introduccion al algebra lineal

howard anton

por mateo espinel

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ejercicios 6.2:

3- demuestre que la siguiente matriz es o no diagonizable.

que me dan? una matriz de 3*3

que me piden? hallar si no es diagonalizable.

plan:

a) primero formamos el polinomio caracteristico det (yI-A) x = 0, para encontrar los valores propios. si estos valores no son reales entonces la matriz no es diagonalizable. de lo contrario seguimos.

b) lo que hacemos ahora es hallar los vectores propios los vectores que son afectados por los valores propios y resolvemos para cada valor propio. si la cantidad de vectores propios no es igual a la multiplicidad de la raiz entonces nuestra matriz no es diagonalizable. de lo contrario seguimos. si superamos este paso, entonces la matriz es diagonalizable.

desarrollo:

declaramos la matriz y la variable

A = matrix(QQ,[[3, 0, 0],[0, 2, 0],[0, 1, 2]])

[3 0 0]
[0 2 0]
[0 1 2]

y = var('y')

ahora resolvemos det(yI-A) x = 0

B = matrix([[y, 0, 0],[0, y, 0],[0, 0, y]])

[y 0 0]
[0 y 0]
[0 0 y]

B-A

[y - 3     0     0]
[    0 y - 2     0]
[    0    -1 y - 2]

sacamos determinante de la nueva matriz.

C = matrix([[y-3, 0, 0],[0, y-2, 0],[0, -1, y-2]])

C.determinant()

(y - 3)*(y - 2)^2

con esto tenemos los valores de y los cuales son
y1= 2  y2=2  y3=3

como podemos ver los vectores propios van a ser nada mas 2 ya que dos valores de y son iguales. por lo tanto el numero de vectores propios no va a ser igual a la multiplicidad de la raiz. entonces la matriz no es diagonalizable.