Exemple 14 p 12.sagews

Exploration

var('x') 

x

f(x) = (1/2)*(x+6) # Fonction définissant la suite par récurrence
show(f)

$\displaystyle x \ {\mapsto}\ \frac{1}{2} \, x + 3$

a1 = 2 # Le premier terme de la suite
a2 = f(a1) # Le deuxième terme obtenu à partir du premier
show(a2)

$\displaystyle 4$

a3 = f(a2) # Le troisième terme obtenu à partir du deuxième
show(a3)

$\displaystyle 5$

a4 = f(a3) # Le quatrième terme obtenu à partir du troisième
show(a4.n())

$\displaystyle 5.50000000000000$

Utilisation du type tuple et d'une procédure pour calculer les n premiers termes de la suite

a = tuple([-2,2]) # On rajoute a0 = -2 qui donne a1 = f(a0) = 2
a # tuple (a0, a1)

(-2, 2)

y = f(a[1]) # Calcul de a2 
a = a + tuple([y]) # Ajout de la valeur a2 à la suite du tuple a = (-2, 2)
a

(-2, 2, 4)

a[2] # La valeur 4 est l'entrée d'indice 2 dans le tuple a à 3 entrées.

4

def suite_rec(f, a0, n): # Procédure pour construire les n premières valeurs de la suite.
    a = tuple([a0]) # On commence avec le tuple (a0) ...
    G = points([0, a[0]],  color='darkgreen', pointsize=50) # et le point (0, a0) dans le graphique G.
    for i in range(0, n): # Pour tout i de 0 à n-1 ...
        a = a + tuple([f(a[i])]) # on ajoute f(ai) à la suite du tuple a ...
        G = G + points([i+1, a[i+1]],  color='darkgreen', pointsize=50) # et le point (a_i+1, f(a_i+1)) dans G.
    return a, G # La procédure produit le tuple a et le graphique G.

a = suite_rec(f, -2, 20)[0] # Pour obtenir les 20 premiers termes de la suite (en plus de a0).
show(a)

($\displaystyle -2$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 4$, $\displaystyle 5$, $\displaystyle \frac{11}{2}$, $\displaystyle \frac{23}{4}$, $\displaystyle \frac{47}{8}$, $\displaystyle \frac{95}{16}$, $\displaystyle \frac{191}{32}$, $\displaystyle \frac{383}{64}$, $\displaystyle \frac{767}{128}$, $\displaystyle \frac{1535}{256}$, $\displaystyle \frac{3071}{512}$, $\displaystyle \frac{6143}{1024}$, $\displaystyle \frac{12287}{2048}$, $\displaystyle \frac{24575}{4096}$, $\displaystyle \frac{49151}{8192}$, $\displaystyle \frac{98303}{16384}$, $\displaystyle \frac{196607}{32768}$, $\displaystyle \frac{393215}{65536}$, $\displaystyle \frac{786431}{131072}$)

show(a[5]) # Pour obtenir le cinquième terme de la suite.

$\displaystyle \frac{23}{4}$

show(a[5].n()) # Pour obtenir son écriture décimale.

$\displaystyle 5.75000000000000$

show(a[20].n()) # Pour obtenir l'écriture décimale du vingtième terme.

$\displaystyle 5.99999237060547$

G = suite_rec(f, -2, 20)[1] # Pour obtenir la représentation graphique des vingt premiers termes de la suite.
G

Conclusion

On voit que la suite est croissante et majorée : donc elle converge.

Comme elle est définie par récurrence à l'aide de $f$, elle converge vers un point fixe de cette fonction.

pt_fixe = solve(f(x)==x, x) # On résout l'équation f(x) = x
show(pt_fixe)

[$\displaystyle x = 6$]

Comme il n'y a qu'un seul point fixe, c'est forcément la limite de la suite. D'où : $$\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n = 6$$