a�record��r��}'e�c����(��2�r�el���,��exp�o����,��2�n��c�,��d���,��m��c�,��prime��[�,��c��}'c����,��exp�o����ff���ve�c����,��2�name�x��)�with��m�|��=�0�and��exp��}'o����ff���ve�c����=�SM[�].�SLThe�record�en���tries�are�of�a�form�suc���h�that�eac���h�record�can�b�Ge�used�as�input�for��PPPPcpGroups�,�3.2.1.���See�UU3.2.1�for�more�information.��������2������L�I���ParPresGlobalVar���E�ff&f��ǫp���E�ff&f��r���E�ff&f��Names�HiC�V��N8�giv���es�UUthe�names�of�the�innite�co�Gclass�sequences�of�nite��p����-groups�of�co�class��r���.������`�����p����E����j)�5������g�{�Schur��extensions��fo����r�p-��,��nL�p�7o����w�er-p�oly-p�cp-groups����:/T��In�IRthis�ISc���hapter�w�e�ISdescrib�Ge�ho�w�ISthe�consisten�t�pp-presen�tations�ISof�innite�co�Gclass�sequences�can�b�Ge�used�to���compute�UUa�pp-presen���tation�for�the�corresp�Gonding�Sc�h�ur�extensions�(see�[EF11]).����F��*�or�UUa�group��G��a�=���F�T��=�R��[�the�Sc���h�ur�UUextension��H���is�dened�as��H�j��=��F�T��=�[�F��;����R�c�]�UU(see�[EN08]).���So��for��a�parameter��x�"ͫthat�can�tak���e�v��q�alues�in�the�p�Gositiv���e�in�tegers,�let��(�G����@x��^*�=���F�T��=�R����@x����j�x��\�2��N�),��for��N��the�p�Gositiv���e���in���tegers,�wdescrib�Ge�xan�innite�co�Gclass�sequence�of�nite��p����-groups��G����@X��	뿫of�co�Gclass��r���.�Then�for�eac���h�v��q�alue�for�the���parameter�;$�x�4D�,�;#the�group��G����@x���6�has�a�consisten���t�p�Golycyclic�presen�tation�;#with�generators��g����1��|s�;�����~��;��g����@n�����;��t����1��|s�;���}��;��t����@d��8�and���relations���(�q����㏍����V��g���1ɍ��}�@p���l�i���.��=���r��}'el���[�i�ګ][�i��]�;���������V��t���1ɍ����@exp��ho���l�i����߫=���r��}'el���[�n��C�+�8��i�ګ][�n��+��i�ګ]�;���������V��g����W���}�@g���Aj���(ލ�@i���
#��=���r��}'el���[�j�r]�][�i�ګ]�;���������V��t����W�����@g���Aj���(ލ�@i���
3��=���r��}'el���[�j�r]�][�n��C�+�8��i�ګ]�;����8⍍���V��t����W�����@t���Aj���(ލ�@i���	N��=��1�������3���Then�D�w���e�compute�D�a�consisten�t�pp-presen�tation�of�D�the�corresp�Gonding�Sc�h�ur�extensions�D�of�with�generators����g����1��|s�;�����8���;��g����@n�����;��t����1��|s�;�����;��t����@d����;��c����1��|s�;�����c����@m��
@�and�UUrelations����I1ō���N;��������g���1ɍ��}�@p���l�i���.��=���r��}'el���[�i�ګ][�i��]�;������������t���1ɍ����@exp��ho���l�i����߫=���r��}'el���[�n��C�+�8��i�ګ][�n��+��i�ګ]�;�����ƍ�������c����:�����@exp��ho��
��ff��
�ve�c�eL�[�@i����]������@i���&<=�=���r��}'el���[�n��C�+�8��d�Ai�+��i�ڱ;����n��+��d�Ai�+��i�ګ]�;������������g����W���}�@g���Aj���(ލ�@i���
#��=���r��}'el���[�j�r]�][�i�ګ]�;������������t����W�����@g���Aj���(ލ�@i���
3��=���r��}'el���[�j�r]�][�n��C�+�8��i�ګ]�;����8⍍������t����W�����@t���Aj���(ލ�@i���	N��=���r��}'el���[�n��C�+�8��j�r]�][�n��+��i�ګ]�;������������c����W�����@g���Aj���(ލ�@i���	�ԫ=��1�;������������c����W�����@t���Aj���(ލ�@i����ګ=��1�;������������c����W�����@c���Aj���(ލ�@i���	�ԫ=��1�������TZY��where�UUthe��t����@i��\$�'s�comm���ute�mo�Gdulo���c��-��ff��>�1�[�;�����8���;��c��-��ff��>�m��=od�and�the��c����@i���'s�are�cen���tral.��6̍�5.1��`Computing�n�Schur�extensions��Q�������1������L�I���SchurExtParPres(�?��G�F�)��;ݍ�computes�=the�=Sc���h�ur�extensions�corresp�Gonding�to�=the��p����-p�o���w�er-p�Goly-p�cp-groups��G�"�and�returns�them�=as��p����-���p�Go���w�er-p�oly-p�cp-groups.��Q�������2������L�I���SchurExtParPres(�?��ParPr��}'es��)�E��F���computes���a�consisten���t�pp-presen�tation�of�Sc�h�ur�extensions�of�the�groups�dened�b�y�the�record��ParPr��}'es����whic���h���describ�Ges����p����-p�o�w�er-p�oly-p�cp-groups.���The���output�is�a�record��r��}'e�c����(�r�el���,����exp�o����,��n��c�,����d���,��m��,����prime��[�,��c��}'c����,��exp�o����ff���ve�c����,�����
������Se��}'ction���2.�Computing�other�invariants�fr�om�Schur�extensions��☫13���p������name��[�),��#whic���h��"describ�Ges�the�Sc���h�ur��#extensions�as��p����-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-groups;��"it��#is�enco�ded��"in�a�form�that�it�can���b�Ge�UUused�as�input�for��PPPPcpGroups�,�3.2.1.����9��gap>�?�SchurExtParPres(�ParPresGlobalVar_2_1[1]�);����9�rec(�?�prime�:=�2,������rel�?�:=�[�[�[�[�7,�1�]�]�],�[�[�[�2,�1�],�[�3,�-1+2*2^x�],�[�6,�1-2*2^x�]�],����B��[�?�[�3,�1�],�[�5,�1�]�]�],����-��[�?�[�[�3,�-1+2*2^x�],�[�4,�1�],�[�6,�2-2*2^x�]�],�[�[�3,�1�]�],����B��[�?�[�4,�1�],�[�6,�2*2^x�]�]�],����-��[�?�[�[�4,�1�]�],�[�[�4,�1�]�],�[�[�4,�1�]�],�[�[�4,�0�]�]�],����-��[�?�[�[�5,�1�]�],�[�[�5,�1�]�],�[�[�5,�1�]�],�[�[�5,�1�]�],�[�[�5,�0�]�]�]����89�,����-��[�?�[�[�6,�1�]�],�[�[�6,�1�]�],�[�[�6,�1�]�],�[�[�6,�1�]�],�[�[�6,�1�]�],����B��[�?�[�6,�0�]�]�],����-��[�?�[�[�7,�1�]�],�[�[�7,�1�]�],�[�[�7,�1�]�],�[�[�7,�1�]�],�[�[�7,�1�]�],����B��[�?�[�7,�1�]�],�[�[�7,�0�]�]�]�],�n�:=�2,�d�:=�1,�m�:=�4,������expo�?�:=�2*2^x,�expo_vec�:=�[�2,�0,�0,�0�],�cc�:=�fail,�name�:=�"SchurExt_D"����y�)����5.2��`Computing�n�other�inva��lriants�from�Schur�extensions��������1������L�I���SchurMultiplicatorsStructurePPPPcps(�?��G�F�)����F��N8�computes��
the��	abalian�in���v��q�arian�ts��
of�the�Sc���h�ur��
m�ultiplicators��M(G)���of�the��p����-p�Go�w�er-p�oly-p�cp-groups��	�G��I�.��
The���output��Uis�a��Vlist�[�d����1��|s�;���������;��d����@k��y3�]��Uconsisting�elemen���ts��d����@i��\$�,�dep�Gending��Von�the�underlying�parameter,�suc���h�that��M����(�G��I�)����T͍�������+3�����=��������C����@d���1���
3���8�:���:�:��g��8��C����@d����Ak���jy�.����9��gap>�?�G�:=�PPPPcpGroups(�ParPresGlobalVar_2_1[1]�);����9�<�?�P-Power-Poly�pcp-groups�with�3�generators�of�relative�orders�[�2,2,2*2^x�]�>����9�SchurMultiplicatorsStructurePPPPcps(�?�G�);����9�[�?�2�]���ȍ�����2������L�I���SchurMultiplicator(�?��G�F�)�Q]l�F��N8�computes��hthe��gSc���h�ur�m�ultiplicators��gof�the��p����-p�Go�w�er-p�oly-p�cp-groups��g�G�Љ�and�then��hreturns�the�corresp�Gonding����PPPPcpGroups�,�UU3.2.1.����9��gap>�?�G�:=�PPPPcpGroup(�ParPresGlobalVar_3_1[1]�);����9�<�?�P-Power-Poly�pcp-group�with�5�generators�of�relative�orders�[�3,3,3,3*3^x,3*3^x�]�>����9�gap>�?�SchurMultiplicator(�G�);����9�<�?�P-Power-Poly�pcp-groups�with�2�generators�of�relative�orders�[�3,9*3^x�]�>���ȍ�����3������L�I���AbelianInvariants(�?��G�F�)�V�i�F��N8�computes�W�the�W�ab�Gelian�in���v��q�arian�ts�W�of�the��p����-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-groups�W��G�6ëand�W�returns�them�as�a�list�of�list�describing���the�UUparametrised�elemen���ts.����9��gap>�?�G�:=�PPPPcpGroups(�ParPresGlobalVar_2_1[1]�);����9�<�?�P-Power-Poly�pcp-groups�with�3�generators�of�relative�orders�[�2,2,2*2^x�]�>����9�gap>�?�AbelianInvariants(�G�);����9�[�?�2,�2�]���ȍ�����4������L�I���ZeroCohomologyPPPPcps(�?��G��I�[,��p����]�)�&�y�F��N8�computes���the�zero-th-cohomology�groups��H������^��0�� �(�G��I�;����R�c�)�of�the��p����-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-groups����G���with�co�ecien���ts�in����R�c�,���where��R����T͍��*����+3���*�=�����
�T�GF�T��(�p����)�if�the�prime��p����is�giv���en�or��R����T͍��*����+3���*�=������Z��otherwise.�The�action�of��G��>�on��R�E��is�tak���en�to�b�Ge�trivial.������!�����14��9T�Chapter���5.�Schur�extensions�for�p-p��}'ower-p�oly-p�cp-gr�oups���p������The���function���returns�a�list�of�in���tegers�[�a����1��|s�;����:�:�:����;����a����@k��y3�]�where�the�cohomology�group�is�isomorphic�to��C����@a���1����4����,�:���:�:������,�C����@a����Ak������with�UU�C����@i���y�a�cyclic�group�of�order��i�Z/�(for��i���>���0)�and��C����0���ȫis�in���terpreted�as��Z�.����9��gap>�?�G�:=�PPPPcpGroups(�ParPresGlobalVar_2_1[1]�);����9�<�?�P-Power-Poly�pcp-groups�with�3�generators�of�relative�orders�[�2,2,2*2^x�]�>����9�gap>�?�ZeroCohomologyPPPPcp(�G,�2�);����9�[�?�2�]���ȍ�����5������L�I���FirstCohomologyPPPPcps(�?��G��I�[,��p����]�)�!�|�F��N8�computes�ÿthe���rst-cohomology�groups��H������^��1�� �(�G��I�;����R�c�)�of�the��p����-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-groups�ÿ�G���with�co�ecien���ts���in��R�c�,���where��B�R����T͍��*����+3���*�=�����
�T�GF�T��(�p����)�if�the�prime��p�5٫is�giv���en�or��R����T͍��*����+3���*�=������Z��otherwise.�The�action�of��G�s��on��R��G�is�tak���en�to�b�Ge�trivial.�The���function�|�returns�|�a�list�of�in���tegers�[�a����1��|s�;����:�:�:����;����a����@k��y3�]�where�the�cohomology�group�is�isomorphic�to��C����@a���1���
N���S
�:���:�:��P���S
�C����@a����Ak������with�UU�C����@i���y�a�cyclic�group�of�order��i�Z/�(for��i���>���0)�and��C����0���ȫis�in���terpreted�as��Z�.����9��gap>�?�G�:=�PPPPcpGroups(�ParPresGlobalVar_2_1[1]�);����9�<�?�P-Power-Poly�pcp-groups�with�3�generators�of�relative�orders�[�2,2,2*2^x�]�>����9�gap>�?�FirstCohomologyPPPPcps(�G�);����9�[�
�]���ȍ�����6������L�I���SecondCohomologyPPPPcps(�?��G��I�[,��p����]�)�_�F��N8�computes��tthe�second-cohomology�groups��H������^��2�� �(�G��I�;����R�c�)�of��sthe��p����-p�Go���w�er-p�oly-p�cp-groups��t�G����with�co�ecien���ts�in��R�c�,���where��B�R����T͍��*����+3���*�=�����
�T�GF�T��(�p����)�if�the�prime��p�5٫is�giv���en�or��R����T͍��*����+3���*�=������Z��otherwise.�The�action�of��G�s��on��R��G�is�tak���en�to�b�Ge�trivial.�The���function�|�returns�|�a�list�of�in���tegers�[�a����1��|s�;����:�:�:����;����a����@k��y3�]�where�the�cohomology�group�is�isomorphic�to��C����@a���1���
N���S
�:���:�:��P���S
�C����@a����Ak������with�UU�C����@i���y�a�cyclic�group�of�order��i�Z/�(for��i���>���0)�and��C����0���ȫis�in���terpreted�as��Z�.����9��gap>�?�G�:=�PPPPcpGroups(�ParPresGlobalVar_2_1[1]�);����9�<�?�P-Power-Poly�pcp-groups�with�3�generators�of�relative�orders�[�2,2,2*2^x�]�>����9�gap>�?�SecondCohomologyPPPPcps(�G,�2�);����9�[�?�2,�2,�2�]����5.3��`Info�n�classes�fo��lr�the�computation�of�the�Schur�extension��N8��The�UUfollo���wing�info�classes�are�a�v��q�ailable��������1������L�I���InfoConsistencyRelPPowerPoly�9�S�V���p��level�?�1����$�sho���ws�UUwhic�h�consistency�relations�are�computed�and�giv�es�the�result;���p�the�UUdefault�v��q�alue�is�0.��������2������L�I���InfoCollectingPPowerPoly�N�G�V���p��level�?�1����$�sho���ws�UUwhat�is�done�during�collecting;���p�the�UUdefault�v��q�alue�is�0.������������p������������Bibliography����;x㍍�UP�[dS00]��(}�M.�}�du�}�Sauto���y��*�.�Coun�ting��p����-groups�}�and�nilp�Goten�t�groups.�}��!p�0J

cmsl10�Inst.�Hautes�Etudes�Sci.�Publ.�Math.�,����$92:63{112,�UU2000.��N8���l[EF11]��'
B.�
Eic���k�

and�D.�F��*�eic�h�tensc�hlager.�Computation�of�lo�w-dimensional�

(co)homology�groups�for�innite����$sequences�UUof�p-groups�with�xed�co�Gclass.��In���ternat.�J.�Algebra�Comput.�,�21(4):635{649,�2011.��������[ELG08]��&��B.���Eic���k���and�C.�R.�Leedham-Green.�On�the�classication�of�prime-p�Go���w�er���groups�b�y���co�Gclass.��Bulletin����$London�UUMath.�So�Gc.�,�40(2),�2008.�����#�[EN08]��'v5B.�v6Eic���k�v5and�W.�Nic�k�el.�Computing�v6the�Sc�h�ur�m�ultiplicator�v6and�the�nonab�Gelian�tensor�square�of�a����$p�Golycyclic�UUgroup.��J.�Algebra�,�320(2):927{944,�2008.��������[LGN80]��(�C.��R.�Leedham-Green�and�M.�F.�Newman.��Space�groups�and�groups�of�prime-p�Go���w�er��order�I.����$�Arc���h.�UUMath.�,�35:193{202,�1980.������Z���;���	�A�':
cmti10�@�':
cmti10�>p��i
cmssdc10�<p��i(
cmssdc10�;�>a�h�h�cminch�5���

msbm10�3�u�7msam7�$�':

cmti10�!p�0J

cmsl10���<x

cmtt10��"V

cmbx10�m#�R

cmss10�O!�cmsy7�!",�

cmsy10�O
�\cmmi5�	0e�rcmmi7��b>

cmmi10���Zcmr5�ٓ�Rcmr7�|{Ycmr8�K�`y

cmr10��������